Les grandeursextensives etintensives sont des catégories degrandeurs physiques d'unsystème physique :
Si deuxchevaux courent côte à côte et chacun à60 km/h, à eux deux, ils font un ensemble allant aussi à60 km/h (lavitesse est intensive) ; par contre, à eux deux, ils font un passage deux fois plus important qu'un cheval seul (débit,puissance etmasse sont doublés : ce sont des grandeurs extensives).
Le rapport entre deux propriétés extensives d'un même objet est une grandeur physique intensive. Ainsi, le rapport entre la masse et le volume d'un objet est samasse volumique moyenne, ce qui permet de mesurer lamasse volumique intrinsèque de ce corps s'il est considéré comme homogène.
Selon une terminologie ancienne, les propriétés physiques des systèmes, des objets, et des matériaux existant dans laNature sont souvent décrites à l'aide des notions d'extensivité et d'intensivité, suivant qu'elles font référence ou non au corps dans son ensemble. PourEmmanuel Kant, reprenant dans saCritique de la raison pure les catégories d’Aristote dans le projet de sa philosophie transcendantale, les deux notions se distinguent ainsi[1] :
« J'appelle grandeur extensive celle dans laquelle la représentation des parties rend possible la représentation du tout (et par conséquent la précède nécessairement) »
« J'appelle grandeur intensive la grandeur qui n'est appréhendée que comme unité et dans laquelle la pluralité ne peut être représentée que par son rapprochement de la négation = 0 »
Ces notions réfèrent au type de dépendance relativement à la taille ou à l'extension spatiale des objets étudiés. Plus précisément, l’étendue spatiale étantdivisible (jusqu'à une certaine limite — voirmousse quantique), cette distinction est fondée sur la dépendance de l'objet étudié relativement à la divisibilité de l'étendue spatiale. Inversement, une grandeur intensive peut s'apprécier dans sa quantité indépendamment de l'extension spatiale considérée.
Cette terminologie a été réintroduite de manière plus systématique dans le domaine scientifique par le physicienRichard C. Tolman vers 1917. En particulier, la notion scientifique d'extensivité n'implique pas seulement une simpledépendance qualitative au tout, mais bien uneproportionnalité quantitative à la grandeur de ce tout.
Ainsi unepropriété intensive réfère à l'indépendance de la mesure correspondante relativement à la taille ou la quantité de matière présente dans le système[2],[3],[4] : la température, l'indice de réfraction, la densité, etc., sont des grandeurs intensives. Quand un diamant est coupé, les parties générées par cette subdivision gardent leurs propriétés physiques (jusqu'à une certaine limite imposée par la nature du diamant).
Unepropriété extensive est au contraire additive (relativement à ses parties indépendantes et sans interactions)[2],[3],[5], autrement dit la propriété est proportionnelle à la quantité de matière présente dans le système. Par exemple la masse et le volume du diamant sont des propriétés extensives, mais pas sa dureté.
Intensif etextensif s'opposent commeintérieur etextérieur : une propriété intensive ne dépend que du point considéré, et peut donc s'apprécier de l'intérieur du système : en revanche une propriété extensive dépend de l'ensemble du système, et ne peut s'apprécier que de l'extérieur, où le système peut être appréhendé dans sa globalité. Une propriété localement définie est bien toujours intensive. Il faut en revanche être prudent pour ce qui est de l'extensivité : le fait pour une propriété de ne pouvoir être mesurée que sur l'ensemble d'un système n'implique pas qu'elle soit extensive au sens physique du terme, c'est-à-dire que « sa valeur sur la somme des parties est la somme des valeurs sur les parties ». Un contre-exemple évident est la surface d'une sphère (s=4πr²), bien définie sur l'ensemble du système, qui par rapport à son volume (v=4/3.πr³) varie non pas en proportion dev, mais env à la puissance deux tiers : lasuperficie d'un corps tridimensionnel est une mesure ni intensive, ni extensive.
Cette catégorisation est imparfaite : certaines grandeurs ne sont pas parfaitement extensives. Par exemple, la masse d'un corps n'est pas exactement la somme des masses de ses particules car une partie de leur masse est utilisée sous forme d'énergie de liaison. Il en est de même de grandeurs intensives définies comme quotient de deux grandeurs imparfaitement extensives.
Lorsque les grandeurs physiques considérées sont des caractéristiques macroscopiques, la distinction entre grandeur extensive et grandeur intensive peut devenir problématique, et dépendre de la manière dont les sous-systèmes sont assemblés. Par exemple, si deux résistances sont placées en parallèle, latension électrique aux bornes du système est la même qu'aux bornes de chaque sous-système, tandis que lecourant électrique circulant dans l'ensemble est la somme du courant circulant dans chaque sous-système. Mais inversement, si les deux résistances sont montées en série, c'est la tension qui s'additionne et le courant qui est invariant. (On notera cependant que ni la tension ni le courant ne peuvent se mesurer à partir d'une mesure en un point, les deux grandeurs sont donc en réalité des grandeurs macroscopiques intégrales, et aucune ne peut donc être qualifiée d'intensive.)
D'autre part, la phrase « une grandeur qui n'est pas extensive est une grandeur intensive » estfausse. Certaines grandeurs ne sont ni intensives, ni extensives, par exemple le produit de deux grandeurs extensives, ou une fonction non linéaire d'une grandeur extensive. Même en faisant abstraction du cas académique où l'on prend une puissance arbitraire d'une quantité extensive (comme le carré du volume, par exemple, qui ne respecte pas la condition de linéarité), on trouve des systèmes thermodynamiques où des quantités fondamentales ne sont ni intensives ni extensives[6]. Par exemple, enthermodynamique des trous noirs, lasurface d'untrou noir est proportionnelle au carré de sa masse, et non à sa masse. Sa grandeur conjuguée, lagravité de surface, proportionnelle à latempérature de Hawking, n'est elle aussi ni extensive ni intensive.
La mesure d'une grandeur extensive porte nécessairement sur l'ensemble du système considéré, et sa valeur est en proportion de la « taille » de ce système.Plus précisément, enphysique et enchimie, on dit d'une grandeurG qu'elle estextensive lorsque la somme des valeurs de cette grandeur pour deux systèmesdisjoints est égale à la valeur de la grandeur pour la réunion des systèmes.
De la même manière on peut écrire queG est une grandeur extensive dépendant par exemple de la quantité de matièren et du volumeV si :
Pour cette raison on qualifie aussi souvent les grandeurs extensives d'additives bien que les deux termes ne soient synonymes qu'à lalimite thermodynamique. Une grandeur physique est diteadditive si et seulement si pour toute partition macroscopique de, on a la relation d'additivité :
Par exemple, le volume et le nombre de particules sont des grandeurs additives.
Unegrandeur intensive est unegrandeur physique dont la mesure peut être faite ponctuellement, parce qu'elle ne dépend pas de la « taille » du système considéré (taille au sens large, mesurée par une grandeur extensive :masse,quantité de matière,volume, etc.).
Une grandeur intensive permet de caractériser l'homogénéité d'un système (pour cette grandeur), et inversement : une grandeur physique est diteintensive si et seulement si sa valeur reste identique pour toute partie d'un systèmehomogène ; et réciproquement, on qualifie un système d’homogène si toutes les grandeurs intensives considérées y prennent une valeur identique dans toutes ses sous-parties.
Par exemple, dans un système à l'équilibre thermique, la température est une grandeur intensive, parce qu'il est possible de la mesurer en un point quelconque. Si l'on divise le système en deux parties, la température d'une des parties sera celle de l'autre, et sera la même que celle mesurée sur l'ensemble. Ceci étant, un objet à l'équilibre thermique ne sera pas nécessairement homogène, par exemple, sur le plan de la densité.
Certaines grandeurs physiques ne sont définies que pour un corps homogène. Ainsi, la température d’ébullition de l'eau est une grandeur intensive, définie indépendamment de la quantité d'eau considérée.
Plus généralement, dans un système physique quelconque et non nécessairement homogène, unegrandeur physique intensive se traduit alors le plus souvent par unchamp, c'est-à-dire une fonction de la position du point considéré. Ce sont de telles grandeurs physiques qui font l'objet de l'analyse vectorielle. Une grandeur scalaire intensive est donc unchamp scalaire, et une grandeur vectorielle intensive unchamp vectoriel. De la même manière, letenseur des déformations et letenseur des contraintes, définis en tout point d'unsolide déformable, sont des champs tensoriels.
On compte parmi lesgrandeurs extensives courantes :
On compte parmi lesgrandeurs intensives courantes :
Le quotient de deux grandeurs extensives (par exemple la masse divisée par le volume) donne toujours une grandeur intensive (lamasse volumique). Le rapport de deux grandeurs extensives est donc invariant d'échelle, c'est une propriété intensive.
En général, unegrandeur extensive d'un système peut être ainsi associée à au moins une grandeur intensive. D'une manière générale, toutes lesgrandeurs physiques qualifiées de « massique », « volumique » ou « molaires » sont ainsi des grandeurs intensives, où la grandeur extensive dont elle porte le nom est ramenée à lamasse, auvolume, ou plus rarement à laquantité de matière considérée. Ces grandeurs peuvent être génériquement qualifiées de « spécifiques », lorsque la quantité de référence n'est pas ambiguë : typiquement, levolume spécifique est le volume d'un matériau divisé par sa masse, et lamasse spécifique est son inverse. De même, toutes les grandeurs physiques qualifiées de « densité » sont définies par des rapports (infinitésimaux) ramenés à l'unité de volume, de surface ou de longueur, et sont donc des grandeurs intensives.
La grandeur intensive ramenée à un volume n'a de sens physique que lorsque le volume considéré est homogène. Cependant, il est toujours possible de considérer unvolume élémentaire de matière suffisamment petit pour que la propriété puisse y être considérée comme localement constante. Par exemple, l'aimantation locale d'un matériau magnétique est définie à partir de la propriété macroscopique extensive qu'est lemoment magnétique, comme la limite du moment magnétique spécifique lorsque le volume considéré devient infinitésimal :
C'est doncpar construction une grandeur intensive.
Inversement, lorsqu'une grandeur physique intensive est ainsi définie par un rapport volumique élémentaire, son intégrale sur un système physique donnerapar construction la grandeur extensive associée :
Dans le cas où la grandeur intensive n'est pas homogène sur l'espace considéré, la division de la grandeur extensive par le volume d'intégration représente la moyenne de sa valeur sur le système physique :
Remarque : s'il est correct de dire qu'une grandeur intensive est définie localement et ne dépend pas de la taille du système, ce n'est en revanche plus le cas si l'on considère la valeurmoyenne de cette grandeur, laquelle dépend du domaine d'intégration et donc « dépend de la taille » dès lors que le système considéré n'est pas homogène. Ainsi, la température moyenne auxÉtats-Unis un4 juillet ne sera pas la même suivant que l'on inclue ou non l'Alaska.
Remarque : si l'intégrale volumique d'une grandeur intensive peut toujours être mathématiquement définie, le résultat n'est pas nécessairement une grandeur physique pertinente : ce n'est le cas que lorsque la grandeur extensive associée sur unvolume élémentaire est par ailleurs additive. C'est souvent le cas pour une grandeur scalaire, mais rarement pour une grandeur vectorielle. Ainsi, l'intégrale d'unvecteur déplacement sur le volume d'un corps déformable donne bien un vecteur, de dimensionL 4, qui (étant une intégrale de volume) est bien nécessairement une grandeur extensive, mais cette grandeur n'a pas de sens physique ; et la valeur moyenne sur le système ou l'une de ses parties n'a pas d'interprétation simple en dehors du cas d'unsolide indéformable.
La relation simple voulant que « intégrale » = « additivité » = « grandeur extensive » demande à être nuancée lorsque les intégrales ne portent pas sur des volumes, mais sur dessurfaces ou deslongueurs, parce que l'additivité concerne dans ce cas l'intégrale, et non levolume ou laquantité de matière.
En règle générale, les équations différentielles et intégrales degrandeurs physiques sur les surfaces et les chemins n'ont de sens que lorsqu'elles traduisent la représentation d'unsystème physique qui est lui-même en deux dimensions, ou linéaire (et que ces quantités physiques sont relatives, donc, aux concentrations surfaciques ou linéiques).
Ce n'est pas nécessairement le cas, et autant une intégrale de volume d'une quantité intensive donnepar nature une quantité additive donc extensive, autant uneintégrale de surface ou curviligne ne peut traduire une grandeur physique pertinente que dans la mesure où le problème physique traduit un système physique relevant effectivement d'une surface ou d'une dimension linéaire, et donc, par rapport à ce problème particulier.
Des intégrales de surface ou curvilignes ont un sens physique très particulier, qui fait remonter le « niveau d'intégration » d'un cran, dans deux cas spécifiques :
D'après lethéorème de flux-divergence, si un champ vectoriel se présente comme la divergence d'un champ, alors l'intégrale de ce champ sur un volume donné est égale au flux, sur la surface frontière du volume, du champ dont il est la divergence :
Ce théorème reflète uneloi de conservation : la divergence exprime la dispersion ou la concentration d’une grandeur (telle une masse par exemple), et l'égalité précédente indique qu’une dispersion au sein d’un volume s’accompagne nécessairement d’un flux total équivalent sortant de sa frontière.
D'autre part, d'après lethéorème de Stokes, si un champ vectoriel se présente comme le rotationnel d'un champ, alors le flux de ce champ à travers une surface est égale à la circulation sur la courbe frontière de la surface du champ dont il est le rotationnel :
où est levecteur directeur de la courbe en tout point, et levecteur normal à unélément de surface infinitésimal dont lanorme est égale à la surface de l'élément.
Lesgrandeurs physiques peuvent se combiner entre elles pour former des grandeurs qualifiées de « dérivées » ou « composées ». Ces grandeurs peuvent de même être classifiées en « intensives » et « extensives ».
Supposons d'une manière générale une grandeur composée, fonction d'un ensemble de grandeurs intensives et d'un ensemble de grandeurs extensives. Si la taille du système est augmentée d'un certain facteur, seules les grandeurs extensives seront modifiées (puisque les grandeurs intensives sont par hypothèse indépendantes de la taille du système. La grandeur caractérisant le système mis à l'échelle est donc.
La grandeur sera elle-même une grandeur intensive si elle est indépendante du facteur, c'est-à-dire que :
Autrement dit, la fonction doit être unefonction homogène de degré zéro par rapport à ses grandeurs extensives. On en déduit en particulier que le rapport entre deux grandeurs extensives est une grandeur intensive, comme signalé ci-dessus.
Inversement, la grandeur sera une grandeur extensive si elle est proportionnelle au facteur, c'est-à-dire que :
Autrement dit, la fonction doit être unefonction homogène de degré un par rapport à ses grandeurs extensives.
On en déduit d'après lethéorème d'Euler que :
Cette formule est parfois utile pour déterminer certaines relations thermodynamiques.
Enthermodynamique d'équilibre, l'état d'un système est résumé par une série de mesures physiques. Les « grandeurs physiques » ainsi mesurées sont les « variables d'état » de ce système, ou encore les « paramètres » décrivant l'état d'équilibre.
Unparamètre extensif (ou unevariable extensive) est un paramètre caractérisant un système physiqueproportionnel à la taille de ce système. À l'inverse, unevariable intensive (ouparamètre intensif) caractérise l'état du système indépendamment de sa taille, le système étant supposé à l'équilibre ethomogène.
Les notions d'extensivité et d'intensivité sont donc assez différentes selon que l'on considère le cas général de la physique ou le cas particulier de la thermodynamique, beaucoup plus spécialisé :
En général, à une variable extensive correspond une variable intensive associée, décrivant localement une propriété analogue (masse etmasse volumique,énergie interne ettempérature,quantité de mouvement etvitesse, etc.).
Le rapport de deux variables extensives étant une variable intensive (par exemple : lesdensités comme lamasse volumique, ladensité surfacique de charge, etc.), il est toujours possible de caractériser un système par un jeu de variables ne dépendant pas de la taille ou du nombre de particules du système. En toute rigueur d'ailleurs, une fonction thermodynamique ne doit s'exprimer qu'en fonction de variables intensives afin de rendre la description du système la plus générale possible. On retrouve ce principe dans la théorie des maquettes où la description s'appuie sur des nombres sans dimension (donc naturellement intensifs) afin d'étudier des propriétés transposables aux objets à taille réelle.
Le produit d'une variable extensive (par exemple levolume) par une intensive (par ex. lapression) donne encore une variable extensive ( est une énergie) ; lorsque ce produit est une énergie, ces deux variables sont ditesvariables conjuguées.
Soit un système et une variableG définie par exemple par le nombre de particulen.G est diteextensive si et seulement si le rapport deG surna une limite finie quandn tend vers l'infini :
On appelle cela le passage à lalimite thermodynamique. est la densité du système, supposée indépendante den. La variable est alors une variable intensive associée àG etn.
On retrouve bien le fait qu'une variable extensive est, à la limite thermodynamique, proportionnelle à la taille du système :
« Y a-t-il deux fois plus d'énergie dans deux litres d'essence que dans un litre ? »
La réponse à cette question, qui peut sembler anodine, n'est pas triviale du tout. Elle n'a de chance d'être positivequ'à lalimite thermodynamique seulement ; en effet, l'énergie interneU d'un liquide ordinaire est une variable extensivebien qu'elle ne soit pas additive !
Considérons une partition du liquide en deux sous-systèmes macroscopiques et ayant en commun la surface-frontièreS. On peut écrire pour l'énergie interne du liquide la relation exacte :
où :
Montrons cependant que cette énergie d'interaction tend vers zéro à lalimite thermodynamique des grands systèmes. Soitl la longueur caractéristique de la portée de l'interaction. Les molécules qui contribuent à l'énergie d'interaction sont situées dans un volumev de l'ordre du produit de la surface de séparationS multiplié par la longueur2 l :
Soit une longueur caractéristique du liquide, de telle sorte que son volume total soit de l'ordre de :
Alors, la surface de séparationS est de l'ordre de :
de telle sorte que le volume de la zone d'interaction est de l'ordre
Les forces d'interaction étant supposées à courte portée, et on obtient :
Plus précisément, il vient à lalimite thermodynamique :
On aura donc une énergie d'interaction nulle à la limite thermodynamique :
Dans la réalité, les molécules du liquide sont constituées à l'échelle fondamentale de protons, de neutrons et d'électrons, et ces particules interagissent essentiellement via des forces coulombiennes et gravitationnelles qui sont deportée infinie. Il n'est a priori pas du tout évident que les interactions intermoléculaires « résiduelles » soient bien à courtes portées, ce qui rend la « preuve » élémentaire précédente caduque. Plus grave, nous savons que la matière doit être décrite par lamécanique quantique à l'échelle microscopique.
En général une variable extensive est associée à une variable intensive, et vice versa : la température est associée à l'entropie, la pression est associée au volume, le potentiel chimique est associé au nombre de particules, etc.
En effet, le passage de la description d'un système thermodynamique à variables ( à) en fonction d'une variable extensive vers une description en fonction de la variable intensive associée à s'effectue grâce à latransformation de Legendre :
avec
On dit que les variables et sont desvariables conjuguées.
Par exemple, considérons le cas de l'énergie interne. D'après, on voit que est la variable conjuguée de :
Le calcul de l'énergie libre consiste donc à faire une transformation de Legendre de l'énergie interne.
En conclusion, une variable extensive est conjuguée à une variable intensive, et vice versa.
