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Cet article est uneébauche concernant lesmathématiques.
Lesinfinitésimaux (ouinfiniment petits) ont été utilisés pour exprimer l'idée d'objets si petits qu'il n'y a pas moyen de les voir ou de les mesurer. Le mot« infinitésimal » vient deinfinitesimus (latin duXVIIe siècle), ce qui signifiait à l'origine l'élément« infini-ème » dans une série. Selon lanotation de Leibniz, six est une quantité, dx et Δx peuvent représenter une quantité infinitésimale dex.
Dans le langage courant, un objetinfiniment petit est un objet qui est plus petit que toute mesure possible, donc non pas d'une taille zéro, mais si petit qu'il ne peut être distingué de zéro par aucun moyen disponible. Par conséquent, lorsqu'il est utilisé en tant qu'adjectif, «infinitésimal» dans lelangage vernaculaire signifie« extrêmement faible ».
Archimède exploita les infinitésimaux dansLa Méthode pour trouver des aires de régions et des volumes de solides. Les auteurs classiques avaient tendance à chercher à remplacer les arguments infinitésimaux par des arguments utilisant laméthode d'exhaustion, qu'ils jugeaient plus fiable. LeXVe siècle a vu le travail pionnier deNicolas de Cues, développé auXVIIe siècle parJohannes Kepler, en particulier le calcul de l'aire d'un cercle en représentant celui-ci comme un polygone d'un nombre infini de côtés.Simon Stevin élabora un continu de décimaux auXVIe siècle. Laméthode des indivisibles deBonaventura Cavalieri conduit à une extension des résultats des auteurs classiques. La méthode des indivisibles traitait des figures géométriques comme étant composés d'entités decodimension 1. Les infinitésimaux deJohn Wallis diffèrent des indivisibles en ce sens que des figures géométriques se décomposeraient en des parties infiniment minces de la même dimension que la figure, préparant le terrain pour des méthodes générales ducalcul intégral. Il exploita un infinitésimal noté dans les calculs de superficie.
Pierre de Fermat, inspiré parDiophante, développa le concept d'adégalité, c'est-à-dire égalité « adéquate » ou égalité approximative (avec une erreur infime), qui a fini par jouer un rôle clé dans une mise en œuvre mathématique moderne des définitions infinitésimales de ladérivée et l'intégrale. L'utilisation des infinitésimaux chezLeibniz s'appuya sur un principe heuristique appelé laloi de continuité : ce qui réussit pour les nombres finis réussit aussi pour les nombres infinis, etvice versa. LeXVIIIe siècle a vu l'utilisation systématique des infiniment petits par les plus grands tels queLeonhard Euler etJoseph-Louis Lagrange.Augustin-Louis Cauchy exploita les infinitésimaux dans sa définition de lacontinuité et dans une forme préliminaire d'unefonction delta de Dirac. LorsqueGeorg Cantor etDedekind développaient des versions plus abstraites du continu de Stevin,Paul du Bois-Reymond a écrit une série d'articles sur des continus enrichis d'infinitésimaux sur la base des taux de croissance des fonctions. L'œuvre de du Bois-Reymond a inspiré à la foisÉmile Borel etThoralf Skolem. Skolem développa les premiersmodèles non standard de l'arithmétique en 1934. Une mise en œuvre mathématique à la fois de la loi de continuité et des infinitésimaux a été réalisée parAbraham Robinson en 1961, qui a développé l'analyse non standard basée sur des travaux antérieurs deEdwin Hewitt en 1948 etJerzy Łoś (de) en 1955. Leshyperréels constituent un continu enrichi d'infinitésimaux, tandis que leprincipe du transfert (en) met en œuvre la loi de continuité de Leibniz.
Enmathématiques, le terme infiniment petit peut s'appliquer :
Ainsi, lalongueur d'un arc de cercle et celle de sa corde, en tant que fonctions de l'angle au centre associé, sont des infiniment petits équivalents au voisinage de l'angle nul.
De même, deux fonctions et sont des infiniment grands équivalents au voisinage de a si, et tendant tous deux vers l'infini quand x tend vers a, le rapport tend vers 1. En analyse non standard, les infiniment grands sont des hyperréels qui sont les inverses des infiniment petits.
Les expressions« infiniment petit » et« infiniment grand » sont très notoires et presque jamais utilisées dans leur sens premier, mais pour parler de sujets tels que les galaxies, les quarks, et les nanotechnologies.
Dans le fragment 199 desPensées,Blaise Pascal écrit que« l’homme est infiniment éloigné de comprendre les extrêmes », coincé entre l'infiniment petit et l'infiniment grand,« incapable de voir […] l’infini où il est englouti ». Il imagine des mondeshomothétiquement réduits, de plus en plus petits :« Qu'un ciron lui offre dans la petitesse de son corps des parties incomparablement plus petites, des jambes avec des jointures, des veines dans ces jambes, du sang dans ces veines, des humeurs dans ce sang, des gouttes dans ces humeurs, des vapeurs dans ces gouttes ; que, divisant encore ces dernières choses, il épuise ses forces en ces conceptions, et que le dernier objet où il peut arriver soit maintenant celui de notre discours ; il pensera peut-être que c'est là l'extrême petitesse de la nature. Je veux lui faire voir là dedans un abîme nouveau. Je lui veux peindre non seulement l'univers visible, mais l'immensité qu'on peut concevoir de la nature, dans l'enceinte de ce raccourci d'atome. Qu'il y voie une infinité d'univers, dont chacun a son firmament, ses planètes, sa terre, en la même proportion que le monde visible; dans cette terre, des animaux, et enfin des cirons, dans lesquels il retrouvera ce que les premiers ont donné[3]… »
Dans le même ouvrage, Pascal évoque la « sphère dont le centre est partout, la circonférence nulle part »[4], ce qui est une image traditionnelle dans la pensée occidentale, on la retrouve chezNicolas de Cues,Giordano Bruno,Maître Eckhart,Boèce, elle a été attribuée àEmpédocle.
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