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Ensemble de Julia

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Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre.

Relation entre un ensemble de Julia etcelui de Mandelbrot.

Endynamique holomorphe, l'ensemble de Julia et l'ensemble de Fatou sont deuxensembles complémentaires l'un de l'autre, définis à partir du comportement d'une fonction (ou d'une application)holomorphe parcomposition itérée avec elle-même.

Alors que l'ensemble de Fatou est l'ensemble des points en lesquels un faible changement dupoint de départ entraîne un faible changement sur la suite de l'itération (stabilité), l'ensemble de Julia est quant à lui, essentiellement caractérisé par le fait qu'une petite perturbation au départ se répercute en un changement radical de cette suite (chaos).

Les ensembles de Julia offrent de nombreux exemples d'ensembles fractals.

Ces deux ensembles ont été nommés en l'honneur des mathématiciens françaisPierre Fatou etGaston Julia dont les travaux, au début duXX^e siècle, sont à l'origine d'une nouvelle branche des mathématiques, la dynamique holomorphe.

Sif est la fonction engendrant lesystème dynamique, on a l'habitude de noterJ(f) etF(f) les ensembles de Julia et Fatou qui lui sont associés.

La définition fut initialement donnée pour lesfractions rationnelles^[1]^,^[2]^,^[3]^,^[4]^,^[5]^,^[6] mais on peut l'étendre à d'autres classes de fonctions holomorphes.Lespolynômes sont un cas particulier de fractions rationnelles. Pour ces derniers, une autre définition est souvent utilisée : l'ensemble de Julia est lafrontière du bassin d'attraction de l'infini. L'équivalence des deux définitions est unthéorème.

Définition

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Soit $f:S\to S$ unefraction rationnelle définie sur lasphère de Riemann. L'ensemble de Fatou de $f {\displaystyle f}$ , noté $F(f)$ est l'ensemble des points $z {\displaystyle z}$ de $S {\displaystyle S}$ tels qu'il existe un voisinage $U {\displaystyle U}$ de $z {\displaystyle z}$ sur lequel la famille des itérées $(f_{|U}^{\circ n})_{n\in \mathbb {N} }$ estnormale. L'ensemble de Julia est le complémentaire de l'ensemble de Fatou : $J(f)=S\backslash F(f)$ .

Cette définition peut s'étendre au cas où $f {\displaystyle f}$ est une fonction holomorphe définie sur une surface de Riemann $S {\displaystyle S}$ quelconque.Dans le cas où la surface $S {\displaystyle S}$ esthyperbolique, l'ensemble de Julia est toujours vide, mais dans le cas où $S {\displaystyle S}$ esteuclidienne, la dynamique peut être compliquée. Dans cet article, on se restreindra au cas où $S {\displaystyle S}$ est sphérique.

Propriétés topologiques

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L'ensemble de Julia est unensemble parfait, c'est-à-dire fermé et sanspoint isolé.

Si l'ensemble de Julia contient un point intérieur, alors il est égal à la sphère de Riemann tout entière.

Si $f {\displaystyle f}$ est de degré 2 ou plus, l'ensemble de Julia est soitconnexe, soit a une infinité de composantes connexes.

Si $a {\displaystyle a}$ est un point fixe attractif de $f {\displaystyle f}$ , lafrontière dubassin d'attraction de $a {\displaystyle a}$ est l'ensemble de Julia tout entier.

Si $f {\displaystyle f}$ possède un point fixe répulsif dont lemultiplicateur n'est pas réel, alors $J(f)$ n'est pas unevariété lisse, sauf si c'est la sphère de Riemann tout entière.

Propriétés dynamiques

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L'ensemble de Julia est complètement invariant par $f {\displaystyle f}$ , c'est-à-dire que $z {\displaystyle z}$ est dans $J(f)$ si et seulement si $f(z)$ est dans $J(f)$ ^[4]. De manière équivalente, l'ensemble de Fatou est aussi complètement invariant.

L'ensemble de Julia ne change pas si on remplace $f {\displaystyle f}$ par l'une de ses itérées : pour tout $k\in \mathbb {N}$ , $J(f^{\circ k})=J(f)$ .

L'ensemble de Julia contient les cycles répulsifs et paraboliques de $f {\displaystyle f}$ . L'ensemble de Fatou contient les cycles attractifs ; pour le reste des cycles, les deux cas peuvent se produire.

Si $z {\displaystyle z}$ est un point de $J(f)$ , et $U {\displaystyle U}$ un voisinage de $z {\displaystyle z}$ , alors l'union des itérés $f^{\circ n}(U)$ recouvre toute la sphère de Riemann, sauf peut-être deux points. C'est ce qui fait dire que la dynamique au voisinage des points de l'ensemble de Julia est chaotique.

Si $z {\displaystyle z}$ est un point de $J(f)$ , alors l'ensemble des préimages de $z {\displaystyle z}$ par les itérés de $f {\displaystyle f}$ , c'est-à-dire l'ensemble $\bigcup _{n\in \mathbb {N} }f^{-k}(z),$ est dense dans $J(f)$ .

Ensemble de Julia rempli

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Dans le cas où $f {\displaystyle f}$ est unpolynôme, lepoint à l'infini est toujours unpoint fixe super-attractif. Son bassin d'attraction est l'ensemble des $z\in S$ tel que $\lim _{n\to \infty }|f^{\circ n}(z)|=+\infty$ .L'ensemble de Julia rempli est alors le complémentaire de ce bassin d'attraction ; autrement dit, ce sont les points dont l'orbite est bornée. C'est uncompact, dont lafrontière est l'ensemble de Julia de $f {\displaystyle f}$ ; et lorsqu'il est connexe, il estsimplement connexe.

Polynômes quadratiques

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Étant donnés deuxnombres complexes,c etz₀, définissons lasuite(z_n)par la relation de récurrence : $z_{n+1}=z_{n}^{2}+c.$

Pour une valeur donnée dec, l'ensemble de Julia correspondant est la frontière de l'ensemble des valeurs initialesz₀ pour lesquelles la suite estbornée.En déplaçant le pointc sur le plan complexe, nous pouvons donc imaginer un film sur lequel nous verrions défiler les ensembles de Julia correspondant aux pointsc parcourus.

La définition des ensembles de Julia dans ce cas particulier peut être associée à celle de l'ensemble de Mandelbrot qui est l'ensemble de toutes les valeurs dec pour lesquelles la suite(z_n) est bornée, en prenantz₀ = 0.

L'ensemble de Mandelbrot est un ensemble de paramètresc ayant une propriété particulière pour les ensembles de Julia : en effet, Julia et Fatou ont démontré que pour les pointsc appartenant à l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia correspondant est d'« une seule pièce » c'est-à-dire topologiquementconnexe, et qu'inversement lorsque le pointc traverse la frontière de l'ensemble de Mandelbrot, l'ensemble de Julia se brise en unepoussière de Cantor formée de points non connectés mais dont tout voisinage contient un autre point de l'ensemble. Il y a équivalence entre cette propriété et la définition précédente d'un ensemble de Mandelbrot.

Animations

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Ensemble de Julia oùc varie sur le cercle unité décalé de0,25 + 0,5 i.
Ensemble de Julia oùc varie sur une courbe paramétrique.
Ensemble de Julia oùc varie sur un segment.
Ensemble de Julia oùc varie sur le cercle unité.

Images

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Ensemble de Julia dez² +c avecc = 0,3 + 0,5 i.
Ensemble de Julia pourc = 0,285 + 0,01 i (courbes de niveau du nombre d'itérations).
Le même ensemble avec une coloration différente (nombre d'itérations etpavage selon le secteur d'arrivée).
Détail de l'ensemble de Julia pourc = –1,417022285618
+ 0,0099534 i.
Détail de l'ensemble de Julia pourc = –0,038088
+ 0.9754633 i.
Ensemble de Julia pourc = 0,285 + 0,013 i.
Tracé d'un ensemble de Julia par itération inverse.
Ensembles de Julia dez² +c pour différentes valeurs dec.
Ensemble de Julia rempli pourc = 0,285 + 0,01 i.
Ensemble de Julia rempli pourc = -1,476.
Ensemble de Julia rempli pourc = −0,4 + 0,6 i.
Ensemble de Julia rempli pourc = −0,8+0,156 i.

Notes et références

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↑GastonJulia, « Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles »,J. Math. Pures Appl.,vol. 8,‎1918,p. 47-245(lire en ligne).
↑PierreFatou, « Sur les substitutions rationnelles »,Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris,vol. 164,‎1917,p. 806-808(lire en ligne).
↑Fatou 1917,p. 992-995.
↑a etbPierreFatou, « Sur les équations fonctionnelles »,Bull. Soc. Math. Fr.,vol. 47,‎1919,p. 161-271(lire en ligne).
↑PierreFatou, « Sur les équations fonctionnelles »,Bull. Soc. Math. Fr.,vol. 48,‎1920,p. 33-94(lire en ligne).
↑Fatou 1920,p. 208-314.

Voir aussi

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Page : Ensemble de Julia, surWikimedia Commons

Articles connexes

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Liens externes

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Jean-ChristopheYoccoz, « Ensembles de Julia de mesure positive et disques de Siegel des polynômes quadratiques »,Séminaire Bourbaki,t. 48,‎ 2005-2006,p. 385-402(lire en ligne)
(en)John Milnor,Dynamics in one complex variable, Introductory lectures,1999, 257 p.(ISBN 3-528-03130-1).

Quelques ensemble de Julia surYouTube
Une application html pour générer des ensembles de Julia et voir le lien entre l'ensemble de Mandelbrot et les ensembles de Julia.

v ·m Fractales
Caractéristiques	Dimensions fractales Assouad Minkowski-Bouligand Hausdorff Récursivité Autosimilarité
Système de fonctions itérées	Fougère de Barnsley Ensemble de Cantor Flocon de Koch Éponge de Menger Arbre de Pythagore Tapis de Sierpiński Triangle de Sierpiński Fractale de Vicsek Courbes Blanc-manger Cesàro De Rahm Dragon Dragon d'or Gosper Hilbert Koch Lebesgue Lévy Courbe remplissante courbe de Peano remplissant le flocon de Koch Sierpiński
Attracteur étrange	Multifractale
L-Système	Canopée fractale Courbe remplissante Arbre en H
Création	Burning ship Julia Dendrite Lapin de Douady Liapounov Mandelbrot Multibrot Newton Tricorne (en) Mandelbox Mandelbulb
Techniques derendu photoréaliste	Buddhabrot Piège orbital (en) Trognon de Pickover (en)
Fractalesaléatoires	Mouvement brownien Terrain fractal Théorie de la percolation Chemin auto-évitant
Personnalités	Georg Cantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Lévy Alexandre Liapounov Benoît Mandelbrot Lewis Fry Richardson Wacław Sierpiński
Liste de fractales par dimension de Hausdorff Art fractal La Théorie du chaos (livre)

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