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Lesapplications compatibles avec les opérations entre deux ensembles présentant la même structure sont appelésmorphismes et permettent de formuler cette structure dans le contexte de lathéorie des catégories.
Dans le contexte de l’algèbre universelle, la notion de structure algébrique est un peu différente et ne s’applique pas aux structures de corps, mais permet de décrire certaines structures topologiques.
Si le résultat est à nouveau utilisé avec un troisième élément, il faut a priori spécifier avec des parenthèses l’ordre de calcul :(x∗y)∗z n’est pas forcément égal àx∗(y∗z). C’est souvent le cas par exemple avec la soustraction ou l’exponentiation :(3 − 2) − 1 ≠ 3 − (2 − 1) et(31)2 ≠ 3(12).
La propriété d’associativité permet de supprimer cette ambiguïté lorsqu’on compose plus de deux opérations enchainées : on note alors indifféremmentx∗y∗z pour(x∗y)∗z =x∗(y∗z). Un magma associatif est appelédemi-groupe.
Une autre propriété utile est larégularité, qui permet de transformer l’égalitéx∗y =x∗z eny =z etx∗z =y∗z enx =y. Autrement dit, tous les éléments sont simplifiables à gauche et à droite. C’est bien le cas pour la soustraction des nombres ou la concaténation des mots, mais pas pour la multiplication (on ne peut pas simplifier la multiplication parzéro).
Une propriété plus forte est l’existence d’une unique solution à chaque équation de la formea∗x =y oux∗b =z d’inconnuex. Cela signifie alors que chaque élément apparaît une et une seule fois dans chaque ligne et chaque colonne de la table de la loi. Un magma qui satisfait cette propriété est unquasigroupe.
Un élémente estneutre (à gauche et à droite) s’il vérifie pour tout élémentx de l’ensemblee∗x =x =x∗e. C’est le cas par exemple dezéro pour l’addition, de1 pour la multiplication, de l’ensemble vide pour la réunion… Pour l’exponentiation, le nombre 1 est un neutre à droite (x1 =x) mais il n’en existe pas à gauche. Un magma qui possède un neutre est dit unifère. Un demi-groupe unifère est unmonoïde. Un quasigroupe unifère est une boucle.
Dès lors que les trois propriétés sont vérifiées (associativité, simplifiabilité et existence d’un neutre), la structure obtenue est ungroupe, avec de nombreux exemples enthéorie des nombres (addition des entiers relatifs, multiplication des réels non nuls), en géométrie (isométries de figures du plan ou de l’espace, groupes de frises ou de pavages), en combinatoire (groupe de permutations), en topologie (groupe de tresses)…
La loi est ditecommutative lorsque le résultat ne dépend pas de l’ordre des opérandes :x∗y =y∗x. C’est le cas de l’addition, de la multiplication ou de la distance entre deux nombres (d(x,y) = |x−y| = |y−x|), mais pas de la soustraction, de la concaténation de mots ou duproduit matriciel.
Un groupe commutatif est appelé spécifiquementgroupe abélien.
Un morphisme entre deux magmasf :M →N est une application qui est compatible avec la loi de composition interne :f(x∗y) =f(x)∗f(y).
Les hypothèses d’associativité ou de régularité ne changent rien à cette définition. En outre, l’image du neutre deM (s’il existe) est bien neutre dansf(M) mais pas forcément neutre dansN (même s’il existe), sauf siN est un quasigroupe (a fortiori si c’est un groupe).
Un sous-magma deM est une partieA stable par la loi de composition, c’est-à-dire que quels que soientx,y dansA, on ax∗y ∈A. Dans ce cas,A est associatif ou régulier siM l’était déjà.
Ces structures comportentdeux lois de composition internes.Il est d’usage courant de qualifier d’additive la première loi et demultiplicative la seconde.Autrement dit, la première loi est nomméeaddition (souvent notée ⊕ pour la distinguer de l’addition usuelle) et la seconde est nomméemultiplication ouproduit (souvent notée ⊗).La seconde loi estdistributive bilatéralement (c’est-à-dire à gauche et à droite) par rapport à la première loi.
Anneau non associatif(en) : un ensemble muni d’une structure degroupe abélien pour l’addition (qui est donc associative et commutative), la multiplication ne vérifianta priori que la distributivité sur l’addition[1].
Pseudo-anneau : un anneau non associatif dont la multiplication est en outre associative (structure dedemi-groupe sur la multiplication).
Demi-anneau : un ensemble muni de deux structures de monoïde et où la multiplication est distributive par rapport à l’addition et où l’élément neutre de l’addition est absorbant pour la multiplication[2]. Un demi-anneau est aussi appelé « semi-anneau ».
Anneau (unitaire) : un pseudo-anneau dont la loi multiplicative est en outre unifère (c’est donc un monoïde pour la multiplication). C’est encore un demi-anneau où l’addition crée une structure de groupe abélien. Certains auteurs appellent « anneau » ce que l’on a appelé « pseudo-anneau » ci-dessus et appellent « anneau unitaire » ce que l’on a appelé « anneau » ici.
Anneau commutatif : un anneau dont la multiplication est en outre commutative.
Anneau intègre : un anneau commutatif non nul et sansdiviseur de zéro, c’est-à-dire que tout élément non nul de l’anneau estrégulier pour la multiplication.
Corps : un anneau où l’élément neutre de l’addition n’est pas celui de la multiplication et où tout élément non nul a un inverse multiplicatif. À cause de l’influence anglaise (voir ci-dessous), un corps est souvent considéré comme implicitement commutatif, alors que dans la tradition française, il ne l’est pas nécessairement. Pour éviter toute ambiguïté, il vaut mieux indiquer :
Ces structures peuvent être considérées d’un point de vuealgébrique ougéométrique.
Algébriquement, unestructure externe est unensemble muni d’uneloi de composition externe sur une structure de base, et éventuellement d’une ou plusieurslois de composition interne.
Géométriquement, c’est un ensembleE sur lequelagit unensemble-opérateurS, encore appelé ensemble desopérateurs ouscalaires. Pour cela, l'ensembleE est muni d’uneaction, c’est-à-dire d’une application deS dansEE (ensemble des transformations deE, c'est-à-dire des applications deE dansE).
La correspondance entre les actions et les lois externes estbijective ; c’est pourquoi les lois externes sont souvent appeléeslois d’action.
Structures possédant à la fois une loi de composition interne et une loi de composition externe.
Groupe à opérateurs (dans un ensemble) :groupe muni d’une loi externe sur un ensemble d’opérateurs,distributive par rapport à la loi du groupe
Module sur un anneau, on distingue les modules à gauche et à droite sur un anneau non commutatif.
Espace vectoriel (sur un corps) :module sur uncorpsK, on doit distinguer également les espaces vectoriels à gauche et à droite si le corps n'est pas commutatif.
Espace affine (sur un corps) :espace homogène d'un espace vectoriel sur un corpsK.
Ungroupe ordonné est un monoïde ordonné qui est un groupe commutatif. Ungroupe préordonné est un monoïde préordonné qui est un groupe.
Unanneau ordonné est un anneau commutatif muni d'une relation d'ordre pour laquelle il est groupe ordonné pour l'addition et tel que le produit de deux éléments supérieurs ou égaux à 0 sont supérieurs ou égaux à 0.
Uncorps ordonné est un anneau ordonné qui est un corps.
Ensembles munis de deux lois internes, qui peuvent aussi s’interpréter comme la borne supérieure et la borne inférieure des couples au sens desrelations d'ordre.
Treillis : un ensemble muni de deux lois de composition internes commutatives, associatives et idempotentes satisfaisant la loi d’absorption.
Algèbre de Boole : untreillis borné, distributif et complémenté.
Les structures algébriques peuvent également posséder des caractéristiques additionnellestopologiques.
Résumé graphique de l'articulation des différents espaces (à utiliser avec précaution, certaines subtilités étant difficilement transposables sur un graphique)
Ainsi, en allant du général au particulier (topologie > distance > norme > produit scalaire) :
Une structure algébrique peut être munie d'unetopologie, devenant ainsi unespace topologique pour lequel chacune de ses lois externes et internes sont continues.
Unmonoïde topologique est undemi-groupe topologique unifère. C'est aussi unmonoïde muni d'unetopologie rendant continue sa loi de composition interne.
Ungroupe topologique est ungroupe muni d'unetopologie rendant continue sa loi de composition interne, ainsi que l'application qui à tout élément du groupe associe son inverse.
Unanneau topologique est unanneau muni d'unetopologie pour laquelle le groupe additif sous-jacent est ungroupe topologique et le monoïde multiplicatif sous-jacent est unmonoïde topologique.
Uncorps topologique est uncorps muni d'unetopologie qui en fait unanneau topologique et pour laquelle le groupe multiplicatif des éléments non nuls est ungroupe topologique.
Uncorps valué est uncorps (commutatif ou non) muni d'unevaleur absolue. C'est uncorps topologique pour la topologie définie par cettevaleur absolue.
Unmodule topologique sur unanneau topologiqueA est unmodule surA muni d'unetopologie pour laquelle il est ungroupe topologique et pour laquelle la loi externe est continue.
Unespace vectoriel topologique sur uncorps topologique (par exemple le corps des nombres réels ou le corps des nombres complexes) est unmodule topologique sur cecorps topologique.
Unealgèbre topologique sur unanneau topologique commutatifA est unealgèbre sur cet anneau topologiqueA, munie d'unetopologie pour laquelle elle est unmodule topologique surA et pour laquelle la multiplication est continue.
Autre exemple, la structure algébrique peut être munie d'unécart, devenant unespace pseudométrique :
Lesespaces semi-normés (ou espaces vectoriels semi-normés) sont desespaces vectoriels réels ou complexes (ou sur uncorps valué non discret) munis d'unesemi-norme. Lesespaces semi-normés sont desespaces pseudométriques, car il est toujours possible de construire un écart à partir d’une semi-norme : on prend comme écart entre deux vecteurs la semi-norme de leur différence.
Plus particulièrement, la structure algébrique peut être munie d'unedistance, devenant unespace métrique :
Un cas important est celui des espaces vectoriels possédant unenorme, qui définit la « longueur » d’un vecteur :
Lesespaces normés (ou espaces vectoriels normés) sont desespaces vectoriels réels ou complexes (ou sur un corps valué non discret) munis d'une norme. Les espaces normés sont des espaces métriques car il est toujours possible de construire une distance à partir d’une norme : on prend comme distance entre deux vecteurs la norme de leur différence.
Unespace affine normé est un espace affine attaché à un espace vectoriel normé. C'est un espace métrique : il est possible de définir la distance entre deux points comme la norme du vecteur qui va du premier point au second.
Lesespaces préhilbertiens sont desespaces vectoriels réels ou complexes munis d'unproduit scalaire. Ces espaces vectoriels sont desespaces normés : la norme d'un vecteur y est la racine carrée de son carré scalaire. Quelques cas importants ont reçu un nom :
Unespace de Hilbert (ou espace hilbertien) est un espacepréhilbertiencomplet. C’est donc unespace de Banach particulier. Les espaces vectoriels euclidiens et hermitiens sont des exemples d'espaces de Hilbert.
Structures et géométrie différentielle et algébrique
Ungroupe de Lie réel ou complexe est un groupe muni d'une structure devariété analytique réelle ou complexe (ou devariété différentielle dans le réel, c'est suffisant) pour laquelle la loi de composition estanalytique (ou indéfinimentdifférentiable dans le cas réel), ainsi que l'application qui à un élément associe son inverse. Les groupes de Lie réels et complexes sont des groupes topologiques. Ungroupe topologique est le groupe topologique sous-jacent à au plus un groupe de Lie réel, et ainsi on peut dire, sans ambiguïté, que certains groupes topologiques sont des groupes de Lie réels. On peut aussi définir les groupes de Lie sur un corps valué complet commutatifK dont la valeur absolue est non triviale (en particulier sur lecorps des nombresp-adiques) en remplaçant les variétés analytiques réelles ou complexes par les variétésK-analytiques.
Ungroupe algébrique sur uncorps commutatif algébriquement closK est ungroupe muni d'une structure devariété algébrique surK pour laquelle la loi de composition est régulière, ainsi que l'application qui à un élément associe son inverse.
Toute structure algébrique possède sa propre notion d’homomorphisme, uneapplication compatible avec ses lois de composition. En ce sens, toute structure algébrique définit unecatégorie.
