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Triplet pythagoricien

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Enarithmétique, untriplet pythagoricien outriplet de Pythagore est untriplet $(a,b,c)$ d'entiers naturels non nuls vérifiant larelation de Pythagore : $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ . Le triplet pythagoricien le plus connu est (3, 4, 5).

À tout triplet pythagoricien est associé untriangle de côtés entiers $a, b, c {\displaystyle a,b,c}$ , forcémentrectangle d’hypoténuse $c {\displaystyle c}$ , ainsi qu'unrectangle de côtés entiers $a, b {\displaystyle a,b}$ , et de diagonale entière $c {\displaystyle c}$ .

Historique

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La plus ancienne trace découverte de la connaissance de tels triplets remonterait à la tablettePlimpton 322, un document écrit vers1800av. J.-C. dans l'ancien Irak, qui fait apparaître 15 couples de nombres qui peuvent être complétés pour former ce qu'on appelle aujourd'hui des triplets pythagoriciens^[1]^,^[2].

Mais les spécialistes ne sont pas tous d'accord, et d'autres interprétations de la tablette ont été proposées^[3].

Pythagore, auVI^e siècle avant notre ère, n’a laissé aucun texte écrit et les sources diverses le concernant se contredisent. Il est cependant à peu près certain qu'il connaissait le triplet (3, 4, 5). Le philosophe Proclus deLycie, auV^e siècle de notre ère, dans son commentaire sur le livre I desÉléments d’Euclide (rédigé vers 300 avant notre ère), attribue à Pythagore la découverte de la formule générale que nous notons aujourd’hui $(2n+1,2n^{2}+2n,2n^{2}+2n+1)$ , où $n {\displaystyle n}$ est un entier strictement positif^[3].

Toujours d'après Proclus,Platon connaissait une deuxième famille infinie de triplets pythagoriciens : $(n^{2}-1,2n,n^{2}+1)$ ^[3].

Cas général

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Les deux formules connues des Grecs montrent qu'il existe une infinité de triplets pythagoriciens et que tout entier $\geqslant 3$ fait partie d'un tel triplet (la première formule faisant intervenir $2n+1$ et la deuxième $2n$ ).

Voici un théorème donnant une formule générant l'ensemble de ces triplets.

Théorème — Le triplet $(a,b,c)$ est pythagoricien si et seulement s'il existe deux entiers $0<q<p$ tels que

{\frac {a}{c}}={\frac {p^{2}-q^{2}}{p^{2}+q^{2}}}

{\frac {b}{c}}={\frac {2pq}{p^{2}+q^{2}}}

La démonstration classique utilise une paramétrisation rationnelle du cercle unité^[4] :

Démonstration

Il est possible de paramétriser le cercle unité d'équationx² +y² = 1, privé du point A(–1 , 0), à l'aide de la pentet de la droite passant par A et rencontrant le cercle en M(x,y). Les coordonnées de M sont alors : $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ et $y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ En effet, la pente de (AM) étantt, on ay =t(x + 1) et l'équation du cercle s'écrit alors $x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0$ puis, après simplification parx + 1, non nul, et regroupement des termes on obtient : $x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ puis $y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ De plus,x ety sont des rationnels strictement positifs si et seulement sit est un rationnel strictement compris entre 0 et 1.

Au triplet d'entiers strictement positifs (a,b,c), on associe le point M de coordonnées(a/c,b/c) rationnelles strictement positives. Le triplet (a,b,c) est pythagoricien si et seulement si le point M est un point du cercle unité. Cela se traduit par les conditions : ${\frac {a}{c}}=x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}$ et ${\frac {b}{c}}=y={\frac {2t}{1+t^{2}}}$ oùt est un rationnelq/p strictement compris entre 0 et 1, ce qui conclut.

Cas des triplets primitifs

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Un triplet pythagoricien $(a,b,c)$ est dit « primitif » si les trois entiers $a, b {\displaystyle a,b}$ et $c {\displaystyle c}$ sontpremiers entre eux dans leur ensemble. Il suffit pour cela que deux d'entre eux le soient (puisqu'undiviseur premier commun à deux des nombres divisera le troisième).

Il existe une infinité de triplets primitifs (voirinfra). Les 16 premiers par ordre croissant dec, avec $a<b$ , sont ceux dont les trois termes sont inférieurs à 100^[5] :

(3, 4, 5)
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)
(20, 21, 29)
(12, 35, 37)
(9, 40, 41)
(28, 45, 53)
(11, 60, 61)
(16, 63, 65)
(33, 56, 65)
(48, 55, 73)
(13, 84, 85)
(36, 77, 85)
(39, 80, 89)
(65, 72, 97)

Ces triplets mis bout à bout forment la suiteA103606 de l'OEIS.

Tout triplet pythagoricien $(a,b,c)$ est, de manière unique, produit d'un triplet pythagoricien primitif par un entier strictement positif : lepgcd de $(a,b,c)$ .

Si l'on divise par $c^{2}$ , on obtient :

{\frac {a^{2}}{c^{2}}}+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}=1

Autrement dit, les triplets pythagoriciens primitifs correspondent biunivoquement aux points ducercle unité àcoordonnées rationnelles donnés sous formeirréductible par $\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)$ .

Théorème fondamental décrivant tous les triplets primitifs

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Si $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien primitif alors $(b,a,c)$ aussi, et soita soitb est impair, ces deux cas étant exclusifs. Le théorème suivant caractérise donc tous ces triplets.

Il y a équivalence^[6]^,^[7]^,^[8] entre
(i) $(a,b,c)$ est un triplet pythagoricien primitif avec $a {\displaystyle a}$ impair.
(ii) Il existe un couple de nombres $(p,q)\in \mathbb {N} ^{*2}$ avecp >q ,p etq premiers entre eux et de parités différentes, tels que
$a=p^{2}-q^{2},\quad b=2pq\quad {\text{et}}\quad c=p^{2}+q^{2}.$

Démonstration

D'après la forme générale des triplets pythagoriciens (voirsupra), ceux qui sont primitifs sont les triplets de la forme $a={\frac {p^{2}-q^{2}}{d}},\quad b={\frac {2pq}{d}},\quad c={\frac {p^{2}+q^{2}}{d}}\quad {\text{avec}}\quad p,q\in \mathbb {N} ,\quad 0<q<p,\quad$ $d=\operatorname {pgcd} (p^{2}-q^{2},p^{2}+q^{2})\mid \operatorname {pgcd} (2p^{2},2q^{2})$ etsans perte de généralité,p etq premiers entre eux, si bien qued est égal à1 ou2, selon quep etq sont de parités différentes ou de même parité.

(i) ⇒(ii) : Si de plusa est impair alorsp etq sont de parités différentes (car s'ils étaient tous deux impairs,a serait pair, comme quotient pard = 2 d'un entier divisible par4). Il s'ensuit qued = 1, d'où(ii).
(ii) ⇒(i) : Réciproquement, supposons(ii). Alors(a,b,c) est de la forme ci-dessus avecd = 1 et $a={\frac {p^{2}-q^{2}}{1}}$ impair, d'où(i).

Remarques :

La famille $(p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})$ était connue d'Euclide^[3].
Pour un triplet primitif (a,b,c) aveca impair, le couple (p, q) est unique : $p={\sqrt {\frac {a+c}{2}}},q={\sqrt {\frac {c-a}{2}}}$ .
Le cas $q=1$ etp pair implique que tout nombre multiple de 4 : $2p\geqslant 4$ fait partie d'au moins un triplet primitif : $(p^{2}-1,2p,p^{2}+1)$ (famille "de Platon" donnée ci-dessus).
En posant $m=p+q$ et $n=p-q$ , une reformulation de ce théorème est :

Théorème —

(a,b,c)

est un triplet pythagoricien primitif avec

a {\displaystyle a}

impair si et seulement s'il existe deux entiers impairs premiers entre eux

m>n\geqslant 1

tels que

a=mn,\quad b={\frac {m^{2}-n^{2}}{2}}\quad {\text{et}}\quad c={\frac {m^{2}+n^{2}}{2}}.

Le cas $n=1$ implique que tout nombre impair $m\geqslant 3$ fait partie d'au moins un triplet primitif : $(m,(m^{2}-1)/2,(m^{2}+1)/2)$ (famille équivalente à celle de Pythagore donnée ci-dessus).

Propriétés d'un triplet pythagoricien primitif

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Un triplet primitif $(a,b,c)$ avec $a {\displaystyle a}$ impair, $a=p^{2}-q^{2},b=2pq,c=p^{2}+q^{2}$ donnés par le théorème précédent possède les propriétés suivantes :

Triangle rectangle (ABC) associé au triplet (*a,b,c*)

Triangle (3, 4, 5) avec son cercle inscrit de rayon 1.

b est multiple de 4 (donc aucun entier de la forme4k + 2 n'appartient à un triplet pythagoricien primitif) ;
un entier exactement parmia etb est multiple de 3^[9] ;
un entier exactement parmia,b etc est multiple de 5^[9] ;
la hauteur issue de l'angle droit dans le triangle associé, $h=ab/c$ , n'est pas entière ;
l'aire du triangle associé $S=ab/2$ (qui est par définition unnombre congruent) n'est pas un carré^[10] : c'est lethéorème de Fermat sur les triangles rectangles^[3] ;
il existe des triplets oùa etc sont premiers, comme (5, 12, 13), mais on ne sait pas s'il en existe une infinité^[11] (cf. la suiteA067756 de l'OEIS) ;
les facteurs premiers dec sont de la forme4k + 1, doncc également, comme pour toutesomme impaire de deux carrés premiers entre eux ;
réciproquement tout produit denombres premiers de la forme4k + 1 est le troisième terme d'un triplet pythagoricien primitif (cf. la suiteA008846 de l'OEIS) ;
${\tfrac {c-a}{2}}=q^{2}$ et $c-b=(p-q)^{2}$ sont des carrés ;
la réciproque de la propriété précédente est fausse comme le montre le triplet(1, 8, 9) : (c – a)/2 etc – b sont des carrés alors que (1, 8, 9) n'est pas un triplet pythagoricien ;
au plus l'un des trois nombresa,b,c est un carré^[12] ;
les entiersa,b etc ne peuvent être simultanément des puissancesn-ièmes avec $n\geqslant 2$ (conséquence dugrand théorème de Fermat)
les entiersp etq s'interprètent dans le triangle associé par la formule $\tan {\frac {B}{2}}={\frac {q}{p}}$ , puisque $\tan B={\frac {2pq}{p^{2}-q^{2}}}$ (voir figure ci-contre) ; $\tan {\frac {A}{2}}={\frac {p+q}{q-p}}={\frac {m}{n}}$ ;
le rayon ducercle inscrit est l'entier $r={\frac {ab}{a+b+c}}=q(p-q)$ ; les rayons des troiscercles exinscrits sont les entiers $r_{A}={\frac {ab}{-a+b+c}}=p(p-q)$ , $r_{B}={\frac {ab}{a-b+c}}=q(p+q)$ et $r_{C}={\frac {ab}{a+b-c}}=p(p+q)$ ; par exemple pour le triplet(3, 4, 5),p = 2 etq = 1 ; les rayons successifs sont1, 2, 3 et 6 ;
le diamètre du cercle circonscrit est égal àc.

Génération algébrique et géométrique

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Arbre de Berggren de construction des triplets pythagoriciens primitifs.

Berggren^[13] a montré en 1934 que tout triplet pythagoricien primitif peut être obtenu à partir du triplet (3, 4, 5) par application répétée de ${\mathcal {R}}_{1}$ , ${\mathcal {R}}_{2}$ et ${\mathcal {R}}_{3}$ , avec :

${\mathcal {R}}_{1}={\begin{pmatrix}1&-2&2\\2&-1&2\\2&-2&3\\\end{pmatrix}}\quad {\mathcal {R}}_{2}={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\\\end{pmatrix}}\quad {\mathcal {R}}_{3}={\begin{pmatrix}-1&2&2\\-2&1&2\\-2&2&3\\\end{pmatrix}}$

selon la règle ${\begin{pmatrix}a_{i}\\b_{i}\\c_{i}\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{i}{\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$ De plus, cette décomposition est unique^[14].

Géométriquement, le produit de ${\mathcal {R}}_{i}$ par un triplet $(a,b,c)$ correspond à la construction $\Phi \circ {\mathcal {S}}_{i}$ effectuée pour le point $\left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right)$ , où^[3] :

${\mathcal {S}}_{1}$ est la symétrie par rapport à l’axe des ordonnées ;
${\mathcal {S}}_{2}$ est la symétrie de centre O ;
${\mathcal {S}}_{3}$ est la symétrie par rapport à l'axe des abscisses ;
et Φ est l'application du cercle unité ${\mathcal {(}}C)$ dans lui-même qui à tout point M associe M’ le deuxième point d’intersection de ${\mathcal {(}}C)$ avec la droite passant par M et P(1,1).

Exemples

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${\begin{pmatrix}77\\36\\85\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{3}\circ {\mathcal {R}}_{2}{\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}85\\132\\157\end{pmatrix}}={\mathcal {R}}_{1}\circ {\mathcal {R}}_{3}\circ {\mathcal {R}}_{3}{\begin{pmatrix}3\\4\\5\end{pmatrix}}$

Moyennes du nombre de triplets pythagoriciens

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Le nombre $N_{c}(n)$ de triplets pythagoriciens primitifs detroisième terme inférieur ou égal à $n {\displaystyle n}$ est répertorié comme suiteA156685 de l'OEIS, etDerrick Norman Lehmer a montré en 1900^[15] que lorsque $n {\displaystyle n}$ tend vers l'infini, $N_{c}(n)\sim {\frac {n}{2\pi }}$ ; d'où unnombre moyen de tels triplets de troisième terme donné égal à ${\frac {1}{2\pi }}\approx {\frac {1}{6}}$ ; voir la suiteA086201 de l'OEIS.

Le nombre $N_{s}(n)$ de tels triplets desomme inférieure ou égale à $n {\displaystyle n}$ est répertorié comme suiteA328499 de l'OEIS, et Lehmer a montré^[15] que $N_{s}(n)\sim {\frac {\ln 2}{\pi ^{2}}}n$ , d'où un nombre moyen de ${\frac {\ln 2}{\pi ^{2}}}\approx {\frac {2}{3}}$ ; voir la suiteA118858 de l'OEIS.

Applications

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Corde à treize nœuds

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Article détaillé :Géométrie_dans_l'Égypte_antique#Le_triangle_3-4-5.

Le triplet (3, 4, 5) intervient dans lacorde à treize nœuds comportant 12 intervalles formant trois côtés de longueur 3, 4 et 5 et permettant d'obtenir un angle droit :

Carrés en progression arithmétique

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Les triplets pythagoriciens $(a,b,c),a<b$ sont enbijection naturelle avec les triplets $(x^{2},y^{2},z^{2})$ decarrés non nuls en progression arithmétique (vérifiant $y^{2}-x^{2}=z^{2}-y^{2}>0$ , soit $x^{2}+z^{2}=2y^{2},x<z$ ).

On passe de $(a,b,c)$ à $(x,y,z)$ en posant $x=b-a,y=c,z=a+b$ , et en sens inverse en posant $a={\frac {z-x}{2}},b={\frac {z+x}{2}},c=y$ ^[16].

En effet $a^{2}+b^{2}=c^{2}\Leftrightarrow (b-a)^{2}+(a+b)^{2}=2c^{2}$ .

Par exemple, le triplet $(3,4,5)$ donne la progression $(1^{2}=1<5^{2}=25<7^{2}=49)$ de raison 24, et le triplet $(9,40,41)$ fournit la progression $31^{2}<41^{2}<49^{2}$ qui était connue deDiophante^[16].

La raison de la progression est égale à $2ab$ , soit le quadruple de l'aire du triangle de Pythagore associé. Cette raison ne peut donc être un carré d'après lethéorème de Fermat sur les triangles rectangles.

Fermat a conjecturé en 1640 dans une lettre àFrénicle^[17] qu'on ne peut trouverquatre carrés distincts en progression arithmétique, ce qui a été démontré par Euler en 1780^[17]^,^[18]. Une démonstration parJean Itard utilise les deux triplets pythagoriciens associés à une telle progression arithmétique et conclut par descente infinie^[19]^,^[20]. Voir aussi cette référence :^[21], ainsi que celle-ci :^[22].

Problèmes de coloration

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Pour un article plus général, voirThéorie de Ramsey.

On peut considérer l'ensemble des entiers naturels comme ungraphe dont lessommets sont les nombres et tels que les sommets reliés par unearête soient ceux qui font partie d'un même triplet pythagoricien.

Dès lors, on se demande s'il est possible decolorier le graphe de telle sorte que les éléments d'un même triplet ne soient pas tous de la même couleur^{[Note 1]}^,^[23].

En d'autres termes on cherche à colorier le graphe de façon qu'il n'existe pas de 3-clique monochrome. Ce problème a initialement été posé parPaul Erdős etRonald Graham^[3].

En se limitant à deux couleurs il a été montré en 2016, et vérifié en 2019 grâce àRocq, qu'il n'est possible d'aller que jusqu'aux 7824 premiers entiers^[3]^,^[24].

En utilisant trois couleurs différentes, il existe un coloriage admissible pour les 11066 premiers entiers mais au-delà le problème reste ouvert^[3].

Une visualisation des triplets pythagoriciens

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Visualisation des triplets associée à la fonction carré.

Nuage de points de tous les couples d'entiers $(a,b)$ tels que $(a,b,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$ soit pythagoricien avec $a {\displaystyle a}$ et $b {\displaystyle b}$ inférieurs à 4 500.

{\displaystyle (a,b)} — Nuage de points de tous les couples d'entiers $(a,b)$ tels que $(a,b,{\sqrt {a^{2}+b^{2}}})$ soit pythagoricien avec $a {\displaystyle a}$ et $b {\displaystyle b}$ inférieurs à 4 500.

Lafonction complexe $z\mapsto z^{2}$ laisse stable l'anneauZ[i] desentiers de Gauss. À chaque point de l'image deZ[i] par cette fonction correspond un triplet pythagoricien (en effet, $(p+q\mathrm {i} )^{2}=p^{2}-q^{2}+2pq\mathrm {i}$ , et $(p^{2}-q^{2})^{2}+(2pq)^{2}=(p^{2}+q^{2})^{2}$ . Cette remarque fournit une visualisation des triplets pythagoriciens^[25] et une explication de la présence desparaboles dans le nuage de points ci-contre.

Problème connexe : les triplets d'Eisenstein

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Portant le nom deGotthold Eisenstein, en référence auxentiers d'Eisenstein^[26], lestriplets d'Eisenstein (en) sont des triplets vérifiant la relation suivante^[27] :

Définition — Un triplet d’Eisenstein est un triplet $(a,b,c)$ de trois nombres entiers naturels non nuls tels que :

(a) : $a<c<b$ et le triangle de côtés de longueurs $a, b, c {\displaystyle a,b,c}$ possède un angle de 60° en $C {\displaystyle C}$

(b) : $a<b<c$ et le triangle de côtés de longueur $a, b, c {\displaystyle a,b,c}$ possède un angle de 120° en $C {\displaystyle C}$

Notons que les triangles correspondant au cas (a) sont lestriangles entiers dont les angles sont enprogression arithmétique car ${\widehat {A}}+{\widehat {B}}=2{\widehat {C}}\Leftrightarrow 180^{\circ }-{\widehat {C}}=2{\widehat {C}}\Leftrightarrow {\widehat {C}}=60^{\circ }$ .

On peut donner une version algébrique de cette définition grâce authéorème d'Al-Kashi (aussi appelé « loi des cosinus »), qui est une généralisation du théorème de Pythagore^[28]. Ce théorème relation relie la longueur d'un côté $c {\displaystyle c}$ d'un triangle aux longueurs $a {\displaystyle a}$ et $b {\displaystyle b}$ de ses deux autres côtés et au cosinus de l'angle ${\widehat {C}}$ qu'ils forment : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\widehat {C}}$ .

Ainsi, avec $a, b, c {\displaystyle a,b,c}$ des entiers nommés comme dans la définition ci-avant, et pour un angle de 60° ou 120° (dont le cosinus vaut respectivement ${\tfrac {1}{2}}$ ou $-{\tfrac {1}{2}}$ ), l'égalité vérifiée sera respectivement : $c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab$ ou $c^{2}=a^{2}+b^{2}+ab$ .

Par analogie avec la recherche de triplets pythagoriciens, qui revient à rechercher lesentiers de Gauss dont la norme est uncarré parfait, la recherche de triplets d'Eisenstein revient à chercher desentiers d'Eisenstein, $z=a+b\,\omega$ où $\omega ={\frac {-1+\mathrm {i} {\sqrt {3}}}{2}}=\mathrm {e} ^{2\pi \mathrm {i} /3}$ , dont la norme $|a+b\,\omega |^{2}$ est un carré parfait^[29].

Des triplets connus sont par exemple (la liste est non exhaustive) :

Pour 60° : (3 , 8 , 7), (5 , 8 , 7), (5, 21, 19), (7, 15, 13), (7, 40, 37), (8 , 15 , 13), (9, 24, 21) : voir la suiteA121992 de l'OEIS.
Pour 120° : (3 , 5 , 7), (5 , 16 , 19), (7 , 8 , 13), (7, 33, 37), (9, 56, 61), (11, 24, 31) : voir la suiteA264827 de l'OEIS

Notes et références

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(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé« Pythagorean triple »(voir la liste des auteurs).

Notes

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↑Pour les vingt premiers entiers un exemple d'une telle coloration est 1, 2,3, 4, 5, 6, 7,8, 9, 10, 11,12,13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. On remarque par exemple que les triplets (3, 4, 5) et (5,12,13) ne sont effectivement pas monochromes.