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Tore

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Pour les articles ayant des titres homophones, voirTor etThor.

Modélisation d'un tore

Untore est unsolide géométrique représentant untubecourbé refermé sur lui-même. Le terme « tore » comporte différentes acceptions plus spécifiques selon le contexte :

Solide de révolution engéométrie euclidienne

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Un tore est engendré par la rotation d'un cercle autour d'un autre cercle. R est le rayon du cercle violet. r est le rayon du cercle rouge.

Untore est levolume de l'espace euclidienR3 engendré par larotation d'uncercle C de rayonr autour d'une droite affineD située dans son plan à une distanceR de son centre. Dans cette acception, certains auteurs désignent partore plein le solide obtenu, réservant le terme tore pour la surface correspondante. À l'action d'uneisométrie affine directe près, le tore (plein) est uniquement déterminé par les deux paramètres réelsR etr.

La forme du tore (plein) dépend du signe der−R{\displaystyle r-R} :

Les trois types de tores : tore croisé, à collier nul et ouvert.

Équations du tore

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Un tore peut être définiparamétriquement par[2]:

x(u,v)=(R+rcos⁡v)cos⁡u{\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}},
y(u,v)=(R+rcos⁡v)sin⁡u{\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}},
z(u,v)=rsin⁡v{\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}}.

où :

u etv appartiennent à l'intervalle[0, 2π[,
R est la distance entre le centre du tube et le centre du tore,
r est le rayon du cercle C.

En sommant les carrés :

x2+y2+z2=R2+2Rrcos⁡v+r2{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}+2Rr\cos {v}+r^{2}}.

On isolecos⁡v{\displaystyle \cos {v}\,} et on élève à nouveau au carré :

(x2+y2+z2−R2−r2)2=(2Rrcos⁡v)2{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=(2Rr\cos {v})^{2}}.

Ne reste plus alors qu'à injecter

z2=r2sin2⁡v{\displaystyle z^{2}=r^{2}\sin ^{2}{v}}

pour obtenir finalement :

(x2+y2+z2−R2−r2)2=4R2r2(1−sin2⁡v){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}r^{2}(1-\sin ^{2}{v})},
(x2+y2+z2−R2−r2)2=4R2(r2−z2){\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(r^{2}-z^{2})}.

Une autreéquation cartésienne pour un tore symétrique par rapport à l'axez est

(x2+y2−R)2+z2=r2,{\displaystyle \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-R\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!}

En éliminant algébriquement la racine carrée, on obtient uneéquation du4e degré.

(x2+y2+z2+R2−r2)2=4R2(x2+y2).{\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!}

Aire et volume

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Tore ouvert, pour lequelR = 3r

PourR-r positif ou nul, on a :



Lesthéorèmes de Guldin permettent d'obtenir ces résultats, et aussi de déterminer les formules de l'aire et du volume du tore croisé (pourR<r).

Groupe des isométries

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PourR > 0, parmi les isométries remarquables du tore, on distingue :

  • les rotationsru d'axe (supposé orienté)D et d'angleu ;
  • le retournementa par rapport au plan affineP orthogonal àD passant par le centre deC ;
  • le retournementbQ par rapport à tout plan affineQ contenantD ;
  • la symétrie centrales par rapport au projeté orthogonalO deC surD ;
  • les symétries axiales par rapport à toute droite passant parO et contenue dansP ;
  • les composées d'une rotationru par le retournementa.

Évidemment, lasymétrie centrale et les symétries axiales s'obtiennent comme composées des retournements décrits. Le groupeG des isométries du tore est isomorphe au produit direct deZ/2Z par leproduit semi-direct deS1 parZ/2Z :

G=Z/2Z×(R/2πZ⋊Z/2Z){\displaystyle G=Z/2Z\times (R/2\pi Z\rtimes Z/2Z)}.

Un isomorphe naturel est décrit comme suit :

  • ru correspond à (0,u,0) ;
  • a correspond à (1,0,0) ;
  • Pour un planQ fixé arbitraire,bQ correspond à (0,0,1).

En particulier,bru(Q)=rubQr-u correspond à (0,u,1) ;s correspond à (1,π,0).

Cercles de Villarceau

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Section du tore par un plan passant par son centre. La section est constituée de deux cercles pour trois valeurs de l'angle du plan avec celui du tore : lorsqu'il est confondu au plan du tore, lorsqu'il lui est perpendiculaire et lorsqu'il est bitangent. Dans ce cas, la section est constituée des deux cercles de Villarceau
Article détaillé :Cercles de Villarceau.

Les cercles de Villarceau sont deux cercles obtenus en sectionnant un tore selon un plan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome et mathématicien françaisYvon Villarceau (1813–1883).Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.

Colorier un tore

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Cette construction montre un tore divisé en 7 régions qui se touchent mutuellement.

Lethéorème des quatre couleurs ne s'applique pas pour un tore : il est possible de diviser la surface d'un tore en 7 zones de couleurs différentes (maximum) de sorte que chacune touche les 6 autres. Lethéorème de Ringel–Youngs permet de montrer que 7 couleurs suffisent toujours.

Caractéristique d'Euler d'un tore

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Lacaractéristique d'Euler d'un tore est égale à 0 : il est possible de mailler le tore sans introduire de singularité.

Applications

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Tore de dimensionn

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Entopologie, le termetore est réservé pour désigner desespaces topologiques (ou desvariétés). Il existe plusieurs présentations, toutes équivalentes àhoméomorphisme (oudifféomorphisme) près. On appelle tore de dimensionn oun-tore, et l'on noteTn, l'espace topologique défini comme :

Le tore de dimensionn est unevariété topologiquecompacte etconnexe de dimensionn. Obtenu comme quotientE/G,Tn est unevariété différentielle et même ungroupe de Lie abélien ; l'atlas maximal correspondant ne dépend ni du réseau, ni de l'espace vectoriel. SiE est unespace vectoriel euclidien, le quotientTn =E/G se présente naturellement comme unevariété plate.

Le 2-tore est obtenu par recollement des côtés opposés d'un carré. On obtient une variété plate.

Pour construire un cercle, on peut joindre les extrémités d'un segment en le courbant dans un plan. De même, pour construire un 2-tore, on peut joindre deux à deux les côtés opposés d'un carré en le courbant dans une troisième dimension et plus généralement, pour construire unn-tore, on peut joindre deux à deux les faces(n – 1)-dimensionnelles opposées d'unhypercube de dimensionn en courbant cet hypercube dans une nouvelle dimensionn + 1. Ainsi, un 3-tore est le recollement des 3 paires de faces opposées d'un cube, dans une quatrième dimension.

Legroupe fondamental deTn est legroupe abélien libre àn générateurs, soitZn.

Les tores sont les seuls groupes de Lie abéliens compacts connexes. L'introduction destores maximaux (sous-groupes compacts abéliens connexesmaximaux) est d'une importance capitale dans l'étude desgroupes de Lie compacts.

Dynamique d'un plasma ou d'un fluide dans un tore

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Des réservoirs toroïdes ou toriques (en forme de tore) sont présents dans plusieurs modèles decentrales nucléaires dont le récentAP 1000, ou les réacteurs de la sérieMark.

En cas de séisme important avec déplacement latéral du sol, d'explosion ou choc ayant les mêmes conséquences, leflushing (les ondes et vagues induites et leur effet deBallottement) peut être une source de contraintes inhabituelles et différentiées dans le tore. Comprendre le flushing est donc unenjeu pour certaines technologies utilisant des réservoirs toriques, de même que pour les réservoirs circulaire ou toroïde dans un véhicule en déplacement, y compris avion, fusée ouvéhicule spatial[3].

La physique des plasmas formés dans les tores fait également l'objet de nombreuses études, dans le cadre du développement desTokamaks et de lafusion nucléaire.

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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Bibliographie

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Notes et références

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  1. ↑closed torus en anglais.
  2. ↑« Equations for the Standard Torus », suruiuc.edu(consulté le).
  3. ↑NASA (1969),Slosh suppression, May 1969, PDF, 36p
v ·m
Solides de Platon (5)
Solides d'Archimède (13)
Solides de Kepler-Poinsot (4)
Solides de Catalan (13)
Solides de révolution
Composés polyédriques
Solides de Johnson (92) voirModèle:Palette Solides de Johnson
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