Enmathématiques, et plus précisément engéométrie, lescercles de Villarceau sont deuxcercles obtenus en sectionnant untore selon unplan diagonal bitangent qui passe par le centre du tore. Ils tiennent leur nom de l'astronome etmathématicien françaisYvon Villarceau (1813–1883).
Étant donné un point du tore, on peut construire sur le tore quatre cercles passant par ce point : un dans le plan du tore, un autre perpendiculairement à ce plan ; les deux autres sont les cercles de Villarceau.
Dans un tore de centreO, d'axeOz et de paramètresR etr, les plans bitangents au tore ont pour équation :r cosθ x +r sinθ y +ε√R2 –r2 z = 0 oùε peut valoir +1 ou –1 et oùθ est un réel quelconque.
Un tel plan coupe le tore en deux cercles de rayon R et de centres de coordonnées(–r sinθ ,r cosθ , 0) et(r sinθ , –r cosθ, 0).
Ces résultats s'obtiennent en travaillant d'abord pour des plans contenant l'axe des y dont les équations sontrx +ε√R2 –r2 z = 0 qui coupent le tore en des cercles de rayon R et de centres de coordonnées(0 ,r , 0) et(0, –r, 0)[1], puis en utilisant les propriétés d'invariance par rotation du tore pour les autres cercles de Villarceau.
Prenons untore de paramètresR = 5 etr = 3 et d'axeOz :
En sectionnant par le plan d'équationz = 0, on obtient deux cercles concentriques, d'équationsx2+y2 = 22 etx2+y2 = 82.
En sectionnant par le plan d'équationx = 0, on obtient deux cercles côte à côte, d'équations (y−5)2+z2 = 32 et (y+5)2+z2 = 32.
Deux cercles de Villarceau peuvent être obtenus en sectionnant par le plan d'équation 3x = 4z. Le premier est centré en (0, +3, 0), le second en (0, −3, 0) - les deux ont 5 pour rayon. On peut en donner les paramétrages suivants :
Le plan est choisi pour être tangent au tore tout en passant par son centre. Ici, il est tangent en (16⁄5, 0, 12⁄5) et en (−16⁄5, 0, −12⁄5). L'angle de découpe est unique, déterminé par les paramètres du tore.
Le tore joue un rôle important dans lafibration de Hopf. La sphèreS3 est vue comme unespace fibré, de base la sphère traditionnelleS2, et avec les cercles usuelsS1 pour fibres. Parprojection stéréographique on peut représenter cette figure dans un espace euclidien de dimension 3, à l'exception d'un point qui est envoyé à l'infini (le cercle deS3 correspondant devient un axe deR3). On considère un parallèle de la sphèreS2 ; son image réciproque (dansR3) par la projection de Hopf est un tore. Les fibres en sont des cercles de Villarceau.
Thomas Banchoff[2] a pu analyser un tel tore à l'aide d'imagerie informatique.
