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Lesondes cnoïdales sont desondes de gravité rencontrées sur la surface de la mer, desvagues. Elles sont solutions de l'équation de Korteweg-de Vries^[1] où interviennent lesfonctions elliptiques de Jacobi notées cn, d'où le nom d'ondes « cn-oïdales ».

Ce type d'onde apparaît également dans les problèmes de propagation d'onde acoustique ionique^[2].

Toute perturbation de la surface d'une étendue d'eau entraîne une onde de gravité qui se propage en respectant leséquations de Boussinesq. Si de plus on suppose une vitesse du fluide indépendante de l'altitude par rapport au fond, on aboutit auxéquations de Barré de Saint-Venant, valides pour des milieux peu profonds. Pour aller un peu plus loin on introduit un terme correctif permettant de représenter de manière approchée le terme correspondant à la variation verticale de la composante horizontale de la vitesse. Ceci peut être fait de diverses manières^[3], l'une d'entre elles aboutissant à l'équation de Korteweg-de Vries donnant l'altitude de la surfacez(x,t)

${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }t}+c_0\left(1+\frac{3z}{2h}\right)\frac{\mathrm{\partial }z}{\mathrm{\partial }x}+\frac{1}{6}{c}_0{h}^2\frac{{\mathrm{\partial }}^{3}z}{\mathrm{\partial }{z}^3}=0}$

où

g	accélération de la pesanteur
h	profondeur du milieu au repos
${\displaystyle c_0=\sqrt{gh}}$	vitesse de propagation pour une onde en eau peu profonde (milieu non dispersif)

La solution de cette équation décrit l'onde cnoïdale

• longueur d'onde

${\displaystyle \lambda =hK(m)\sqrt{\frac{16mh}{3H}}}$

• vitesse de propagation

${\displaystyle c=\sqrt{gh}\left[1+\frac{H}{mh}\left(1-\frac{m}{2}-\frac{3E(m)}{2K(m)}\right)\right]}$

• altitude du creux

${\displaystyle z_0=\frac{H}{m}\left(1-m-\frac{E(m)}{K(m)}\right)}$

• forme de la surface

${\displaystyle \xi (\eta ,t)={\mathrm{cn}}^2\left({\displaystyle 2K(m)\eta ,m}\right)}$

où

H	hauteur de vague arbitraire (dépend des conditions initiales)
${\displaystyle \eta =\frac{x-ct}{\lambda }}$	abscisse réduite
${\displaystyle \xi =\frac{z(x,t)-z_0}{H}}$	hauteur réduite
cn(a,m)	cosinus elliptique de Jacobi de modulem
K(m)	intégrale elliptique complète de première espèce
E(m)	intégrale elliptique complète de seconde espèce

Si l'on fixe λ,H eth, le paramètrem peut être déterminé numériquement (voir courbe).

Cette solution est valide pour des longueurs d'onde suffisamment grandes devant lahauteur d'eau, typiquement

${\displaystyle \frac{\lambda }{c}\sqrt{\frac{g}{h}}>7}$

La validité en termes delongueur d'onde rapportée à la hauteur de vague peut être estimée à partir dunombre d'Ursell.

Lorsquem tend vers 1 on peut approcher lecosinus elliptique de Jacobi par^[4]

${\displaystyle \mathrm{c}\mathrm{n}(z,m)\approx \frac{1}{\cosh (z)}\left\{1-\frac{1}{4}(1-m)\left[\sinh (z)\cosh (z)-z\right]\tanh (z)\right\}}$

Dans la limitem = 1 on a donc

${\displaystyle \mathrm{c}\mathrm{n}(z,m)\approx \frac{1}{\cosh (z)}}$

Par ailleurs

${\displaystyle K(m)\to \mathrm{\infty },E(m)\to 0}$

Alors

• la longueur d'onde tend vers l'infini (onde solitaire),
• le creux tend vers zéro.

Une analyse pour les petites amplitudes montre que l'on tend vers l'onde d'Airy

${\displaystyle m\to 0\Rightarrow z\simeq \frac{H}{2}\cos (2\pi \eta )}$

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé« Cnoidal wave »(voir la liste des auteurs).

• (en) Graham W. Griffiths et William E. Schiesser, « Linear and Nonlinear Waves », surScholarpedia

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