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En pratique :Quelles sources sont attendues ?Comment ajouter mes sources ?Unerotation dans l'espace est unerotation affine de l'espace affine euclidien orienté de dimension trois. Elle a une parenté proche avec larotation plane. Intuitivement, cette transformation fait tourner les figures autour d'une droite, appelée axe, et selon un certain angle. Elle constitue uneisométrie car les distances sont conservées, et undéplacement car elle conserve en outre les trièdres orientés.
La définition complète d'une rotation demande d'orienter l'axe de rotation.
SoitEespace affineeuclidien orienté de dimension trois. On considère une droiteD de l'espace, également orientée (par exemple par le choix d'unvecteur directeur). Alors tout plan orthogonal àD possède une orientation induite par les orientations deD et de l'espace.
La rotation d'axeD et d'angle est alors la transformation qui à un pointm associe le pointm' défini ainsi
Elle coïncide avec la rotation d'axeD' et d'angle, oùD' est l'axe supporté par la même droite que l'axeD mais avec l'orientation inverse.
Notamment les points de l'axe sont invariants. Lorsque l'angle est nul, la rotation est l'application identique (quel que soit l'axe choisi). À l'exception de ce cas, une rotation n'admet qu'un seul « axe non orienté », qui est l'ensemble de ses points invariants.Par construction, les plans orthogonaux à l'axe sont globalement invariants.
Les rotations d'axeD dont l'angle admet pour mesure (en radians) sont respectivement appeléesquart de tour direct,quart de tour indirect etretournement d'axeD. Dans ce dernier cas, la rotation est aussi unesymétrie : la symétrie orthogonale par rapport à l'axe.
Les rotations sont des déplacements de l'espace affine euclidien, c'est-à-dire desisométries respectant l'orientation. Cela signifie que sia,b,c,d sont quatre points de l'espace eta′,b′,c′,d′ les points images,
Réciproquement, un déplacement de l'espace est une rotation si et seulement s'il laisse au moins un point invariant. Les autres déplacements sont desvissages, qui peuvent être écrits comme composés d'une rotation et d'une translation parallèlement à son axe, ces deux transformations pouvant être effectuées dans n'importe quel ordre.
Le choix d'un point origineO confère à l'espaceE une structure d'espace vectoriel euclidien orienté.À toute rotation affine correspond unerotation vectorielle qui est dite associée à la rotation affine, et définie par la relation
Les rotations vectorielles peuvent être identifiées aux rotations affines laissant fixe le point origineO, c'est-à-dire l'identité et les rotations dont l'axe passe parO.
Inversement, une application affine associée à une rotation vectorielle est un vissage dont l'axe est de même direction.
La composée de deux rotations affines est une isométrie, et même undéplacement, mais n'est pas en général une rotation. De plus, l'ordre dans lequel s'effectuent les compositions est important. Les rotations font partie du groupe (non commutatif) des déplacements de l'espace. De plus elles engendrent ce groupe, c'est-à-dire que tout déplacement peut s'écrire comme produit de rotations. Plus précisément, tout déplacement peut s'écrire comme produit de deux retournements.
La composée de deux rotations de même axe est une rotation. Pour ce cas particulier de composition, les angles s'ajoutent et l'ordre de composition n'importe pas.Ainsi l'ensemble des rotations de même axe, en y incluant l'identité, forme ungroupe commutatif, isomorphe au groupe.
Toute rotation peut être décomposée en un produit de deuxréflexions (symétries orthogonales par rapport à un plan), l'une d'elles pouvant être choisie arbitrairement.
