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Forme différentielle

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Pour les articles homonymes, voirForme.

Engéométrie différentielle, uneforme différentielle est la donnée d'un champ d'applications multilinéaires alternées sur lesespaces tangents d'unevariété différentielle possédant une certaine régularité. Ledegré des formes différentielles désigne le degré des applications multilinéaires. Ladifférentielle d'une fonction numérique peut être regardée comme un champ deformes linéaires : c'est le premier exemple de formes différentielles. Au-delà de cet exemple, non seulement les formes différentielles interviennent naturellement dans les problèmes de géométrie différentielle, mais elles permettent de définir des structures importantes, comme lesformes volumes, lesformes symplectiques, lesformes de contact ou encore lesconnexions.

La manipulation des formes différentielles fait intervenir un certain nombre d'opérations, dont leproduit extérieur, leproduit intérieur, ladérivée extérieure et ladérivée de Lie. En particulier, la dérivée extérieure permet de distinguer lesformes fermées et lesformes exactes. Cette distinction permet dans un second temps de définir les espaces decohomologie de De Rham.

Les problèmes de régularité ne sont pas abordés dans cet article. On fera donc implicitement l'hypothèse que les fonctions introduites sont declasse C∞.

Définitions

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Forme différentielle de degré 1

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Article détaillé :Forme différentielle de degré 1.

Les formes différentielles de degré 1 – ou 1-formes – sont des champs deformes linéaires sur une variété différentielle. Dit autrement, on se donne une forme linéaire en chaque espace tangentTxM{\displaystyle T_{x}M} avec une dépendance régulière enx{\displaystyle x}. La dépendance enx{\displaystyle x} peut facilement être précisée par l'expression dans descartes locales. On les appelle parfoiscovecteurs ouchamps de covecteurs ; ces outils ont des propriétés analogues auxchamps de vecteurs. Il existe en réalité un isomorphisme une fois introduite, par exemple, unemétrique riemannienne. Sif{\displaystyle f} est une fonction réelle différentiable, sa différentielledf{\displaystyle \mathrm {d} f} est une 1-forme différentielle (dite exacte) qui en chaque pointx{\displaystyle x} vaut la forme linéairedf(x){\displaystyle \mathrm {d} f(x)}. Localement, les 1-formes différentielles s'expriment comme combinaisons de différentielles de fonctions.

Plus exactement, ledual de l'espace vectoriel réelRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} est unespace vectoriel dedimensionn. Si(x1,...,xn){\displaystyle (x_{1},...,x_{n})} désigne les coordonnées dansRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, alors on notedxi{\displaystyle \mathrm {d} x_{i}} l'applicationi{\displaystyle i}-ème coordonnée(x1,…,xn)↦xi{\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto x_{i}}. Les formes linéaires surRn{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} s'expriment comme des combinaisons à coefficients réels des formes linéairesdx1,...,dxn{\displaystyle \mathrm {d} x_{1},...,\mathrm {d} x_{n}}. Les 1-formes différentiellesλ{\displaystyle \lambda } s'expriment alors comme des combinaisons desdx1,...,dxn{\displaystyle \mathrm {d} x_{1},...,\mathrm {d} x_{n}} dont les coefficientsλi{\displaystyle \lambda _{i}} dépendent de manièreC∞{\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }} du point de basex∈Rn{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} :

λx=λ1(x)⋅dx1+⋯+λn(x)⋅dxn{\displaystyle \lambda _{x}=\lambda _{1}(x)\cdot \mathrm {d} x_{1}+\dots +\lambda _{n}(x)\cdot \mathrm {d} x_{n}}

Sur une variété différentielleM, une 1-forme différentielle s'exprime localement comme ci-dessus dans les cartes locales. L'exemple le plus simple est ladifférentielle d'une fonctionf:Rn→R{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } en un pointa

daf=∑i=1n∂f∂xi(a)dxi∈(TaRn)∗{\displaystyle \mathrm {d} _{a}f=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\mathrm {d} x_{i}\quad \in (T_{a}\mathbb {R} ^{n})^{*}}

SiX est un champ de vecteurs surM et λ est une 1-forme différentielle, alorsλ(X):x∈M→λx(X(x))∈R{\displaystyle \lambda (X):x\in M\to \lambda _{x}(X(x))\in \mathbb {R} } est différentiable ; cette fonction est linéaire enX. Cela permet de regarder une 1-forme différentielle comme une forme linéaire sur lemodule des champs de vecteurs surM (dont l'anneau de base est l'ensemble des fonctions deM dans ℝ).

Définition comme champ de formes multilinéaires alternées

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Les formes différentielles se définissent comme une extension en géométrie différentielle desformes multilinéairesalternées.

Pour une variété différentielleM, uneforme différentielle ω de degrék surM est un champ d'applicationsk-linéaires alternées sur les espaces tangentsTxM{\displaystyle T_{x}M} avec une dépendance régulière enx : pour tous champs de vecteursX1,...,Xk{\displaystyle X_{1},...,X_{k}}, la fonctionx↦ωx(X1(x),…,Xk(x)){\displaystyle x\mapsto \omega _{x}(X_{1}(x),\dots ,X_{k}(x))} est de classe C∞.

De même que pour les 1-formes différentielles, il est possible de donner l'expression locale des formes différentielles de degrék grâce au produit extérieur (voir plus bas).

Définition comme section d'un fibré

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L'ensemble des applications multilinéaires alternées surTxM{\displaystyle T_{x}M} forme un espace vectoriel notéΛkTx∗M{\displaystyle \Lambda ^{k}T_{x}^{*}M}. L'ensemble de ces espaces forme ce qu'on appelle unfibré vectoriel surM, notéΛkT∗M{\displaystyle \Lambda ^{k}T^{*}M}, formellement lak-ième puissance dufibré cotangent deM. Une forme différentielle de degrék peut se redéfinir comme unesection globale de ce fibré vectoriel.

Cette approche permet non seulement de donner une meilleure signification à la régularité de la forme différentielle, mais permet aussi d'étendre la définition des formes différentielles. SiE est un fibré vectoriel surM, une forme différentielle de degrék à valeurs dansE est une section globale duproduit tensorielΛkT∗M⊗E{\displaystyle \Lambda ^{k}T^{*}M\otimes E}. C'est donc un champ d'applications multilinéaires alternées à valeurs dans les fibres deE. De telles formes peuvent aussi être définies comme des applications multilinéaires alternées du moduleX(M) dans le module des sections globales deE.

Opérations sur les formes différentielles

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La manipulation des formes différentielles en pratique exige un ensemble d'opérations élémentaires. Certaines sont purement algébriques et se définissent en réalité pour toutes applications multilinéaires alternées. D'autres sont propres à latopologie différentielle et aux formes différentielles.

Opérations algébriques

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Par définition, l'ensemble des formes différentielles (réelles) de degrék sur une variété différentielleM forme un moduleΩk(M){\displaystyle \Omega ^{k}(M)} sur C∞(M). En particulier, les formes différentielles de degrék s'additionnent ou peuvent être multipliées par des fonctions réelles :

(α+β)x(v1,…,vk)=αx(v1,…,vk)+βx(v1,…,vk){\displaystyle (\alpha +\beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})+\beta _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})} ;
(fα)x(v1,…,vk)=f(x)⋅αx(v1,…,vk){\displaystyle (f\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=f(x)\cdot \alpha _{x}(v_{1},\dots ,v_{k})}.
Produit intérieur
Leproduit intérieur se définit enalgèbre linéaire, définition qui s'étend naturellement aux formes différentielles. SiX est un champ de vecteurs et α une forme différentielle de dimensionk, on définit une forme différentielle de degrék – 1, par :
(ιXα)x(v2,…,vk)=αx(X(x),v2,…,vk){\displaystyle (\iota _{X}\alpha )_{x}(v_{2},\dots ,v_{k})=\alpha _{x}(X(x),v_{2},\dots ,v_{k})}.
Produit extérieur
Leproduit extérieur de deux formes différentielles α et β de degrés respectifsk etq se définit comme suit :
(α∧β)x(v1,…,vk+q)=∑ε(σ)⋅αx(vσ(1),…,vσ(k))⋅βx(vσ(k+1),…,vσ(k+q)){\displaystyle (\alpha \wedge \beta )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k+q})=\sum \varepsilon (\sigma )\cdot \alpha _{x}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})\cdot \beta _{x}(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+q)})},
oùε(σ){\displaystyle \varepsilon (\sigma )} désigne la signature de la permutation σ et la somme porte sur toutes lespermutations σ de [1,k + q] croissantes sur lesk premiers entiers et croissantes sur lesq derniers. Le résultat est une forme de degrék + q.

Ces opérations munissentΩ(M)=⊕Ωk(M){\displaystyle \Omega (M)=\oplus \Omega ^{k}(M)} d'une structure d'algèbre graduée commutative. Ici,commutatif signifie que pour toutes formes différentielles α et β de degrés respectifsk etq, on a :

α∧β=(−1)kqβ∧α.{\displaystyle \alpha \wedge \beta =(-1)^{kq}\beta \wedge \alpha .}
Image réciproque (pullback)
Sif:M→N{\displaystyle f:M\rightarrow N} est une application de classe C1 et si α est une forme différentielle de degrék surN, on définitf∗α{\displaystyle f^{*}\alpha } comme une forme différentielle de degrék surM par :
(f∗α)x(v1,…,vk)=αf(x)(dfx(v1),…,dfx(vk)){\displaystyle (f^{*}\alpha )_{x}(v_{1},\dots ,v_{k})=\alpha _{f(x)}(\mathrm {d} f_{x}(v_{1}),\dots ,\mathrm {d} f_{x}(v_{k}))}.

L'applicationf∗:Ω(N)→Ω(M){\displaystyle f^{*}:\Omega (N)\rightarrow \Omega (M)} définit un morphisme d'algèbres graduées.

Dérivée extérieure

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Article détaillé :Dérivée extérieure.

La dérivée extérieure est définie comme l'unique applicationd:Ω(M)→Ω(M){\displaystyle \mathrm {d} :\Omega (M)\to \Omega (M)}, transformant lesk-formes en (k + 1)-formes, et vérifiant :

Une forme différentielleω pouvant s'écrire comme une dérivée extérieure (ω = dξ) est diteexacte.

Une forme différentielleω dont la dérivée est nulle (dω = 0) est ditefermée.

Les formes exactes et les formes fermées sont donc, respectivement, l'image et lenoyau ded.

Le troisième axiome se reformule en : « toute forme exacte est fermée ».

Laréciproque n'est pas vraie en général, et l'étude des liens entre formes exactes et formes fermées conduit à la théorie de lacohomologie de De Rham.

Dérivée de Lie

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Article détaillé :Dérivée de Lie.

Une 0-forme différentielle est une fonction différentiablef{\displaystyle f} ; considérer sa dérivée selon un champ de vecteursX consiste à introduire la fonctiondf(X){\displaystyle \mathrm {d} f(X)}. La dérivée de Lie d'une forme différentielle α de degrék selon un champ de vecteursX est une forme différentielle de degrék notéeLXα{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha } définie par :

LXα=ddtφt∗(α)∣t=0.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha ={\frac {d}{dt}}\varphi _{t}^{\ast }(\alpha )\mid _{t=0}.}

On démontre (formule de Cartan) que

LXα=dιXα+ιXdα.{\displaystyle {\mathcal {L}}_{X}\alpha =\mathrm {d} \iota _{X}\alpha +\iota _{X}d\alpha .}

Expression locale

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Intégration des formes

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Les formes différentielles de degrék sont intégrées sur deschaînes de dimensionk. Sik est nul, alors il s'agit d'une évaluation des fonctions aux points considérés. D'autres valeurs dek, aveck > 0, correspondent auxintégrales curvilignes,de surface, de volume, etc.

Soit

ω=∑ai1,⋯,ik(x)dxi1∧⋯∧dxik{\displaystyle \omega =\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}({\mathbf {x} })\,\mathrm {d} x_{i_{1}}\wedge \cdots \wedge \mathrm {d} x_{i_{k}}}

une forme différentielle etS un ouvert d'unevariété orientée de dimensionkplongée dansRn, paramétré par :

S(u)=(x1(u),⋯,xn(u)){\displaystyle S({\mathbf {u} })=(x_{1}({\mathbf {u} }),\cdots ,x_{n}({\mathbf {u} }))}

avecu un paramètre dans le domaineD. AlorsRudin 1976 définit l'intégrale de la forme différentielle surS par :

∫Sω=∫D∑ai1,⋯,ik(S(u))∂(xi1,⋯,xik)∂(u1,⋯,uk)du{\displaystyle \int _{S}\omega =\int _{D}\sum a_{i_{1},\cdots ,i_{k}}(S({\mathbf {u} })){\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}\,\mathrm {d} {\mathbf {u} }}

où

∂(xi1,⋯,xik)∂(u1,⋯,uk){\displaystyle {\frac {\partial (x_{i_{1}},\cdots ,x_{i_{k}})}{\partial (u_{1},\cdots ,u_{k})}}}

est le déterminantjacobien.

D'après lethéorème de changement de variables, cette définition ne dépend pas du paramétrage (compatible avec l'orientation) de l'ouvert.

Article connexe :Théorème de Stokes.

Références

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Voir aussi

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v ·m
Variété différentielle
Variétés
Champs
Connexions
Géométrie
Opérateurs
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