1+
2+ > 看懂很容易，彻底掌握需要下功夫
3+
14#第39题. 组合总和
25
6+ 题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/combination-sum/
7+
38给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。
49
510candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
611
7- ** 说明：**
12+ 说明：
813
9- 所有数字（包括 target）都是正整数。
10- 解集不能包含重复的组合。
14+ *
15+ *
1116
12- 示例 1：
17+ 示例 1：
18+ 输入：candidates =[ 2,3,6,7] , target = 7,
19+ 所求解集为：
20+ [
21+ [ 7] ,
22+ [ 2,2,3]
23+ ]
1324
14- 输入：candidates =[ 2,3,6,7] , target = 7,
15- 所求解集为：
16- [
17- [ 7] ,
18- [ 2,2,3]
19- ]
20-
21- 示例 2：
22-
23- 输入：candidates =[ 2,3,5] , target = 8,
24- 所求解集为：
25- [
26- [ 2,2,2,2] ,
27- [ 2,3,3] ,
28- [ 3,5]
29- ]
25+ 示例 2：
26+ 输入：candidates =[ 2,3,5] , target = 8,
27+ 所求解集为：
28+ [
29+ [ 2,2,2,2] ,
30+ [ 2,3,3] ,
31+ [ 3,5]
32+ ]
3033
3134#思路
3235
3336题目中的** 无限制重复被选取，吓得我赶紧想想 出现0 可咋办** ，然后看到下面提示：1 <= candidates[ i] <= 200，我就放心了。
3437
38+ 本题和[ 回溯算法：求组合问题！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ ) ，[ 回溯算法：求组合总和！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w ) 和区别是：本题没有数量要求，可以无限重复，但是有总和的限制，所以间接的也是有个数的限制。
3539
36- 这道题上来可以这么想，看看一个数能不能构成target，一个for循环遍历一遍，再看看两个数能不能构成target，两个for循环遍历，在看看三个数能不能构成target，三个for循环遍历，直到candidates.size()个for循环遍历一遍。
40+ 本题搜索的过程抽象成树形结构如下：
3741
38- 遇到这种问题，就要想到递归的层级嵌套关系就可以解决这种多层for循环的问题，而回溯则帮我们选择每一个合适的集合！
42+ < img src = ' ../pics/39.组合总和.png ' width = 600 > </ img ></ div >
3943
40- 那么使用回溯的时候，要知道求的是排列，还是组合，排列和组合是不一样的。
44+ 注意图中叶子节点的返回条件，因为本题没有组合数量要求，仅仅是总和的限制，所以递归没有层数的限制，只要选取的元素总和超过target，就返回！
4145
42- 一些同学可能海分不清，我大概说一下：
46+ 而在 [ 回溯算法：求组合问题！ ] ( https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ ) 和 [ 回溯算法：求组合总和！ ] ( https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w ) 中都可以知道要递归K层，因为要取k个元素的组合。
4347
44- ** 组合是不强调元素顺序的，排列是强调元素顺序的。 **
48+ ## 回溯三部曲
4549
46- 例如 集合 1，2 和 集合 2，1 在组合上，就是一个集合，因为不强调顺序，而要是排列的话，1，2 和 2，1 就是两个集合了。
50+ * 递归函数参数
4751
48- ** 求组合，和求排列的回溯写法是不一样的，代码上有小小细节上的改变。 **
52+ 这里依然是定义两个全局变量，二维数组result存放结果集，数组path存放符合条件的结果。（这两个变量可以作为函数参数传入）
4953
50- 本题选组过程如下：
54+ 首先是题目中给出的参数，集合candidates, 和目标值target。
5155
52- <img src =' ../pics/39.组合总和.png ' width =600 > </img ></div >
56+ 此外我还定义了int型的sum变量来统计单一结果path里的总和，其实这个sum也可以不用，用target做相应的减法就可以了，最后如何target==0就说明找到符合的结果了，但为了代码逻辑清晰，我依然用了sum。
57+
58+ ** 本题还需要startIndex来控制for循环的起始位置，对于组合问题，什么时候需要startIndex呢？**
59+
60+ 我举过例子，如果是一个集合来求组合的话，就需要startIndex，例如：[ 回溯算法：求组合问题！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ ) ，[ 回溯算法：求组合总和！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w ) 。
61+
62+ 如果是多个集合取组合，各个集合之间相互不影响，那么就不用startIndex，例如：[ 回溯算法：电话号码的字母组合] ( https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A )
63+
64+ ** 注意以上我只是说求组合的情况，如果是排列问题，又是另一套分析的套路，后面我再讲解排列的时候就重点介绍** 。
5365
66+ 代码如下：
5467
55- 分析完过程，回溯算法的模板框架如下：
5668```
57- backtracking() {
58- if (终止条件) {
59- 存放结果;
60- }
69+ vector<vector<int>> result;
70+ vector<int> path;
71+ void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex)
72+ ```
6173
62- for (选择：选择列表（可以想成树中节点孩子的数量）) {
63- 递归，处理节点;
64- backtracking();
65- 回溯，撤销处理结果
66- }
74+ * 递归终止条件
75+
76+ 在如下树形结构中：
77+
78+ <img src =' ../pics/39.组合总和.png ' width =600 > </img ></div >
79+
80+ 从叶子节点可以清晰看到，终止只有两种情况，sum大于target和sum等于target。
81+
82+ sum等于target的时候，需要收集结果，代码如下：
83+
84+ ```
85+ if (sum > target) {
86+ return;
87+ }
88+ if (sum == target) {
89+ result.push_back(path);
90+ return;
6791}
6892```
6993
70- 按照模板不难写出如下代码，但很一些细节，我在注释中标记出来了。
94+ * 单层搜索的逻辑
95+
96+ 单层for循环依然是从startIndex开始，搜索candidates集合。
97+
98+ ** 注意本题和[ 回溯算法：求组合问题！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ ) 、[ 回溯算法：求组合总和！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w ) 的一个区别是：本题元素为可重复选取的** 。
7199
72- # C++代码
100+ 如何重复选取呢，看代码，注释部分：
73101
74102```
103+ for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
104+ sum += candidates[i];
105+ path.push_back(candidates[i]);
106+ backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点:不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
107+ sum -= candidates[i]; // 回溯
108+ path.pop_back(); // 回溯
109+ }
110+ ```
111+
112+ 按照[ 关于回溯算法，你该了解这些！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/gjSgJbNbd1eAA5WkA-HeWw ) 中给出的模板，不难写出如下C++完整代码：
113+
114+ ```
115+ // 版本一
75116class Solution {
76117private:
77118 vector<vector<int>> result;
@@ -85,20 +126,102 @@ private:
85126 return;
86127 }
87128
88- // 这里i 依然从 startIndex开始，因为求的是组合，如果求的是排列，那么i每次都从0开始
89129 for (int i = startIndex; i < candidates.size(); i++) {
90130 sum += candidates[i];
91131 path.push_back(candidates[i]);
92- backtracking(candidates, target, sum, i); // 关键点在这里，不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
132+ backtracking(candidates, target, sum, i); // 不用i+1了，表示可以重复读取当前的数
133+ sum -= candidates[i];
134+ path.pop_back();
135+ }
136+ }
137+ public:
138+ vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
139+ result.clear();
140+ path.clear();
141+ backtracking(candidates, target, 0, 0);
142+ return result;
143+ }
144+ };
145+ ```
146+
147+ ##剪枝优化
148+
149+ 在这个树形结构中：
150+
151+ <img src =' ../pics/39.组合总和.png ' width =600 > </img ></div >
152+
153+ 以及上面的版本一的代码大家可以看到，对于sum已经大于target的情况，其实是依然进入了下一层递归，只是下一层递归结束判断的时候，会判断sum > target的话就返回。
154+
155+ 其实如果已经知道下一层的sum会大于target，就没有必要进入下一层递归了。
156+
157+ 那么可以在for循环的搜索范围上做做文章了。
158+
159+ ** 对总集合排序之后，如果下一层的sum（就是本层的 sum + candidates[ i] ）已经大于target，就可以结束本轮for循环的遍历** 。
160+
161+ 如图：
162+
163+ <img src =' ../pics/39.组合总和1.png ' width =600 > </img ></div >
164+
165+
166+ for循环剪枝代码如下：
167+
168+ ```
169+ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++)
170+ ```
171+
172+ 整体代码如下：（注意注释的部分）
173+
174+ ```
175+ class Solution {
176+ private:
177+ vector<vector<int>> result;
178+ vector<int> path;
179+ void backtracking(vector<int>& candidates, int target, int sum, int startIndex) {
180+ if (sum > target) {
181+ return;
182+ }
183+ if (sum == target) {
184+ result.push_back(path);
185+ return;
186+ }
187+
188+ // 如果 sum + candidates[i] > target 就终止遍历
189+ for (int i = startIndex; i < candidates.size() && sum + candidates[i] <= target; i++) {
190+ sum += candidates[i];
191+ path.push_back(candidates[i]);
192+ backtracking(candidates, target, sum, i);
93193 sum -= candidates[i];
94194 path.pop_back();
95195
96196 }
97197 }
98198public:
99199 vector<vector<int>> combinationSum(vector<int>& candidates, int target) {
200+ result.clear();
201+ path.clear();
202+ sort(candidates.begin(), candidates.end()); // 需要排序
100203 backtracking(candidates, target, 0, 0);
101204 return result;
102205 }
103206};
104207```
208+
209+ #总结
210+
211+ 本题和我们之前讲过的[ 回溯算法：求组合问题！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/OnBjbLzuipWz_u4QfmgcqQ ) 、[ 回溯算法：求组合总和！] ( https://mp.weixin.qq.com/s/HX7WW6ixbFZJASkRnCTC3w ) 有两点不同：
212+
213+ * 组合没有数量要求
214+ * 元素可无限重复选取
215+
216+ 针对这两个问题，我都做了详细的分析。
217+
218+ 并且给出了对于组合问题，什么时候用startIndex，什么时候不用，并用[ 回溯算法：电话号码的字母组合] ( https://mp.weixin.qq.com/s/e2ua2cmkE_vpYjM3j6HY0A ) 做了对比。
219+
220+ 最后还给出了本题的剪枝优化，这个优化如果是初学者的话并不容易想到。
221+
222+ ** 在求和问题中，排序之后加剪枝是常见的套路！**
223+
224+ 可以看出我写的文章都会大量引用之前的文章，就是要不断作对比，分析其差异，然后给出代码解决的方法，这样才能彻底理解题目的本质与难点。
225+
226+ ** 就酱，如果感觉很给力，就帮Carl宣传一波吧，哈哈** 。
227+