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L'homologie est une technique générale en mathématiques qui sert à mesurer l'obstruction qu'ont certainessuites demorphismes à êtreexactes. Elle intervient dans de nombreux domaines comme l'algèbre, latopologie algébrique, lagéométrie algébrique ou lagéométrie différentielle.

Uncomplexe de chaînes est la donnée d'une suite degroupes abéliens ou plus généralement d'objets d'unecatégorie abélienne${\displaystyle M_i}$ et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de bord${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_i:M_i\to M_{i-1}}$, telle que :${\displaystyle {\mathrm{\partial }}_i{\mathrm{\partial }}_{i+1}=0}$. Les éléments de${\displaystyle M_i}$ s'appellent des chaînes de degré${\displaystyle i}$. Les éléments du noyau${\displaystyle \ker {\mathrm{\partial }}_i}$ s'appellent des cycles. Les éléments de l'image${\displaystyle Im{\mathrm{\partial }}_{i+1}}$ s'appellent des bords. Tout bord est un cycle.Lesgroupes d'homologie du complexe${\displaystyle M_{\ast }}$ sont alors, par définition :${\displaystyle H_i(M_{\ast },{\mathrm{\partial }}_{\ast })=\ker {\mathrm{\partial }}_i/Im{\mathrm{\partial }}_{i+1}}$.

Uncomplexe de cochaînes est la donnée d'une suite degroupes abéliens ou plus généralement d'objets d'unecatégorie abélienne${\displaystyle M^i}$ et d'une famille d'homomorphismes, appelés opérateurs de cobord${\displaystyle {\mathrm{\partial }}^i:M^i\to M^{i+1}}$, telle que :${\displaystyle {\mathrm{\partial }}^i{\mathrm{\partial }}^{i-1}=0}$ . Les éléments de${\displaystyle M^i}$ s'appellent des cochaînes de degré${\displaystyle i}$. Les éléments du noyau${\displaystyle \ker {\mathrm{\partial }}^i}$ s'appellent des cocycles. Les éléments de l'image${\displaystyle Im{\mathrm{\partial }}^{i-1}}$ s'appellent des cobords. Tout cobord est un cocycle.Lesgroupes de cohomologie du complexe${\displaystyle M^{\ast }}$ sont alors, par définition :${\displaystyle H^i(M^{\ast },{\mathrm{\partial }}^{\ast })=\ker {\mathrm{\partial }}^i/Im{\mathrm{\partial }}^{i-1}}$.

On remarque que si${\displaystyle M^{\ast }}$ est un complexe de cochaînes, on obtient un complexe de chaînes en posant${\displaystyle M_i=M^{-i}}$. Cependant les deux terminologies existent car il peut être désagréable de modifier l'indexation.

Par exemple, si${\displaystyle (M_{\ast },{\mathrm{\partial }}_{\ast })}$ est un complexe de chaînes de groupes abéliens, posons${\displaystyle M^i=\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(M_i,\mathbf{Z})}$ et${\displaystyle {\mathrm{\partial }}^i=({\mathrm{\partial }}_{i+1}{)}^{\ast }}$ (l'application transposée). Alors${\displaystyle (M^{\ast },{\mathrm{\partial }}^{\ast })}$ est un complexe de cochaînes.

À tout espace topologique, on peut associer son complexe de chaînes singulières et donc sonhomologie singulière.Du point de vue de lathéorie des catégories, l'homologie peut être vue comme unfoncteur de la catégorie desespaces topologiques vers la catégorie desgroupes abéliens gradués.

On peut remplacer les groupes abéliens par des modules sur unanneau commutatif.

Chaque théorie homologique mérite à elle seule un article. La liste suivante n'est pas exhaustive.

• Homologie singulière - Homologie associée à toutespace topologique
• Homologie cellulaire - Homologie associée à toutCW-complexe
• Homologie de Borel-Moore (en) - Homologie associée à toutespace localement compact
• Cohomologie de De Rham - Cohomologie associée à toutevariété différentielle
• Cohomologie de Dolbeault - Généralisation de la précédente auxvariétés complexes.
• Cohomologie galoisienne
• Cohomologie d'Alexander-Spanier
• Homologie simpliciale
• Cohomologie étale
• Homologie de Morse
• Homologie de Floer
• Cohomologie de Čech
• Homologie de Hochschild – Homologie associée à toute algèbre associative
• Cohomologie de Spencer
• Homologie cyclique – Homologie associée à toute algèbre associative
• Cohomologie cyclique – Le dual de la précédente
• Cohomologie des algèbres de Lie (en)
• Homologie des groupes
• Cohomologie des groupes profinis
• Cohomologie des faisceaux

• (en)WilliamFulton,Algebraic Topology : A First Course,Springer,coll. « GTM » (n^o 153),1995, 430 p.(ISBN 978-0-387-94327-5,lire en ligne)
• AlexandruDimca,Sheaves in topology, Berlin,Springer-Verlag,coll. « Universitext »,2004, 236 p.(ISBN 978-3-540-20665-1,MR 2050072,lire en ligne)

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