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Potenza elettrica

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Inelettrotecnica si definiscepotenza elettrica ilflusso dilavoro elettrico perunità di tempo che, tramite la definizione ditensione ecorrente, si esprime attraverso l'equazione[1]:

p=vi{\displaystyle p=v\,i}

dovep{\displaystyle p} è lapotenza elettrica erogata o assorbita da uncomponente elettrico soggetto a una tensione elettricav{\displaystyle v} e una correntei{\displaystyle i}, entrambe potenzialmente variabili nel tempo. Generalmente nel caso di tensioni e correnti variabili nel tempo si utilizza la potenza media.

Definizione

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Laforza esercitata da uncampo elettrico su unacarica elettrica elementare èF=dq E{\displaystyle \mathbf {F} =dq\ \mathbf {E} }, quindi illavoro elettrico elementare svolto dalla forza lungo una traiettoria infinitesima èdL=F⋅dl{\displaystyle dL=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} }.[2] Definita la potenza elettrica come il flusso di lavoro elettrico nell'unità di tempo, allora si ha:[1]

p=dLdt{\displaystyle p={dL \over dt}}

Introducendo la definizione ditensione elettrica come il lavoro elettrico elementare compiuto per spostare unacarica elementare in un campo elettrostatico lungo una traiettoria infinitesimav=dL/dq{\displaystyle v=dL/dq}[3] e definita l'intensità di corrente come la quantità di carica che fluisce attraverso una superficie nell'intervallo di tempoi=dq/dt{\displaystyle i=dq/dt}[4], allora, sostituendo le due definizioni nell'equazione della potenza elettrica, si ottiene:[1]

p=vi{\displaystyle p=vi}

Corrente continua

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Incorrente continua i valori di tensione e corrente sono costanti nel tempo; è quindi possibile non considerare la dipendenza dal tempo e di conseguenza ottenerev=V{\displaystyle v=V} ei=I{\displaystyle i=I}. Tutta la potenza fornita dai generatori viene dissipata suiresistori del circuito per via dell'effetto Joule, quindi per lalegge di Ohm si ha cheV=RI{\displaystyle V=RI} doveR{\displaystyle R} è alresistenza o, dualmente,I=GV{\displaystyle I=GV} doveG{\displaystyle G} è laconduttanza. Secondo laconvenzione degli utilizzatori allora si ha che la potenza assorbita dall'utilizzatore è:[5]

P=RI2=GV2{\displaystyle P=RI^{2}=GV^{2}}

La potenza in corrente continua è misurata inwatt (simbolo W) e, scelta laconvenzione degli utilizzatori, la potenza è entrante nel bipolo mentre, dualmente, per laconvenzione dei generatori la potenza va considerata uscente.

Corrente alternata

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Nel piano sono visibili in grigio le funzioni rispetto al tempo della tensione e della corrente con il loro valore di piccoVmax{\displaystyle V_{max}} eImax{\displaystyle I_{max}} e lo sfasamentoφ{\displaystyle \varphi }. La funzione della potenzap{\displaystyle p} è in blu e tratteggiate sono visibili la potenza costantePc{\displaystyle P_{c}} e la potenza fluttuantepf{\displaystyle p_{f}}. Dal grafico si nota la pulsazione doppia della potenza rispetto a quella di tensione e corrente.

Incorrente alternata i valori di tensione e corrente sono variabili nel tempo secondo unregime sinusoidale, si ha quindi che scelta unapulsazioneω=2πf{\displaystyle \omega =2\pi f} (dovef{\displaystyle f} è lafrequenza) le funzioni di tensione e corrente sono:

{v=Vmaxsin⁡(ωt+φv)i=Imaxsin⁡(ωt+φi){\displaystyle {\begin{cases}v=V_{\mathrm {max} }\sin {(\omega t+\varphi _{v})}\\i=I_{\mathrm {max} }\sin {(\omega t+\varphi _{i})}\end{cases}}}

Indicato conφ{\displaystyle \varphi } lo sfasamento tra tensione e corrente, ovvero il ritardo di fase della corrente rispetto alla tensioneφ=φv−φi{\displaystyle \varphi =\varphi _{v}-\varphi _{i}} che ha valore compreso tra±π/2{\displaystyle \pm \pi /2} e determinata la relazione tra i valori di picco ivalori efficaci di tensioneVmax=2V{\displaystyle V_{\mathrm {max} }={\sqrt {2}}V} e correnteImax=2I{\displaystyle I_{\mathrm {max} }={\sqrt {2}}I} allora la potenza istantanea su un genericobipolo alimentato in corrente alternata è data da:

p=2Vsin⁡(ωt+φ) 2Isin⁡(ωt){\displaystyle p={\sqrt {2}}V\sin(\omega t+\varphi )\ {\sqrt {2}}I\sin(\omega t)}

tramite l'uso delleformule di Werner si ricava:

p=VIcos⁡φ−VIcos⁡(2ωt+φv+φi){\displaystyle p=VI\cos \varphi -VI\cos(2\omega t+\varphi _{v}+\varphi _{i})}

La funzione della potenza è quindi una funzione periodica conpulsazione doppia (e quindi unperiodo dimezzato) rispetto a quella della tensione e della corrente ed è riscrivibile come la somma di due componentip=Pc+pf{\displaystyle p=P_{c}+p_{f}}. Il primo termine è la potenza costantePc{\displaystyle P_{c}}, rappresenta la potenza assorbita dal bipolo che viene trasformata in calore pereffetto Joule o in lavoro utile nellemacchine elettriche, il secondo termine invece è la potenza fluttuantepf{\displaystyle p_{f}} rappresenta la potenza alternativamente immagazzinata e ceduta dal bipolo.

Potenza attiva

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La potenza attiva o potenza realeP{\displaystyle P} è definita come lamedia della potenzap{\displaystyle p} sulperiodoT{\displaystyle T}, di conseguenza si ha:

P=1T∫0Tp dt{\displaystyle P={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}p\ dt}

Risolvendo l'integrale si determina che la potenza fluttuante ha valore medio nullo in un periodo quindi la potenza costante coincide con la potenza attiva:

P=VIcos⁡φ{\displaystyle P=VI\cos {\varphi }}

Analogamente a quanto avviene per la potenza in corrente continua è misurata inwatt e scelta laconvenzione degli utilizzatori la potenza è entrante nel bipolo mentre dualmente per laconvenzione dei generatori la potenza va considerata uscente. Il suo valore dipende dai valori efficaci di tensione e correnteV{\displaystyle V} eI{\displaystyle I} oltre che dalfattore di potenzacos⁡φ{\displaystyle \cos \varphi }. Scelto il fattore di potenza positivo, ovveroφ{\displaystyle \varphi } compreso tra±π/2{\displaystyle \pm \pi /2}, allora la potenza attiva assume valore massimo quando tensione e corrente sono in fase, ovvero perφ=0{\displaystyle \varphi =0} mentre raggiunge il suo valore minimo (nullo) quando sono in quadratura, ovvero perφ=±π/2{\displaystyle \varphi =\pm \pi /2}.

Considerato che il lavoro elettrico assorbito in un certo intervallo di tempo èL=∫0t0p dt=∫0t0Pc+pf dt{\displaystyle L=\int _{0}^{t_{0}}p\ dt=\int _{0}^{t_{0}}P_{c}+p_{f}\ dt} allora risolvendo separatamente i due integrali si ha:

∫0t0Pc dt=[VIcos⁡φ t]0t0=VIcos⁡φ t0{\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}P_{c}\ dt=\left[VI\cos \varphi \ t\right]_{0}^{t_{0}}=VI\cos \varphi \ t_{0}}
∫0t0pf dt=[−12ωsin⁡(2ωt+φ)]0t0=−sin⁡(ωt0)cos⁡(ωt0+φ)ω{\displaystyle \int _{0}^{t_{0}}p_{f}\ dt=\left[-{1 \over 2\omega }\sin(2\omega t+\varphi )\right]_{0}^{t_{0}}=-{{\sin(\omega t_{0})\cos(\omega t_{0}+\varphi )} \over \omega }}

Set0≫T{\displaystyle t_{0}\gg T} allora si può assumeret0≅nT{\displaystyle t_{0}\cong nT} quindi considerato cheω=2π/T{\displaystyle \omega =2\pi /T} è possibile trascurare il termine della potenza fluttuante e ottenere cheL≅VIcos⁡φ t0{\displaystyle L\cong VI\cos \varphi \ t_{0}}.

Potenza reattiva

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Alcunibipoli (bipolireattivi oelementi d'accumulo) comeinduttori econdensatori sono in grado di immagazzinareenergia e cederla successivamente. Poiché gli scambi avvengono in modoconservativo (sotto l'ipotesi di idealità dei componenti), l'energia complessivamente ceduta e assorbita in un periodo è nulla come evidenziato dal termine incos(2ωt+φv+φi){\displaystyle cos(2\omega t+\varphi _{v}+\varphi _{i})}(componente oscillante) nella formula della potenza istantanea. L'effetto complessivo è che la corrente e la tensione vengono sfasate, rendendo spesso necessario introdurre nel circuito uncondensatore per ilrifasamento del carico.

Per tenere conto di questo fenomeno, si introduce lapotenza reattiva che inregime sinusoidale viene definita come:

Q=VIsin⁡φ{\displaystyle Q=VI\sin {\varphi }}

Di nuovoφ{\displaystyle \varphi } è l'angolo di sfasamento. Inregimi periodici non sinusoidali la definizione di potenza reattiva è meno intuitiva (vedere sotto). In regime sinusoidale è la parte immaginaria della potenza complessa. L'unità di misura è preferibilmente ilvoltampere reattivo (var).

Partendo da tensionev(t) e correntei(t) istantanei è possibile calcolare la potenza reattiva istantanea utilizzando la seguente formula[6]:

Q(t)=12ω⋅(v(t)di(t)dt−i(t)dv(t)dt){\displaystyle Q(t)={\frac {1}{2\omega }}\cdot \left(v(t){\frac {di(t)}{dt}}-i(t){\frac {dv(t)}{dt}}\right)}

Da cui:

Q=∫TQ(t)dtT=VIsin⁡φ{\displaystyle Q={\frac {\int _{T}Q(t)\,dt}{T}}=VI\sin {\varphi }}

ponendo:

v(t)=V2⋅sin⁡ωti(t)=I2sin⁡(ωt−φ){\displaystyle v(t)=V{\sqrt {2}}\cdot \sin {\omega t}\qquad i(t)=I{\sqrt {2}}\sin {(\omega t-\varphi )}}

Potenza apparente

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Per quanto non dissipino energia, i bipoli reattivi fanno sì che in alcuni intervalli di tempo la corrente che circola sia maggiore di quella necessaria ai carichi resistivi (e quindi anche la potenza istantanea ceduta dal generatore). Per dimensionare opportunamente conduttori e generatori si introduce lapotenza apparente:

S=VmaxImax2=VI{\displaystyle S={\frac {V_{\mathrm {max} }I_{\mathrm {max} }}{2}}=VI}

doveV{\displaystyle V} eI{\displaystyle I} sono il valore efficace della tensione e della corrente.

In regime sinusoidale, corrisponde all'ampiezza dell'oscillazione della potenza istantanea attorno al suo valore medio. Inregimi periodici non sinusoidali la definizione è sempre il prodotto deivalori efficaci di tensione e corrente. Si misura involtampere (VA).

Potenza complessa

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Valori istantanei della potenzap(t){\displaystyle p(t)} della potenza quando è sinusoidale. La potenza effettiva prelevata (curva 1) può essere vista come una sovrapposizione di una componente che contribuisce alla potenza attiva (curva 3) e una componente che contribuisce alla potenza reattiva (curva 2). La linea tratteggiata,P{\displaystyle P} è la potenza attiva, ovvero il valore medio della curva 3.

Per comodità, si definisca la potenza complessa comefasore:

S¯=P+jQ{\displaystyle {\bar {S}}=P+jQ}

Questa grandezza esprime in modo compatto tutte le altre introdotte finora. In terminifasoriali, per un'impedenzaZ¯=Z(cos⁡φ+jsenφ)=R+jX{\displaystyle {\bar {Z}}=Z\left(\cos {\varphi }+j\mathrm {sen} {\varphi }\right)=R+jX}, doveR è laresistenza eX lareattanza, si ha:

S¯=V¯⋅I¯∗{\displaystyle {\bar {S}}={\bar {V}}\cdot {\bar {I}}^{*}}

doveV¯{\displaystyle {\bar {V}}} è il fasore della tensione eI¯∗{\displaystyle {\bar {I}}^{*}} è ilconiugato del fasore della corrente.

I tre valori diP{\displaystyle P},Q{\displaystyle Q} eS{\displaystyle S} sono legati tra loro dalfattore di potenza:

S=Q2+P2{\displaystyle S={\sqrt {Q^{2}+P^{2}}}}

P=Scos⁡φ{\displaystyle P=S\cos \varphi }

Q=Ssin⁡φ{\displaystyle Q=S\sin \varphi }

Potenze assorbite da un bipolo

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Considerato un bipolo di impedenzaZ¯=Z(cos⁡φ+jsin⁡φ){\displaystyle {\bar {Z}}=Z(\cos {\varphi }+j\sin {\varphi })} legata a tensione e corrente tramite la relazioneV¯=Z¯I¯{\displaystyle {\bar {V}}={\bar {Z}}{\bar {I}}} e definita la potenza complessaS¯=V¯⋅I¯∗{\displaystyle {\bar {S}}={\bar {V}}\cdot {\bar {I}}^{*}} allora si haS¯=Z¯⋅I¯⋅I¯∗{\displaystyle {\bar {S}}={\bar {Z}}\cdot {\bar {I}}\cdot {\bar {I}}^{*}} da cui si ottengono:

Rappresentazione vettoriale

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Grafico rappresentante il fattore di potenza

Si immagini di tracciare undiagramma polare di Argand-Gauss ove sugli assi X e Y siano rispettivamente rappresentate tensione e corrente. Si veda la tensione come un vettore giacente sull'asse X, che partendo dall'origine si dirige orizzontalmente verso destra. Se per la misura dello sfasamento si prende come riferimento la tensione, quest'ultima non ha componente immaginaria. La corrente si deve invece scomporre nella componente reale, che si sovrappone per direzione e verso alla tensione, e nella parte immaginaria, che appare ruotata di 90º (parte superiore del grafico) per le componenti induttive e −90º (parte inferiore del grafico) per le componenti capacitive. La potenza attiva è il prodotto fasoriale di tensione e parte reale della corrente, per cui giace sovrapposta all'asse della tensione (vettore P nel grafico). Il prodotto fasoriale tra tensione e parte immaginaria della corrente origina il fasore Q nel grafico, il cui verso dipende dalla natura dello sfasamento. Se in un circuito è presente sia una parte induttiva sia una capacitiva si può facilmente intuire come la potenza reattiva si compensi, in maniera totale o parziale, in quanto somma vettoriale dei due assi con uguale direzione ma verso opposto.

Dal grafico deriva che il legame tra le tre potenze può essere rappresentato anche graficamente tramite untriangolo rettangolo avente per ipotenusa il fasore della potenza apparenteS e come cateti gli assi fasori della potenza attivaP e della potenza reattivaQ.Ovviamente l'angolo tra i cateti sarà un angolo di 90 gradi mentre l'angolo compreso traP eS sarà l'angoloφ, cioè l'angolo di sfasamento tra tensione e corrente.

Teorema di Boucherot (o Metodo delle potenze)

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La somma delle potenze attive (o reattive) erogate dai generatori in un circuito lineare e senza dissipazioni è uguale alla somma aritmetica delle potenze attive e allasomma algebrica delle potenze reattive (in quanto la potenza reattiva può essere tanto positiva quanto negativa: positiva se induttiva, negativa se capacitiva) assorbite dai bipoli.

Il teorema esprime il fatto che le due grandezze sono completamente indipendenti l'una dall'altra, giustificando, tra l'altro, l'uso diunità di misura diverse.

Il teorema dice quindi che quando sono presenti in cascata più carichi è possibile sommare tra loro le potenze attive e reattive ma non quelle apparenti, tranne nel caso in cui l'angolo di sfasamento (φ) sia uguale per tutti i carichi.

È notevole, per esempio, che alcuni generatori (come per esempio unmotore asincrono fatto funzionare con scorrimento negativo) non siano in grado di fornire potenza reattiva. Se collegati in un generico circuito non sono infatti in grado di alimentare un carico (che normalmente ha anche una componentereattiva, anche solo per effetti dicapacità parassita). Generatori di questo tipo non si comportano, elettricamente, comegeneratori di tensione né comegeneratori di corrente, ma, più propriamente, comeresistenze di valore negativo. Di conseguenza, sono solitamente schematizzati comeresistenze negative per evidenziare questo fatto.

Dimostrazione

Partendo dalteorema di Tellegen, in formafasoriale, si ha:

∑k=1lV¯k⋅I¯k=0=∑k=1lV¯k⋅I¯k∗{\displaystyle \sum _{k=1}^{l}{\bar {V}}_{k}\cdot {\bar {I}}_{k}=0=\sum _{k=1}^{l}{\bar {V}}_{k}\cdot {\bar {I}}_{k}^{*}}

dove la somma è fatta suik{\displaystyle k} bipoli del circuito (si supponga di usare laconvenzione degli utilizzatori). Poi, si separino i termini dovuti a generatori e quelli dovuti a impedenze. Per i termini dovuti a generatori il prodottoV¯⋅I¯∗{\displaystyle {\bar {V}}\cdot {\bar {I}}^{*}} rappresenta la potenza complessa erogata dal generatore (cambiata di segno, data la convenzione usata). Si scrivano i termini dovuti a impedenze sostituendoV¯=Z¯⋅I¯{\displaystyle {\bar {V}}={\bar {Z}}\cdot {\bar {I}}} e si ottiene:

∑k=1l(−S¯k+Z¯Ik2)=∑k=1l(−Pk−jQk+RkIk2+jXkIk2)=0{\displaystyle \sum _{k=1}^{l}(-{\bar {S}}_{k}+{\bar {Z}}{I_{k}}^{2})=\sum _{k=1}^{l}(-P_{k}-jQ_{k}+R_{k}I_{k}^{2}+jX_{k}I_{k}^{2})=0}

dove P e Q sono le potenze attive e reattive erogate dai generatori. Uguagliando a zero parte reale e parte immaginaria, si ottiene la tesi:

∑k=1lPk=∑k=1lRkIk2{\displaystyle \sum _{k=1}^{l}P_{k}=\sum _{k=1}^{l}R_{k}I_{k}^{2}}
∑k=1lQk=∑k=1lXkIk2{\displaystyle \sum _{k=1}^{l}Q_{k}=\sum _{k=1}^{l}X_{k}I_{k}^{2}}

Sistemi polifase

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Quanto descritto nella sezione precedente è riferito a unsistema monofase, costituito cioè da un circuito con un unico generatore.

Quando si passi a considerare un sistema costituito da più fasi, per esempio ilsistema trifase comunemente utilizzato nella produzione, trasmissione e distribuzione elettrica, le potenze sono date dalle seguenti formule, valide per il sistema trifase ma generalizzabili a più fasi:

P=P1+P2+P3{\displaystyle P=P_{1}+P_{2}+P_{3}\;}
Q=Q1+Q2+Q3{\displaystyle Q=Q_{1}+Q_{2}+Q_{3}\;}
PA=P2+Q2{\displaystyle P_{A}={\sqrt {P^{2}+Q^{2}}}}

Se il sistema èsimmetrico ed equilibrato, si possono esprimere anche in funzione dellegrandezze di linea (come viene sempre fatto nei dati di targa) o dellegrandezze di fase. Basta tenere conto della relazione tra grandezze di fase e di linea e si ottiene:

⟨P⟩=3⋅EfIfcos⁡φ=3⋅VlIlcos⁡φ{\displaystyle \langle P\rangle =3\cdot E_{f}I_{f}\cos {\varphi }={\sqrt {3}}\cdot V_{l}I_{l}\cos {\varphi }}
⟨Q⟩=3⋅EfIfsin⁡φ=3⋅VlIlsin⁡φ{\displaystyle \langle Q\rangle =3\cdot E_{f}I_{f}\sin {\varphi }={\sqrt {3}}\cdot V_{l}I_{l}\sin {\varphi }}
⟨S⟩=3⋅EfIf=3⋅VlIl{\displaystyle \langle S\rangle =3\cdot E_{f}I_{f}={\sqrt {3}}\cdot V_{l}I_{l}}.

Per ogni singola fase si ha (φ{\displaystyle \varphi } è lo sfasamento tra tensione e corrente, ω è la frequenza di oscillazione,t è il tempo):

P(t)=2VI⋅sin⁡ωt⋅sin⁡(ωt−φ)=2VI⋅(sin2⁡ωt⋅cos⁡φ−sin⁡φ⋅sin⁡ωt⋅cos⁡ωt)={\displaystyle {P(t)=2VI\cdot \sin \omega t\cdot \sin(\omega t-\varphi )=2VI\cdot \left(\sin ^{2}\omega t\cdot \cos \varphi -\sin \varphi \cdot \sin \omega t\cdot \cos \omega t\right)=}}
=2VI⋅(1−cos⁡2ωt2⋅cos⁡φ−12sin⁡φ⋅sin⁡2ωt)=VI⋅cos⁡φ−VI⋅cos⁡(2ωt−φ){\displaystyle {=2VI\cdot \left({\frac {1-\cos {2\omega t}}{2}}\cdot \cos {\varphi }-{\frac {1}{2}}\sin {\varphi }\cdot \sin {2\omega t}\right)=VI\cdot \cos {\varphi }-VI\cdot \cos(2\omega t-\varphi )}}

L'ultima equazione mostra che la potenza istantanea è composta da un primo termine costante che equivale alla potenza attiva e un secondo termine funzione sinusoidale del tempo. Sommando i valori ottenuti per le tre fasi, i secondi termini delle equazioni, essendo sfasati di 120º si annullano, e la potenza istantanea risulta uguale alla somma dei primi termini, costanti.

Corrente periodica non sinusoidale

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Questi sistemi vengono studiati tramite l'analisi di Fourier, spesso scritta utilizzando i fasori (a partire dallaforma polare). Utilizzando questo strumento, si può calcolare la potenza attiva nella rete come somma delle potenze attive calcolatesingolarmente per ciascunaarmonica. In generale, quindi, bisognerà studiare separatamente il circuito per ciascuna delle armoniche (come si farebbe per il regime sinusoidale) disattivando i generatori (o le loro componenti) a frequenze diverse;solo alla fine si potranno sommare i risultati ottenuti per ciascuna armonica.

Un'ulteriore complicazione è data dal fatto che tensione e corrente possono avereforme d'onda diverse. Questo rende arduo definire la potenza reattiva in accordo al suo significato fisico; per analogia con la potenza attiva si definisce come somma delle potenze reattive calcolate per ciascuna armonica. Non vale più ilteorema di Boucherot, ePA2≠P2+Q2{\displaystyle P_{A}^{2}\neq P^{2}+Q^{2}}. Per tenere conto di questo effetto si definisce lapotenza deformante, che è nulla per i circuiti che non modificano la forma d'onda. La potenza apparente viene invece definita utilizzando i valori efficaci (complessivi) di tensione e corrente; non è, quindi, la somma delle potenze apparenti.

Indicando con gli indicin i fasori dellaserie di Fourier e conφn{\displaystyle \varphi _{n}} lo sfasamento tra la tensioneVn{\displaystyle V_{n}} e la correnteIn{\displaystyle I_{n}}, si definiscono:

P=1T∫Tp(t)dt=∑nVnIn⋅cos⁡φn=∑nPn{\displaystyle P={\frac {1}{T}}\int _{T}p(t)\,dt=\sum _{n}V_{n}I_{n}\cdot \cos {\varphi _{n}}=\sum _{n}P_{n}}
Q=∑nVnIn⋅sin⁡φn=∑nQn{\displaystyle Q=\sum _{n}V_{n}I_{n}\cdot \sin {\varphi _{n}}=\sum _{n}Q_{n}}
PA=V⋅I=∑nVn2⋅∑nIn2{\displaystyle P_{A}=V\cdot I={\sqrt {\sum _{n}V_{n}^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum _{n}I_{n}^{2}}}}
D2=PA2−(P2+Q2){\displaystyle D^{2}=P_{A}^{2}-(P^{2}+Q^{2})}

Massimo trasferimento di potenza

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Poiché, secondo ilteorema di Thévenin, ognibipoloresistivo (oadinamico) composto cioè da soliresistori,generatori indipendenti,generatori controllati ogiratori può essere rappresentato come una serie tra un resistore (dettoresistore equivalente di Thévenin,Rth{\displaystyle R_{th}}) e un generatore di tensione indipendente (generatore equivalente di Thévenin,Eth{\displaystyle E_{th}}), si può determinare la massima potenza erogabile dal bipolo. Ciò avverrà quando il bipolo stesso è chiuso su un resistore il cui valore di resistenza è uguale allaRth{\displaystyle R_{th}}.

Dimostrazione
Schema massima potenza ottenibile con circuito Thévenin

Si applichi ungeneratore reale di tensione ai due morsetti una generica resistenzaR. Sia quindiP=VI=Ri2{\displaystyle P=VI=Ri^{2}} ei=EthR+Rth{\displaystyle i={\frac {E_{th}}{R+R_{th}}}}. Sostituendo si ottiene la relazione tra la potenza erogata dal circuito e la resistenza applicata:P=R Eth2(R+Rth)2{\displaystyle P={\frac {R\ E_{th}^{2}}{(R+R_{th})^{2}}}}. Per ottenere il valore massimo si deve annullare laderivata di questa funzione:dPdR=0{\displaystyle {\frac {dP}{dR}}=0}. Sviluppando si ottieneP=Eth2R2+2RRth+Rth2R{\displaystyle P={\frac {E_{th}^{2}}{\frac {R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2}}{R}}}}, quindi ci interessa solo la derivata del denominatore:ddenomPdR=R(2R+2Rth)−(R2+2RRth+Rth2)R2={\displaystyle {\frac {d_{denom}P}{dR}}={\frac {R(2R+2R_{th})-(R^{2}+2RR_{th}+R_{th}^{2})}{R^{2}}}=}=R2−Rth2R2=0→R=Rth{\displaystyle ={\frac {R^{2}-R_{th}^{2}}{R^{2}}}=0\rightarrow R=R_{th}}.

Ne consegue, tramite una semplice sostituzione, che la potenza massima erogata sarà data dal seguente valore:Pmax=Eth24Rth{\displaystyle P_{max}={\frac {E_{th}^{2}}{4R_{th}}}}.

Il teorema si estende facilmente a circuiti lineari in regime periodico sinusoidale. In questo caso si vuole non solo che siano identiche le resistenze, ma anche che si annulli lareattanza (nella dimostrazione di cui sopra comparirà al denominatore sommata in quadratura alla resistenza). Questo risultato si ottiene, per esempio, ponendo uncondensatore in parallelo a un carico induttivo in modo che vi siarisonanza. In questo modo i bipoli reattivi scambiano energia solo tra di loro, così che lapotenza reattiva erogata dal generatore sia nulla e quindi la corrente erogata dal generatore sia solo quella che effettivamente compirà lavoro utile. Questo è di particolare importanza negliimpianti elettrici, il cui adattamento prende il nome dirifasamento.

Note

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  1. ^abcArturi, 2017, p. 7.
  2. ^Arturi, 2017, p. 1.
  3. ^Arturi, 2017, p. 2.
  4. ^Arturi, 2017, p. 4.
  5. ^Turchetti, p. 225.
  6. ^tenti, 2003.

Bibliografia

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Voci correlate

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Altri progetti

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Collegamenti esterni

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