Questa voce o sezione sull'argomento fisicanon cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti.

---

Puoimigliorare questa voce aggiungendo citazioni dafonti attendibili secondo lelinee guida sull'uso delle fonti. Segui i suggerimenti delprogetto di riferimento.

Incinematica, lavelocità areolare è unagrandezza vettoriale definita come la variazione di una superficie in funzione deltempo, rientrando, pertanto, nel concetto generale divelocità, ovvero di variazione di unacoordinata spaziale nel tempo. In altri termini essa rappresenta la velocità con cui unasuperficie viene spazzata dalraggio vettore di un punto che si muove lungo una curva.

Essendo coinvolta, insieme allavelocità angolare, nella definizione la velocità di rotazione per descrivere delmoto lungo una curva, il suo impiego maggiore è nello studio dei motiperiodici quali ad esempio ilmoto circolare e ilmoto armonico. La velocità areolare e la velocità angolare sono sempre vettori paralleli, ma non necessariamente sono proporzionali in modulo.

L'unità di misura nelSistema internazionale m²·s⁻¹ (metri quadri alsecondo).

Dato un oggetto in moto, il cuivettore posizione è dettoraggio vettore${\displaystyle \mathbf{r}}$, la velocità areolare dipende dal punto di riferimento, ovvero l'origine delsistema di coordinate del raggio vettore, che risulta funzione del tempo.

Si definiscevelocità areolare media${\displaystyle \overline{\dot{\mathbf{A}}}}$ il rapporto tra lospostamento areolare, inteso come lavariazione della superficie spazzata dal raggio vettore,${\displaystyle \mathrm{\Delta }\mathbf{A}={\mathbf{A}}_2-{\mathbf{A}}_1}$ e l'intervallo di tempo${\displaystyle \mathrm{\Delta }t=t_2-t_1}$ impiegato a percorrerlo:

${\displaystyle \overline{\dot{\mathbf{A}}}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathbf{A}}{\mathrm{\Delta }t}}$

dove${\displaystyle {\mathbf{A}}_1}$ e${\displaystyle {\mathbf{A}}_2}$ sono le posizioni areolari agli istanti iniziale${\displaystyle t_1}$ e finale${\displaystyle t_2}$.

Si definiscevelocità areolare istantanea${\displaystyle \dot{\mathbf{A}}}$ il valore illimite della velocità media nell'intorno di un determinato istante, ovvero laderivata prima della posizione angolare rispetto al tempo:

${\displaystyle \dot{\mathbf{A}}=\underset{t_2\to t_1}{lim}\frac{\mathbf{A}(t_2)-\mathbf{A}(t_1)}{t_2-t_1}=\underset{\mathrm{\Delta }t\to 0}{lim}\frac{\mathbf{A}(t+\mathrm{\Delta }t)-\mathbf{A}(t)}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}}$

Come direzione si sceglie quella dell'asse di rotazione, ovvero quella normale al piano di rotazione, mentre il verso è diretto verso l'osservatore che vede una rotazione antioraria.

Come mostrato in figura, l'area del triangolo in giallo${\displaystyle \stackrel{\mathrm{△}}{ABC}}$ è metà dell'area del parallelogramma${\displaystyle ABCD}$, e l'area del parallelogramma è uguale alla grandezza del prodotto esterno dei vettori${\displaystyle AB}$ e${\displaystyle AC}$, cosicché:

${\displaystyle {\mathbf{A}}_{(ABCD)}=\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\mathrm{\Delta }t)⟹{\mathbf{A}}_{(ABC)}=\frac{\mathbf{r}(t)\times \mathbf{r}(t+\mathrm{\Delta }t)}{2}}$

La velocità areolare è

Ma${\displaystyle \dot{\mathbf{r}}(t)}$ è lavelocità lineare del vettore${\displaystyle \mathbf{v}(t)}$, per cui:

${\displaystyle \dot{\mathbf{A}}=\frac{\mathbf{r}\times \mathbf{v}}{2}}$

dove${\displaystyle \mathbf{v}}$ rappresenta lavelocità tangenziale.

Lo stesso argomento in dettaglio:Momento angolare e Momento meccanico.

Sapendo che il momento angolare${\displaystyle \mathbf{L}}$ rappresenta il momento dellaquantità di moto${\displaystyle \mathbf{p}}$ e che${\displaystyle \mathbf{v}={\mathbf{v}}_r+{\mathbf{v}}_0}$, è possibile ricavare la sua relazione con la velocità areolare:

${\displaystyle \mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=2m\dot{\mathbf{A}}}$

Derivando ilmomento angolare si ottiene la seconda equazione cardinale della dinamica, che nel caso di un corpo rigido rotante risulta pari a:

${\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}=\mathbf{M}-\mathit{\omega }\times \mathbf{L}⟺\mathbf{M}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}+\mathit{\omega }\times \mathbf{L}}$

dove${\displaystyle \mathit{\omega }}$ è il vettore velocità angolare. Se nel sistema in esame lamassa è costante, sostituendo il valore ricavato in precedenza, si ottiene il valore delmomento meccanico:

${\displaystyle \mathbf{M}=2\cancel{\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}}\dot{\mathbf{A}}+2m\ddot{\mathbf{A}}+\mathit{\omega }\times 2m\dot{\mathbf{A}}=2m(\ddot{\mathbf{A}}+\mathit{\omega }\times \dot{\mathbf{A}})}$

dove${\displaystyle \ddot{\mathbf{A}}}$ è l'accelerazione areolare. Pertanto, se nel sistema in esame${\displaystyle \mathbf{L}}$ risulta parallelo a${\displaystyle \mathit{\omega }}$, si ha che il momento meccanico è:

${\displaystyle \mathbf{M}=2m\ddot{\mathbf{A}}}$

Inoltre, l'energia cinetica rotazionale vale:

${\displaystyle E_k=\frac{1}{2}\mathbf{L}\cdot \mathit{\omega }=m\dot{\mathbf{A}}\cdot \mathit{\omega }}$

Se il moto avviene sotto l'azione di unaforza centrale, ovvero diretta sempre lungo la retta congiungente la posizione istantanea con un polo fisso, rispetto a tale polo si ha che il momento meccanico è nullo e quindi il momento angolare e la velocità areolare si conservano.

In un moto centrale la velocità areolare è costante durante il moto:

${\displaystyle \mathbf{a}={\mathbf{a}}_c⟹{\mathbf{a}}_t=\frac{\mathbf{h}}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\mathbf{A}})=\frac{2}{r}\frac{\mathrm{d}\dot{\mathbf{A}}}{\mathrm{d}t}\mathbf{h}=0⟹\frac{\mathrm{d}\dot{\mathbf{A}}}{\mathrm{d}t}=0}$

e quindi l'area spazzata da un raggio vettore ha equazione oraria tipica di unmoto uniforme:

${\displaystyle {\mathbf{A}}_{r(t)}=\dot{\mathbf{A}}(t-t_0)+{\mathbf{A}}_{r(t_0)}}$

Questa è una generalizzazione dellaseconda legge di Keplero a tutti i moti centrali.

• Formule di Binet per il moto centrale
• Leggi di Keplero
• Vettore di Darboux

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file suVelocità areolare

Portale Meccanica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Meccanica

• Grandezze cinematiche

• Senza fonti - fisica
• Senza fonti - luglio 2017