Ladisjonction logique, oudisjonction non exclusive, oudisjonction inclusive, de deuxassertions est une façon d'affirmer qu'au moins une de ces deux assertions est vraie (la première, la deuxième, ou les deux).
Dans le langagelogique oumathématique, et dans les domaines techniques qui l'emploient, elle se traduit par leOU logique, unopérateur logique dans lecalcul des propositions. Laproposition obtenue en reliant deux propositions par cet opérateur s'appelle également leur disjonction ou leursomme logique. La disjonction de deux propositionsP etQ est vraie quand l'une des propositions est vraie, et est fausse quand les deux sont simultanément fausses.
Enthéorie de la démonstration, plus particulièrement dans ladéduction naturelle et lecalcul des séquents, la disjonction est régie par desrègles d'introduction et desrègles d'élimination.
La disjonction de deux termes P et Q s'écrit : et se lit« P ou Q »
Le symbole « » s'appelle connecteur de disjonction. Il est inscrit dans le standardUnicode sous lepoint de code U+2228 (∨), nomméLOGICAL OR (« Ou logique »).
Enlogique classique, l'interprétation du connecteur ∨ peut être faite par unetable de vérité[1].
| P | Q | P ∨ Q |
|---|---|---|
| vrai | vrai | vrai |
| vrai | faux | vrai |
| faux | vrai | vrai |
| faux | faux | faux |
Boole, par analogie étroite avec les mathématiques ordinaires, imposa dans la définition dex +y, la condition d'exclusion mutuelle dex ety.William Jevons, et pratiquement tous les logiciens en mathématiques qui lui succédèrent, préconisèrent pour diverses raisons l'emploi d'une définition de la somme logique ne rendant pas obligatoire l'exclusion mutuelle.
La disjonction que nous avons décrite est unopérateur binaire, ce qui signifie qu'elle combine deux propositions en une seule. Cependant, nous pouvons enchaîner des disjonctions, en considérant par exempleA ∨B ∨C, qui est par définition l'une ou l'autre des deux propositionslogiquement équivalentes (A ∨B) ∨C ouA ∨ (B ∨C). Cette proposition est vraie quand l'une des propositionsA,B, ouC est vraie. L'enchaînement des conjonctions est rendu possible grâce à l'associativité du ∨. L'opérateur est égalementcommutatif ;A ∨B est équivalent àB ∨A.
Tout comme on peut noter lasomme arithmétique d’une série de termes à l’aide d'unsigma majuscule, on peut noter une disjonction (somme logique) d’une série de termes () à l’aide du symbole similaire au connecteur de disjonction mais de grand taille.
La somme logique de la variableai pouri allant dem àn peut ainsi s'écrire :
Icii représente l'indice ;ai est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série ;m est la limite inférieure de l'opération, etn est sa limite supérieure. Le « i = m » sous le symbole signifie que l'indicei débute avec la valeurm. L'indice,i, est incrémenté de 1 à chaqueitération, et s'arrêtant quandi = n.
Ce symbole est inscrit dans le standard Unicode sous le point de code U+22C1 (⋁), nomméN-ARY LOGICAL OR (« Ou logique n-aire »).
SoientP,Q etR trois propositions.
Idempotence du « ou » :
(P ∨P) ⇔P
Commutativité du « ou » :
(P ∨Q) ⇔ (Q ∨P)
Associativité du « ou » :
((P ∨Q) ∨R) ⇔ (P ∨ (Q ∨R))
La négation d'une disjonction est la conjonction des négations :[2]
¬ (P ∨Q) ⇔ ((¬P) ∧ (¬Q))
La négation d'une conjonction est la disjonction des négations :[3]
¬ (P ∧Q) ⇔ ((¬P) ∨ (¬Q))
Distributivité de « ou » par rapport à « et » :
(P ∨ (Q ∧R)) ⇔ ((P ∨Q) ∧(P ∨R))
Distributivité de « et » par rapport à « ou » :
(P ∧ (Q ∨R)) ⇔ ((P ∧Q) ∨ (P ∧R))
La notion correspondante enthéorie des ensembles est la réunion.
On trouve parfois l'expression « et/ou ». C'est uncalque de l’anglaisand/or[4], dont l'usage est soit accepté[4], soit critiqué comme unbarbarismeredondant au motif que le sens serait exactement le même que laconjonction de coordination « ou » toute seule déjà implicitement inclusive[5].
Cependant, dans le langage courant, si le contexte est sansambiguïté, par exemple lorsque nous demandons « prendrez-vous du café ou du thé ? » — on suppose que la personne sollicitée ne prendra pas les deux —, il arrive que « ou » indique une alternative et possède le même sens que « ou bien ». De même avec « fromage ou dessert », le contexte du restaurant sous-entend que l'on ne peut pas avoir les deux.
En cas de contexteambigu, on peut prendre l'initiative de clarifier en reformulant :
| Tautologie |  | |
| Contradiction | ||
