Entopologie algébrique (une branche desmathématiques), lecup-produit est uneopération binaire définie sur lesgroupes de cohomologie qui permet d'assembler des cocycles. Cette opération estgraduée,associative etdistributive, ce qui permet de définir l'anneau de cohomologie. Introduite à l'origine en cohomologie singulière, des constructionsanalogues existent pour différentes théories cohomologiques. Le cup-produit se généralise sous la forme duproduit de Massey (en).

Il n'existe pas de cup-produit enhomologie, mais on peut définir uncap-produit ou invoquer ladualité de Poincaré si la dimension de l'espace convient.

On donne ici la définition pour la cohomologie singulière d'unespace topologiqueX, à coefficients dans unanneau commutatif.

Le cup-produit est une opération

${\displaystyle ⌣:H^p(X)\times H^q(X)\to H^{p+q}(X)}$

correspondant à la composition :${\displaystyle C^{\bullet }(X)\times C^{\bullet }(X)\stackrel{K^{\ast }}{⟶}{C}^{\bullet }(X\times X)\stackrel{{\mathrm{\Delta }}^{\ast }}{⟶}{C}^{\bullet }(X)}$associée auxcomplexes de chaînes deX etX ×X, avecK l'application de Künneth et ladiagonale Δ :X →X ×X.

Le cup-produit d'unep-cochaînec et d'uneq-cochaîned, appliqué à un (p +q)-simplexe singulierσ, est donné par :

${\displaystyle (c⌣d)(\sigma )=c(\sigma \circ {\iota }_{0,1,\dots ,p})\cdot d(\sigma \circ {\iota }_{p,p+1,\dots ,p+q})}$

oùι_S désigne, pour toute partieS de {0, 1, … ,p +q}, leplongementcanonique du simplexe engendré parS dans le (p +q)-simplexe standard.

Pour voir que ce cup-produit de cochaînes définit un cup-produit des classes de cohomologie, il suffit de montrer que les applications de cobord vérifient :${\displaystyle \delta (c⌣d)=\delta c⌣d+(-1{)}^p(c⌣\delta d),}$ce qui montre que le cup-produit de deux cocycles est encore un cocycle, et que le produit d'un cocycle par un cobord est un cobord.

Encohomologie de De Rham, le cup-produit deformes différentielles est induit par leproduit extérieur. En effet, larègle de Leibniz s'écrit${\displaystyle \mathrm{d}(\omega \wedge \eta )=\mathrm{d}\omega \wedge \eta +(-1{)}^p\omega \wedge \mathrm{d}\eta }$et l'on pose${\displaystyle [\omega ]⌣[\eta ]=[\omega \wedge \eta ].}$

Le cup-produit vérifie l'identité suivante, qui fait de l'anneau de cohomologie unanneau graduécommutatif :${\displaystyle {\alpha }^p⌣{\beta }^q=(-1{)}^{pq}({\beta }^q⌣{\alpha }^p)}$C'est une opérationbilinéaire :${\displaystyle (u_1+u_2)⌣v=u_1⌣v+u_2⌣v\text{ et }u⌣(v_1+v_2)=u⌣v_1+u⌣v_2}$et associative :${\displaystyle \alpha ⌣(\beta ⌣\gamma )=(\alpha ⌣\beta )⌣\gamma .}$

Il s'agit d'une opération naturellementfonctorielle, en ce que pour toute applicationcontinuef,${\displaystyle f^{\ast }(\alpha ⌣\beta )=f^{\ast }\alpha ⌣f^{\ast }\beta .}$

SiX₁ etX₂ sont deux espaces topologiques, et${\displaystyle p_i:X_1\times X_2\to X_i}$ les deux projections canoniques, on peut définir uncup-produit externe

Enthéorie des nœuds, lenombre d'enlacement correspond à un cup-produit non nul dans lecomplément d'un nœud. D'une manière générale, les produits de Massey —opérations cohomologiques (en) d'arités supérieures — sont en lien avec lesinvariants de Milnor (en).

(en)Allen Hatcher,Algebraic Topology, New York,CUP,2001, 544 p.(ISBN 978-0-521-79540-1,lire en ligne)

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