L'ensemble vide peut être noté d'unO barré[1], à savoir ∅ ou simplement { }, qui est une paire d'accolades ne contenant qu'uneespace, pour représenter un ensemble qui ne contient rien. La notation ∅ a été introduite parAndré Weil, dans le cadre de l'institution denotations par legroupe Bourbaki[2].Von Neumann dans son article de 1923[3],[4], qui est l'une des premières références qui l'aborde, le noteO.
l'ensemble des applications de l'ensemble vide dansA est un singleton, dont l'élément est l'« application vide de ∅ dansA » (de graphe ∅)[6]. Si on la note ∅A, on a donc :
Deux ensembles sont égaux s'ils contiennent les mêmes éléments ; c'est l'axiome d'extensionnalité de lathéorie des ensembles. Par conséquent, il ne peut y avoir qu'un ensemble ne contenant aucun élément, donc un seul ensemble vide.
Dans certaines variantes de la théorie des ensembles, on peut introduire des « objets » appelésur-elements[7], qui eux aussi n'ont pas d'éléments et peuvent aussi être éléments d'ensembles, mais qui, contrairement à l'ensemble vide, ne sont pas des ensembles.
L'ensemble vide necontient rien, mais comme c'est un ensemble, il n’est pas rien. C'est la base sur laquelle s'appuie von Neumann[3],[4] pour construire les entiers et lesordinaux.
La notation {∅} n'a pas le même sens que la notation ∅ ; en effet, l’ensemble désigné par ∅ n'a aucun élément (car c’est l'ensemble vide), tandis que l’ensemble désigné par {∅} en a un (cet élément est l'ensemble vide). D'ailleurs, von Neumann définit 0 comme étant ∅ et 1 comme étant {∅}.
Rappelons (voirsupra) que l'ensemble vide est un sous-ensemble de n'importe quel ensembleA, c'est-à-dire que pour tout élémentx de ∅,x appartient àA, ce qui s'écrit formellement : (∀x ∈ ∅) x ∈ A. Plus généralement, un énoncé de la forme « tout élément de l'ensemble vide possède la propriétéP », ou plus formellement (∀x ∈ ∅)P(x), qui est une abréviation de ∀x (x ∈ ∅ ⇒P(x)), esttoujours vrai, parex falso quodlibet ; de même, tout énoncé de la forme «il existe un élément de l'ensemble vide possédant la propriétéP » est toujours faux (ce second résultat est sans doute plus évident, mais ce n'est que la négation de l'affirmation précédente).
L'axiome de fondation affirme que toute suite se termine, donc il existe un tel que, dans cette suite,.
L'ensemble vide dans la théorie axiomatique des ensembles
De plus, on peut démontrer en utilisant leschéma d'axiomes de compréhension, que l'existence d'un ensemble quelconque implique l'axiome de l'ensemble vide, ce qui évite, quand on formalise la théorie des ensembles en logique du premier ordre, de faire appel à un axiome spécifique pour l'existence de l'ensemble vide (voiraxiome de l'ensemble vide).
L'ensemble vide peut être caractérisé très simplement comme objet de lacatégorie des ensembles. C'est en effet l'unique objet ayant la propriété suivante :
Pour tout ensemble E, il existe une et une seuleflèche de ∅ vers E.
Dans le cas de cette catégorie,flèche signifieapplication. Plus généralement, un objet qui, dans unecatégorie, a cette propriété est appelé unobjet initial.
↑L'unicode possède trois caractères distinctsU+2205 (∅) pour l'ensemble vide,U+00D8 (Ø) lettre de l'alphabetdanois, etU+2300 (⌀) représentant lediamètre d'uncercle. Ces trois caractères ont la forme d'un cercle barré par un trait allant du sud-ouest au nord-est. Il est plus aisé de les distinguer de la lettrePhi majuscule de l'alphabet grec (Φ), qui elle consiste en un cercle barré d'un trait vertical. Le rond barré n'est pas non plus lezéro barré. TeX possède au moins deux graphies, et.
↑a etbJohannvon Neumann, « Zur Einführung der transfiniten Zahlen »,Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum,vol. 1,,p. 199-208(lire en ligne).
↑a etbJohnvon Neumann,« On the introduction of transfinite numbers », dans Jean van Heijenoort,From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press,,3eéd.(ISBN0-674-32449-8,lire en ligne),p. 346-354.
↑Affirmer en logique intuitionniste qu'un ensemble est habité suppose que l'on a un moyen de construire un habitant. Or en déclarant seulement« un ensemble non vide est habité » on ne fournit pas une telle construction, donc cette propriété ne peut pas être acceptée telle quelle en logique intuitionniste.
