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Analyse vectorielle

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L'analyse vectorielle est une branche desmathématiques qui étudie leschamps descalaires et devecteurs suffisamment réguliers desespaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'unouvert d'un espace euclidienE à valeurs respectivement dansR{\displaystyle \mathbb {R} } et dansE. Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de lagéométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et une analyse plus concise entre autres des champs de vecteurs.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive enphysique et dans lessciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue qu'elle sera présentée dans l'article, et c'est pourquoi elle sera le plus souvent limitée au cas oùE=R3{\displaystyle E=\mathbb {R} ^{3}} est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre, unchamp de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'unchamp de scalaires y associe un réel. Par exemple, dans le cas de l'eau d'un lac, la donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, et celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs (pour une approche plus théorique, voirGéométrie différentielle).

Le calcul vectoriel et l'analyse vectorielle furent développés à la fin duXIXe siècle parJ. Willard Gibbs etOliver Heaviside à partir de la théorie desquaternions (due àHamilton) ; la plupart des notations et de la terminologie furent établies par Gibbs etEdwin Bidwell Wilson dans leur livre de 1901,Vector Analysis (Analyse vectorielle).

Principaux opérateurs différentiels linéaires

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Legradient, ladivergence et lerotationnel sont les trois principaux opérateurs différentielslinéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que desdérivées partielles (oudifférentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, dulaplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre.

On les rencontre en particulier :

Opérateur formelnabla

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Article détaillé :Nabla.

L'opérateurnabla∇{\displaystyle \nabla } tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle pointant vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} défini en coordonnées cartésiennes par :

∇=(∂∂x∂∂y∂∂z){\displaystyle \nabla ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\[7pt]{\frac {\partial }{\partial y}}\\[7pt]{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}}.

On écrit aussi∇→{\displaystyle {\vec {\nabla }}} pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on utilise ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme desopérations en attente d'argument — desopérateurs différentiels) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notationnabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels encoordonnées cartésiennes ; dans d'autres systèmes de coordonnées, elle est encore utilisable au prix de précautions supplémentaires ; pour plus de précisions, et des interprétations plus théoriques (en particulier la relation avec ladérivée covariante), voir les articles détaillésNabla etConnexion de Koszul.

Opérateur différentiel gradient

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Article détaillé :Gradient.

Legradient est un opérateur linéaire qui s'applique à unchamp de scalaires et décrit unchamp de vecteurs qui représente la variation de la valeur du champ scalaire dans l'espaceE considéré. Concrètement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire et l'intensité de cette variation. Par exemple, sur une surface définie par l'équation réduitez =f(x,y), oùf:E=R2→R{\displaystyle f:E=\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } est une applicationdifférentiable, le gradient de l'altitude est dirigé selon la composantehorizontale de la ligne de plus grande pente (montante), et sa norme augmente avec la pente.

  • En mathématiques, pour un champ scalairef différentiable, le gradient def au pointa est défini par la relation :
Pour tout vecteurh,
df(a)(h)=(grad→af)⋅h,{\displaystyle \quad \mathrm {d} f(a)\left(h\right)=\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\cdot h,}
oùdf(a) (h) désigne la valeur sur le vecteurh de ladifférentielle de la fonctionf au pointa.
C'est donc ladéfinition de l'application linéaire tangente du champ scalairef(M) enM =a.
  • On en déduit facilement[1] que :
En dimension 3, levecteur normal ena=(xa,ya,za){\displaystyle a=(x_{a},y_{a},z_{a})} à la surface d'équationf(x,y,z) =C, oùC est une constante, est donné par :
grad→af.{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f.}
  • Il en résulte immédiatement[2] que :
Pour tout vecteurv, ladérivée directionnelle∂f∂v(a){\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial v}}(a)} de la fonctionfsuivant le vecteurv au pointa est donnée par :
(grad→af)⋅v=(∇→f(a))⋅v=df(a)(v).{\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\cdot v=\left(\!{\vec {\nabla }}f(a)\!\right)\cdot v=\mathrm {d} f(a)\left(v\right).}
  • En dimension 3 et coordonnées cartésiennes (enbase orthonormée), le champ de gradients vérifie :
grad→ f=∇→f=(∂f∂x∂f∂y∂f∂z).{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ f={\vec {\nabla }}f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}\\{\frac {\partial f}{\partial y}}\\{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}.}
Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension quelconque, en ajoutant des composantes au nabla.

Application linéaire tangente d'un champ de vecteurs

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SoitM' le point translaté deM par la translation de vecteurh→{\displaystyle {\vec {h}}} ; alors :

F(→M′)−F→(M)=(∂F→^)M⋅h→+o(‖h→‖){\displaystyle {\vec {F(}}M')-{\vec {F}}(M)=({\widehat {\partial {\vec {F}}}})_{M}\cdot {\vec {h}}+o(\|{\vec {h}}\|)}

définit l'opérateur linéaire noté par un chapeau pour signifier que sa représentation dans une base est une matrice carrée [3-3], application linéaire tangente du champ de vecteursF(M).

Le déterminant de cet opérateur est le Jacobien de la transformation qui àM associeF(M).

Sa trace définira la divergence du champ de vecteursF(M).

Cela permettra de donner du rotationnel du champ de vecteursF(M) une définition intrinsèque.

On pourra vérifier que symboliquement :

(∂F→^)M⋅h→=(h→⋅∇→)F→{\displaystyle ({\widehat {\partial {\vec {F}}}})_{M}\cdot {\vec {h}}=({\vec {h}}\cdot {\vec {\nabla }}){\vec {F}}}

Opérateur divergence

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Article détaillé :Divergence (analyse vectorielle).

La divergence s'applique à un champ de tenseurs d'ordren et le transforme en un champ de tenseurs d'ordren-1. Pratiquement, la divergence d'un champ de vecteurs exprime sa tendance à fluer localement hors d'un petit volume entourant le pointM où est calculée la divergence.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, siF→{\displaystyle {\vec {F}}} est un tenseur d'ordre 1, alors c'est un vecteur et on peut définir la divergence par la relation

divF→=∇→⋅F→=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂z{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\cdot {\vec {F}}={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}}

oùF→=(Fx,Fy,Fz){\displaystyle {\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})} désigne le champ de vecteurs auquel est appliqué l'opérateur divergence. La divergence peut être vue, formellement, comme le produit scalaire de l'opérateur nabla par le vecteur « générique » du champ auquel elle est appliquée, ce qui justifie la notation∇→⋅{\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot }. Bien entendu, cette définition se généralise naturellement en dimension quelconque.

La définition indépendante du choix de la base est :

divF→=Tr(∂F→^){\displaystyle \mathrm {div} {\vec {F}}={\mbox{Tr}}({\widehat {\partial {\vec {F}}}})}.

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir la divergence d'un champ de vecteurs en un point comme le flux local du champ autour de ce point.

Opérateur rotationnel

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Article détaillé :Rotationnel.

Le rotationnel transforme unchamp de vecteurs en un autrechamp de vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petitlacet entourant le point M est non nulle. Par exemple :

Dans un espace à 3 dimensions et en coordonnées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation

rot→ F→=∇→∧F→=(∂Fz/∂y−∂Fy/∂z∂Fx/∂z−∂Fz/∂x∂Fy/∂x−∂Fx/∂y){\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {F}}={\vec {\nabla }}\wedge {\vec {F}}={\begin{pmatrix}{\partial F_{z}/\partial y}-{\partial F_{y}/\partial z}\\{\partial F_{x}/\partial z}-{\partial F_{z}/\partial x}\\{\partial F_{y}/\partial x}-{\partial F_{x}/\partial y}\end{pmatrix}}}

oùF→=(Fx,Fy,Fz){\displaystyle {\vec {F}}=(F_{x},F_{y},F_{z})} désigne le champ de vecteurs auquel est appliqué l'opérateur rotationnel. L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la notation∇→∧{\displaystyle {\vec {\nabla }}\wedge }.

Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation (c'est aussi une astuce mnémotechnique), à l'aide d'un déterminant :

rot→ F→=|i→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFxFyFz|{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\vec {F}}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}

où(i→,j→,k→){\displaystyle ({\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}})} désigne la base canonique. Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées.

  • Une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante :

À partir du champF→{\displaystyle {\vec {F}}}, on peut construire le champX0→∧F→{\displaystyle {\vec {X_{0}}}\wedge {\vec {F}}} (oùX0→{\displaystyle {\vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) dont la divergence est une forme linéaire deX0→{\displaystyle {\vec {X_{0}}}} et donc exprimable par un produit scalaireK→⋅X0→{\displaystyle {\vec {K}}\cdot {\vec {X_{0}}}}, oùK→{\displaystyle {\vec {K}}} est l'opposé du rotationnel deF→{\displaystyle {\vec {F}}} :

div(X0→∧F→)=−rot→F→⋅X0→{\displaystyle \mathrm {div} ({\vec {X_{0}}}\wedge {\vec {F}})=-{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}{\vec {F}}\cdot {\vec {X_{0}}}}.

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point.

Opérateurs d'ordre supérieur

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Opérateur laplacien

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Le plus utilisé des opérateurs d'ordre 2 est lelaplacien, du nom dumathématicienPierre-Simon de Laplace. Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées secondes de ce champ par rapport à chacune des variables.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, il s'écrit :

Δ=∇2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}}.

Cette définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que pour un champ de vecteurs. On parle respectivement delaplacien scalaire et delaplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ de scalaires est un champ de scalaires alors que le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Pour distinguer ce dernier, on le note parfoisΔ→{\displaystyle \operatorname {\vec {\Delta }} } (afin que les novices n'oublient pas qu'il s'agit de l'opérateurgrad→ div−rot→ rot→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}\ \mathrm {div} -{\overrightarrow {\mathrm {rot} }}\ {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}}) ; la notationΔ→{\displaystyle {\vec {\Delta }}} est plutôt à déconseiller.

L'autre notation du laplacien qui apparaît ci-dessus,∇2{\displaystyle \nabla ^{2}}, invite à le considérer, formellement, comme le carré scalaire de l'opérateur nabla « ∇{\displaystyle \nabla } ».

Le laplacien apparaît dans l'écriture de plusieurséquations aux dérivées partielles qui jouent un rôle essentiel en physique.

Opérateur laplacien vectoriel

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Lelaplacien d'un champ de vecteursA→{\displaystyle {\vec {A}}} est un vecteur défini par le laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel, ainsi encoordonnées cartésiennes, il est défini par :

Δ→⁡A→=∇→2⁡A→=(∇→.∇→)A→=(∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2).[AxAyAz]=[∂2Ax∂x2+∂2Ax∂y2+∂2Ax∂z2∂2Ay∂x2+∂2Ay∂y2+∂2Ay∂z2∂2Az∂x2+∂2Az∂y2+∂2Az∂z2]=[ΔAxΔAyΔAz]{\displaystyle \operatorname {\vec {\Delta }} {\vec {A}}=\operatorname {{\vec {\nabla }}^{2}} {\vec {A}}=(\operatorname {\vec {\nabla }} .\operatorname {\vec {\nabla }} ){\vec {A}}=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right).{\begin{bmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{x}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{y}}{\partial z^{2}}}\\{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\Delta A_{x}\\\Delta A_{y}\\\Delta A_{z}\end{bmatrix}}}

Le laplacien vectoriel est présent :

Quelques formules différentielles

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Attention : les formules suivantes sont valables à condition que certaines hypothèses soient vérifiées (la fonction scalaire dans la première formule doit êtreC2(Ω){\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\Omega )}, oùΩ⊂R{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} }, par exemple. De même, sif→{\displaystyle {\vec {f}}} désigne la fonction vectorielle concernée dans la seconde formule, il faut vérifierf→∈C2(Ω){\displaystyle {\vec {f}}\in {\mathcal {C}}^{2}(\Omega )},Ω⊂Rn{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}.)

Formules dites de Leibniz pour les produits

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Quelques formules utiles

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(oùX0→{\displaystyle {\vec {X_{0}}}}est un vecteur uniforme), et

rot→(rot→)(X0→/r)=+4π⋅X0→⋅δ(r)⋅(2/3){\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\overrightarrow {\mathrm {rot} }})({\vec {X_{0}}}/r)=+4\pi \cdot {\vec {X_{0}}}\cdot \delta (r)\cdot (2/3)}

(oùX0→{\displaystyle {\vec {X_{0}}}} est un vecteur uniforme) ce qui est moins évident (cf.moment magnétique).

Expressions des opérateurs en différentes coordonnées

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Coordonnées cylindriques

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grad→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+∂f∂zuz→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {u_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {u_{\theta }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\vec {u_{z}}}}
divA→=1r∂∂r(rAr)+1r∂Aθ∂θ+∂Az∂z{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rA_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}}
rot→(A→)=(1r∂Az∂θ−∂Aθ∂z)ur→+(∂Ar∂z−∂Az∂r)uθ→+1r(∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ)uz→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})=\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \theta }}-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial z}}\right){\vec {u_{r}}}+\left({\frac {\partial A_{r}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial r}}\right){\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\vec {u_{z}}}}
Δf=1r∂∂r(r∂f∂r)+1r2∂2f∂θ2+∂2f∂z2{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}

Coordonnées sphériques

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grad→f=∂f∂rur→+1r∂f∂θuθ→+1rsin⁡θ∂f∂φuφ→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {grad} }}f={\frac {\partial f}{\partial r}}{\vec {u_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}{\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\vec {u_{\varphi }}}}
divA→=1r2∂∂r(r2Ar)+1rsin⁡θ∂∂θ(sin⁡θAθ)+1rsin⁡θ∂Aφ∂φ{\displaystyle \mathrm {div} {\vec {A}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}}
rot→(A→)=1rsin⁡θ(∂∂θ(sin⁡θAφ)−∂Aθ∂φ)ur→+(1rsin⁡θ∂Ar∂φ−1r∂∂r(rAφ))uθ→+1r(∂∂r(rAθ)−∂Ar∂θ)uφ→{\displaystyle {\overrightarrow {\mathrm {rot} }}({\vec {A}})={\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\varphi })-{\frac {\partial A_{\theta }}{\partial \varphi }}\right){\vec {u_{r}}}+\left({\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial A_{r}}{\partial \varphi }}-{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\varphi })\right){\vec {u_{\theta }}}+{\frac {1}{r}}\left({\frac {\partial }{\partial r}}(rA_{\theta })-{\frac {\partial A_{r}}{\partial \theta }}\right){\vec {u_{\varphi }}}}
Δf=1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂f∂θ)+1r2sin2⁡θ∂2f∂φ2{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}}

Annexes

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Bibliographie

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Références

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  1. ↑Pour tout vecteurh,f(a+h)−f(a)=(grad→af)⋅h+o(‖h‖).{\displaystyle \quad f(a+h)-f(a)=\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\!\!\cdot \!h+o{\big (}\|h\|{\big )}.}
    Or, pour tout vecteurh tel queM(a+h) ∈ surface,f(a+h) =C ;
    doncf(a+h) −f(a) = 0 ; donc(grad→af)⋅h=o(‖h‖).{\displaystyle \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\cdot h=o{\big (}\|h\|{\big )}.}
  2. ↑Il y a plusieurs définitions non équivalentes entre elles d'une dérivée directionnelle.
    Explication seulement pour tout vecteurunitaireu (fixé) :
    Pour tout vecteurh,f(a+h)−f(a)=(grad→af)⋅h+o(‖h‖).{\textstyle \quad f(a+h)-f(a)=\left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\!\!\cdot \!h+o{\big (}\|h\|{\big )}.}
    Or, pour tout réelt,(grad→af)⋅(tu)=((grad→af)⋅u)t ;{\textstyle \quad \left({\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f\!\right)\!\cdot \!(tu)=\left(\!\!{\bigg (}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f{\bigg )}\!\cdot \!u\!\right)\!t\ ;}
    doncf(a+tu)−f(a)=((grad→af)⋅u)t+o(|t|).{\textstyle f(a+tu)-f(a)=\left(\!\!\!{\big (}{\overrightarrow {\mathrm {grad} }}_{a}f{\big )}\!\cdot \!u\!\right)\!t+o{\big (}|t|{\big )}.}

Articles connexes

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v ·m
Objets d'étudeChamp vectoriel
Opérateurs
Théorèmes
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