Unanneau (unitaire) commutatif est unanneau (unitaire) dans lequel laloi de multiplication estcommutative.
L’étude des anneaux commutatifs s’appelle l’algèbre commutative.
Unanneau commutatif est unanneau (unitaire) dans lequel laloi de multiplication estcommutative[1].
Dans la mesure où les anneaux commutatifs sont desanneaux particuliers, nombre deconcepts de théorie générale des anneaux conservent toute leur pertinence et leur utilité en théorie des anneaux commutatifs : ainsi ceux demorphismes d'anneaux, d'idéaux et d'anneaux quotients, desous-anneaux, d'éléments nilpotents[2]. Il est simplement inutile de distinguer idéaux à gauche et à droite : les idéaux sont systématiquement bilatères et permettent la définition de quotients.
Un élément non nula d’un anneau commutatif est appelé undiviseur de zéro, lorsqu’il existe un élément non nulb de l’anneau tel queab = 0. Un élémenta d’un anneau commutatif est appelé uninversible (ou uneunité) lorsqu’il possède unsymétrique pour la multiplication, c’est-à-dire quand il existe un élément deb de l’anneau tel queab = 1. Un élément inversible n'est jamais un diviseur de zéro.
Un anneau commutatif non réduit à {0} qui ne possède aucun diviseur de zéro est appelé unanneau intègre[3].
L'absence de diviseurs de zéro rend peut-être la multiplication sur un anneau intègre plus proche de l'intuition issue de la fréquentation des entiers. Il pourra être utile au lecteur novice de jeter un coup d'œil à l'article « Anneau intègre » avant de passer à la prochaine section, la suite de cet article traitant seulement des questions qui font sens dans un anneau contenant d'éventuels diviseurs de zéro.
Comme en théorie générale des anneaux commutatifs, la manipulation desidéaux joue un rôle important dans l'étude des anneaux intègres ; en étendant à d'autres cadres les techniques d'arithmétiques rodées sur les entiers. On est amené à définir lesanneaux principaux comme ceux dont tout idéal est unidéal principal ainsi que d'autres classes importantes d'anneaux intègres (anneaux factoriels,anneaux euclidiens,...).
On appellecorps commutatif un anneau commutatif non réduit à {0} dans lequel tous les éléments non nuls sont inversibles. Les corps commutatifs sont donc des anneaux intègres particulièrement simples : un corps commutatif n'a que deux idéaux, lui-même et {0}[3].
De la même façon qu'on peutplonger l'anneauZ des entiers dans le corpsQ des rationnels, ou l'anneauR[X] des polynômes réels dans le corpsR(X) desfractions rationnelles, tout anneau intègre se plonge dans un corps commutatif qui lui est associé. Cette opération est un cas particulier simple de lalocalisation traitée plus bas dans le cadre plus général des anneaux pouvant contenir des diviseurs de zéro.
SoitA anneau commutatif. UnidéalP deA est appelé unidéal premier lorsque l'anneau-quotientA/P est intègre. Cette condition équivaut à la condition suivante :P est une partie stricte deA et, pour tousx,y deA, quand le produitxy est dansP, alorsx appartient àP ouy appartient àP[4].
On montre que l'intersection de tous les idéaux premiers est égale à l'ensemble desnilpotents deA (et on l'appelle lenilradical deA)[5].
Un anneau est ditréduit lorsqu'il n'a pas de nilpotents (hormis 0).
SoitA anneau commutatif. Un idéalM deA est appelé unidéal maximal lorsque l'anneau-quotientA/M est un corps.Cette condition équivaut à la condition suivante :M est unélément maximal dans l'ensemble des idéaux autres queA,ordonné par l'inclusion[4].
Unthéorème de Krull assure que tout idéal propre (i.e. différent deA) est contenu dans au moins un idéal maximal.
La localisation est une technique de construction qui généralise la construction ducorps des fractions d'un anneau intègre.
SiB est un sous-ensemble d’un anneau commutatifA, qui n’a aucundiviseur de zéro et qui est stable pour la multiplication, c’est-à-dire tel le produit de deux éléments quelconques deB appartienne àB, alors l’ensemble des fractions formelles (a,b) oùa est un élément quelconque deA etb est un élément quelconque deB forme un nouvel anneau commutatif; l’addition, la soustraction, la multiplication et l’égalité étant définies sur ce nouvel ensemble de la même façon que pour les fractions ordinaires. Le nouvel anneau est notéAB et est appelé lalocalisation deA àB.
Un exemple illustrant ce qui précède est la localisation de l’anneau des nombres entiers au sous-ensemble des nombres entiers impairs stable par multiplication. Le corps des nombres rationnels est la localisation de l’anneau commutatif des nombres entiers à l’ensemble stable par multiplication de nombres entiers non nuls.
Selon les propriétés des idéaux d'un anneau A, on distingue des familles d'anneaux particuliers comme :
Ces anneaux s'organisent selon une hiérarchie dont le schéma ci-dessous donne une idée partielle. La hiérarchie verticale va de l'anneau le plus général à l'anneau le plus particulier, chaque flèche descendante indique une filiation. On remarque que l'anneau possédant le plus de propriétés analogues à celles deZ est l'anneau euclidien. Ne figure pas sur ce schéma le corps qui est un cas particulier d'anneau euclidien.
| Pseudo-anneau commutatif | |||||||||||||||||||||||||||
| Anneau commutatif unitaire | |||||||||||||||||||||||||||
| Anneau noethérien commutatif | Anneau intègre | ||||||||||||||||||||||||||
| Anneau artinien commutatif | Anneau intégralement clos | ||||||||||||||||||||||||||
| Anneau à PGCD intègre | |||||||||||||||||||||||||||
| Anneau de Dedekind | Anneau factoriel | Anneau de Bézout intègre | |||||||||||||||||||||||||
| Anneau principal | |||||||||||||||||||||||||||
| Anneau euclidien | |||||||||||||||||||||||||||
SiI est un idéal d’un anneau commutatifA, les puissances deI forment un voisinage topologique de0 ce qui permet àA d’être considéré comme unanneau topologique.A peut être complété en conservant cette topologie. Par exemple, si est un corps,, l’anneau desséries formelles en une indéterminée à coefficients dans, est lecomplété de l’anneau des polynômes à coefficients dans, sous la topologie produite par les puissances de l'idéal engendré parX.
| Pures |
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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Enrichies |
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