Dieser Artikel behandelt den mathematischen Begriff Zahl. Zu anderen Bedeutungen sieheZahl (Begriffsklärung).
Übersicht über einige gängige Zahlbereiche. bedeutet, dass die Elemente des Zahlbereiches unter Beibehaltung wesentlicher Beziehungen auch als Elemente des Zahlbereichs aufgefasst werden können.Echte Klassen sind in blau markiert.
Zahlen sindabstraktemathematische Objekte beziehungsweise Objekte des Denkens, die sich historisch aus Vorstellungen von Größe und Anzahl entwickelten. Die Zahlen beruhen auf derAbzählbarkeit von Objekten, deren Unterscheidbarkeit naturgegeben ist. Durch eineMessung wird ein als Größe verstandener Aspekt einerBeobachtung mit einer Zahl in Verbindung gebracht, beispielsweise bei einerZählung. Sie spielen daher für dieempirischen Wissenschaften eine zentrale Rolle.[1]
In derMathematik, die Zahlen und ihre Struktur formal untersucht, schließt der Begriff verschiedenartige Konzepte mit ein. Diese entwickelten sich als Verallgemeinerungen bestehender intuitiver Zahlkonzepte, so dass man sie ebenfalls alsZahlen bezeichnet, obwohl sie wenig Bezug zu den ursprünglich mit Messungen verbundenen Konzepten haben. Manche dieser Konzepte sind in der Mathematik von grundlegender Bedeutung und finden Verwendung in nahezu allenTeilgebieten.
In dieUrgeschichte zurück reicht das Konzept dernatürlichen Zahlen, die zum Zählen verwendet werden können und grundlegende Bedeutung besitzen. Bereits dieNeandertaler schufen vor ca. 68.000 Jahren in Höhlen abstrakte Zahldarstellungen (zwei senkrechte Striche bzw. rot markierte Finger von Stalagmiten-Händen[2]). Ab etwa 2000 v. Chr. rechnetenÄgypter undBabylonier mitBruchzahlen (rationalen Zahlen). InIndien entwickelte sich im 7. Jahrhundert n. Chr. ein Verständnis derNull und dernegativen Zahlen.[3]Irrationale Zahlen wie oder, deren Notwendigkeit sich aus Erkenntnissen aus demantiken Griechenland ergab (spätestens ab dem 4. Jahrhundert v. Chr.), wurden in derBlütezeit des Islam eingeführt.
Die Ideeimaginärer Zahlen, durch die diereellen Zahlen später zu den bedeutendenkomplexen Zahlen erweitert wurden, reicht in die europäischeRenaissance zurück. Der Begriff der reellen Zahl konnte erst im 19. Jahrhundert hinreichend geklärt werden. Ende des 19. Jahrhunderts konnte erstmals auchunendlichen Größen ein präziser Sinn als Zahlen gegeben werden. Auch wurden erstmals die natürlichen Zahlenaxiomatisch definiert. Mit den Anfang des 20. Jahrhunderts geschaffenen ersten zufriedenstellendenGrundlagen der Mathematik erfuhren auch die bedeutendsten Zahlbegriffe eine dem heutigen Stand entsprechende vollständig formale Definition und Bedeutung.
Vom Begriff derZahl abzugrenzen sindZiffern (spezielleZahlzeichen; zur Darstellung bestimmter Zahlen verwendeteSchriftzeichen),Zahlschriften (Schreibweisen von Zahlen z. B. mit Hilfe von Ziffern unter Verwendung bestimmter Regeln),Zahlwörter (Numerale, zur Benennung bestimmter Zahlen verwendeteWörter) undNummern (Identifikatoren, die selbst Zahlen, oder aber – in der Regel Ziffern enthaltende –Zeichenketten sein können).
Das deutsche WortZahl geht vermutlich auf dasurgermanische Wort*talō (Berechnung,Zahl,Rede)[4][5] zurück, das vermutlich Wurzel deralthochdeutschen Wörterzala (Ordnung,geordnete Darlegung,Bericht,Aufzählung)[6] undzalōn (berichten,rechnen,zählen,[6]berechnen,zahlen[7]) ist. Auszala wurde imMittelhochdeutschenzale oderzal,[6] auf das das heutige WortZahl zurückgeht.
Das urgermanische Wort findet seinen Ursprung vermutlich in einemurindogermanischenEtymon*del- (zielen,berechnen,nachstellen).[7][4] Auch ein Zusammenhang mit dem urindogermanischen*del- (spalten)[7] ist möglich; die ursprüngliche Bedeutung wäre dann möglicherweise „eingekerbtes Merkzeichen“.[8][9]
12500 Jahre alter, gekerbter Zählknochen aus derGrotte de Thais im französischenVercors (Musée deValence, Art et Archéologie)
Über dasZahlenverständnis von Menschen in der Zeit vor einer ersten schriftlichen Überlieferung lässt sich wegen fehlender Belege kaum Sicheres sagen. Die Bedeutung regelmäßiger Anordnungen von Strichen oder Kerben, die sich aus dieser Zeit erhalten haben, kann in der Regel nur vermutet werden.
Hinweise zurVorstellung von Zahlen in einer vorgeschichtlichenKultur können hingegen die jeweiligen Sprachen möglichst früher, geschichtlich dokumentierter Nachfolgerkulturen oder auch heute noch existierende, verwandte Sprachen sowie die bekannten Sprachen von alten, ähnlichen Kulturen geben. Durch systematische Vergleiche verschiedener Sprachen können Übereinstimmungen und Unterschiede zwischen diesen festgestellt werden, so dass die Eigenheiten jeder Sprache und Sprachgruppe ermittelt sowie gemeinsame oder verschiedene Herkünfte in gewissem Umfang gefunden werden können. So ergeben sich auch bei den Zahlwörtern Strukturen, die Rückschlüsse auf das Zahlenverständnis erlauben.[10]
Der fundamentale und überall in menschlichen Sprachen erkennbare Zahlbegriff – die Vorstellung von Zahlen – ist der von der unterschiedlich großen Anzahl bzw. Menge bestimmter Gegenstände, was am ehesten in der heutigen Mathematik dem Begriff derKardinalzahl entspricht.[11] Am Anfang wird wohl der elementare Gegensatz von Einzahl undMehrzahl gestanden haben, dem die weitere Aufteilung der Mehrzahl folgte.[12] In der Sprache derPirahã in Brasilien etwa sind lediglich drei oder sogar nur zwei Wörter („wenig“ und „viel“) für relative Größenangaben bekannt.[13] Versuche, manchen Vertretern dieses Volkes das Zählen beizubringen, schlugen fehl.[14] Es gibt auchethnologische Berichte über ein Volk in Südafrika und von vielen Völkern australischer Ureinwohner,[15] die in ihren Sprachen jeweils nur die Zahlwörter „ein“, „zwei“ und „viel“ kennen. Das Gleiche findet sich auch in indoeuropäischen Sprachen in Form desSingulars, desDuals (z. B. im Griechischen, im Latein und früher auch in germanischen Sprachen) und desPlurals vonSubstantiven wieder.[16][17]
Um „viel“ weiter unterscheiden und genauere Anzahlen sagen zu können, bildeten andere Völker weitere Zahlwörter.[18] Bis höchstens zehn (für größere Zahlen würden die Zahlwörter zu lang werden) ist dies einfach dadurch möglich, dass „zwei“ additiv so oft wiederholt wird, wie sie in der entsprechenden Zahl enthalten ist, und bei einer ungeraden Zahl wird noch ein „ein“ hinzugefügt. Einen anderen Weg, Wörter für größere Zahlen zu erhalten, haben Sprachen beschritten, die für kleinere Zahlen zusätzliche eigene Worte wie „drei“, „vier“ oder „fünf“ erfanden und diese wiederum additiv oder multiplikativ, z. B. „vier-zwei“ für acht,[19] zu neuen größeren Zahlen verbanden. Für die Bildung von wesentlich größeren Zahlen als zehn wird es notwendig, große Zahlen zu neuen,größeren Einheiten zusammenzufassen und für diese neue Zahlworte zu finden,[20] etwa in Stufen zu „zehn“, „hundert“ usw.
Auf diese Art lassen sich so große Zahlen bilden, dass es für deren genaue Erfassung erforderlich wird, eine entsprechende Anzahl von Gegenständen zuzählen. Dabei muss jedoch noch keine Trennung der Zahlen von der Art der gezählten Gegenstände vorliegen: bei manchen Sprachen gibt es so genannte Zählklassen, die für die gleiche Zahl jeweils ein eigenes Zahlwort haben.[21] So benutzt man für die gleiche Anzahl Lebewesen ein anderes Wort als bei langen Gegenständen, bei runden Gegenständen ein drittes Wort und bei noch anderen Gegenständen weitere Wörter.
Mit derLoslösung von der Art der Gegenstände, also wenn unabhängig von den gezählten Gegenständen das gleiche Zahlwort für die gleiche Anzahl benutzt wird, erhalten Zahlen Selbstständigkeit und werden als etwas Eigenes aufgefasst. Bei indoeuropäischen Sprachen ist dies allgemein für Zahlen größer als vier zu beobachten. Hier scheint es ursprünglich eine Stufung mit vier gegeben zu haben,[22] später wurden die Zahlen offenbar noch in mehreren Schritten erweitert (das erkennt man z. B. im Deutschen am Unterschied zwischen „dreizehn“ und „dreiundzwanzig“). Neben Zusammenfassungen von jeweils zwei, drei oder vier treten weltweit auch häufig noch Sprachen auf mit Stufen von fünf, zehn, zwölf oder zwanzig sowie mit Mischformen von diesen.[23][24]
Der nach derletzten Kaltzeit (nach 10.000 v. Chr.)[25] in derMittelsteinzeit einsetzendeKlimawandel[26] führte zur Austrocknung großer Gebiete von der Sahara im Westen bis zur Mongolischen Steppe im Osten. Die zunehmende Bevölkerung der betroffenen Gebiete wanderte in die Flussoasen, wo sich mit der Zeit differenziertere städtische Gesellschaften entwickelten. Mit der Erfindung derSchrift bei den frühenHochkulturen an Euphrat und Tigris (Mesopotamien), am Nil (Altes Ägypten), am Indus (Indus-Kultur) und am Gelben Fluss (Altes China) begann zwischen dem Ende des 4. und dem Anfang des 3. Jahrtausends v. Chr. die geschichtliche Zeit.[27][28] Von Beginn an entstanden zusammen mit der Schrift auch Zahlzeichen, da offenbar beides zur Verwaltung der immer stärker organisierten Gesellschaften benötigt wurde.
Im alten Ägypten fand spätestens seit ca. 3000 v. Chr. zur Darstellung natürlicher Zahlen einadditives Zahlensystem zur Basis 10 Verwendung.[29] Dort wurden bereits dieGrundrechenarten derAddition,Subtraktion,Multiplikation undDivision betrieben. Für die ersteren beiden gab es besondere Schriftzeichen.[30] Besonders bedeutsame Zeugnisse mathematischer Fähigkeiten dieser Kultur sind derMoskauer Papyrus und derPapyrus Rhind – beide inhieratischer Schrift verfasst in der Zeit zwischen 2000 v. Chr. und 1800 v. Chr. Aus diesem lässt sich über die natürlichen Zahlen hinausgehend eine besondere Notation fürStammbrüche entnehmen. Andere Verhältnisse wurden systematisch in Summen von Stammbrüchen überführt ( besaß jedoch auch ein eigenes Zeichen).[31] Motivation der altägyptischen Mathematik waren meist Bauwesen, Landvermessung und Wirtschaft, Beweise finden sich nicht.[32] Jedoch finden sich auch Probleme, die als humorvoll oder unterhaltsam intendiert interpretiert werden.[33][34][35]
Ebenfalls gibt es reichhaltige mathematische Zeugnisse aus demMesopotamien desAltertums. Insumerischer Zeit entwickelte sich dort ein additives Zahlensystem, basierend auf den Basen 10 und 60. Ausaltbabylonischer Zeit zwischen 1.800 und 1.600 v. Chr. gibt es zahlreiche Funde mit weitergehenden Errungenschaften: Es entstand einsexagesimalesStellenwertsystem, jedoch mit der Einschränkung, dass es keine Ziffer Null gab und die Notation daher uneindeutig war. Innerhalb dieses Systems wurden auch allgemeinere rationale Zahlen in einer der heute gebräuchlichenDezimalbruchentwicklungentsprechenden Weise dargestellt, d. h., es konnten etwa- und-Stellen gebraucht werden. Auf diese Weise nicht darstellbare Brüche oder (in moderner Sprechweise)Logarithmen, wie sie bei derZinsrechnung auftraten, wurden näherungsweise dargestellt. In Gestalt desbabylonischen Wurzelziehens wurden auch systematischeApproximationen vorgenommen.[36] Zudem wurden Lösungen fürquadratische,kubische undbiquadratische Gleichungen gefunden. Diese Gleichungen wurden mit geometrischen Begriffen beschrieben (ein in moderner Sprechweise in solchen Gleichungen auftretendesQuadrat wurde als Flächeninhalt beschrieben, von dem etwa eine Seitenlänge subtrahiert wird, dass als Flächeninhalte und als Längen bezeichnete Größen addiert werden konnten, legt jedoch ein recht abstraktes, algebraisches Verständnis nahe).[37][38] Diese Errungenschaften entstammten praktischen Bedürfnissen von Wirtschaft, Bauwesen und Astronomie.[39]
Aus demantiken Griechenland sind eine Vielzahl mathematischer Erkenntnisse überliefert. Erstmals (soweit bekannt) kam es hier zum ausgeprägten Verständnis von Beweisen,[40] durch die die Ergebnisse in einer der heutigen Mathematik nahekommenden Strenge bewiesen wurden. Besondere Bedeutung hatte ab dem 6. Jahrhundert v. Chr. die Schule derPythagoreer, gegründet vonPythagoras von Samos (ca. 570–510 v. Chr.), der vermutlich durch Reisen nach Ägypten, Mesopotamien und evtl. Indien beeinflusst war.[41] In dieser religiösen Gruppierung trennte sich die Mathematik vom aus den Notwendigkeiten des Alltags entspringenden Rechnen,[42] wobei (natürliche) Zahlen eine zentrale Rolle spielten. Die Überlieferungslage bezüglich dieser Zeit der Mathematikgeschichte, den mutmaßlich etwas früher lebendenThales von Milet mit eingeschlossen, ist allerdings noch dünn, die meisten Dokumente stammen aus späterer Zeit, so dass sich nicht sicher sagen lässt, welche Konzepte dort schon bekannt waren, und mit welcher Methodik verfahren wurde.[43]
Aus nicht vollständig geklärten Gründen legte die darauffolgende griechische Mathematik großen Wert auf dieGeometrie, trotz des Einflusses der Pythagoreer, unter denen die Arithmetik als grundlegend aufgefasst worden war.[44] Bedeutende Protagonisten waren hierEudoxos von Knidos (* zw. ca. 397 und 390 v. Chr., † zw. ca. 345 und 338 v. Chr.) undEuklid (ca. 360–280 v. Chr.).
Bezüglich des Zahlbegriffs der Griechen muss festgestellt werden, dass sie nicht über ein Konzept rationaler Zahlen als algebraische Objekte oder Erweiterung der natürlichen Zahlen verfügten. Die aus moderner Sicht oft als Aussagen über solche interpretierten Ergebnisse wurden geometrisch als Aussagen über Längen- und Flächenverhältnisse formuliert: Eine Länge oder Fläche konnte ein ganzzahliges Vielfaches einer anderen sein, dementsprechend lassen sich Verhältnisse zwischen zwei solchen Vielfachen einer Länge oder Fläche im heutigen Verständnis als (positive – mit negativen Zahlen vergleichbare Konzepte waren nicht vorhanden) rationale Zahlen beschreiben, im griechischen Verständnis von Zahlen waren sie jedoch nicht enthalten. Erst recht gab es keine irrationalenZahlen in der griechischen Mathematik – es traten lediglich geometrische Verhältnisse auf, die keinem Verhältnis von zwei ganzzahligen Vielfachen einer Größe entsprachen; man spricht vonInkommensurabilität.[45][46] Selbst die Eins wurde bei Euklid nicht zu den Zahlen gezählt.[47][48]
Die Existenz der inkommensurablen Verhältnisse war spätestens seitAristoteles (384–322 v. Chr.), der einen recht allgemeinen Beweis lieferte, womöglich aber schon vor 400 v. Chr.[49] in Griechenland bekannt. Dies zeigte die Unmöglichkeit des pythagoreischen Ansatzes, die in der Geometrie auftretenden Verhältnisse mittels der Arithmetik zu beschreiben – in heutiger Begrifflichkeit eine Unzulänglichkeit der rationalen Zahlen.[50] Der Übergang zu einer geometrischen Grundlegung, die den Umgang mit solchen Verhältnissen erlaubte, wird maßgeblich auf Eudoxos zurückgeführt, der selbst noch Schüler des bedeutenden PythagoreersArchytas von Tarent gewesen war, der die Arithmetik als einzige mögliche Grundlage für Beweise ansah.[51]
Eudoxos lieferte eine Definition der Gleichheit zweier geometrischer Verhältnisse (von Längen oder Flächen): Zwei Verhältnisse sind demzufolge gleich, wenn alle – in moderner Interpretation – rationalen Verhältnisse, die kleiner bzw. größer sind als das eine Verhältnis, auch kleiner bzw. größer sind als das andere.[52] Diese Definition gilt sogar analog für den heutigen Begriff der reellen Zahlen. Einige Stimmen sahen oder sehen hierin bereits ein Vorhandensein der reellen Zahlen in der griechischen Mathematik.[53][54][55] Diese Aussagen sind jedoch problematisch:[55] Zum einen war eben nicht einmal das Konzept der rationalen Zahlen vorhanden, zum anderen wurde nichts darüber ausgesagt, dass bestimmte Verhältnisse existieren, so dass diese etwaordnungsvollständig sind, sondern vielmehr durch die Geometriegegebene Verhältnisse untersucht. In jedem Fall ermöglichte diese Definition eine Vielzahl von Beweisen, deren Techniken wie dieExhaustionsmethode als Vorläufer heutiger Begriffe derAnalysis gelten, wobei gewisse Abschätzungen bereits eine zentrale Rolle spielten. Zudem warRichard Dedekind beiseiner Definition der reellen Zahlen eigenen Angaben zufolge durch Eudoxos inspiriert.[55]
Archimedes, ein Gemälde vonDomenico Fetti aus dem Jahr 1620
Archimedes von Syrakus (287–212 v. Chr.), der aufbauend auf Eudoxos besonders weitreichende Beweise für bestimmte geometrische Verhältnisse sowie bestimmte Näherungen lieferte, gilt auch als erste Person, dieinfinitesimale Größen einführte: ImArchimedes-Palimpsest wandte er ein Prinzip vergleichbar demPrinzip von Cavalieri an, bei dem eine Fläche in unendlich vieleinfinitesimale Linien zerlegt wird. Eine solche Vorgehensweise entsprach schon damals nicht den Ansprüchen an einen mathematischen Beweis, Archimedes sah in diesemmechanisch motivierten Verfahren jedoch ein nützliches Werkzeug, um an ein Problem heranzugehen und später einfacher einen korrekten Beweis finden zu können.[56] Die Existenz von von Null verschiedenen infinitesimalen Größen widerspricht der Definition des Eudoxos von Gleichheit und auch dem von Archimedes selbst aufgestellten sogenanntenArchimedischen Axiom.
Der Begriff derZahl ist nicht mathematisch definiert, sondern eingemeinsprachlicher Oberbegriff für verschiedene mathematische Konzepte. Daher gibt es im mathematischen Sinn keineMenge aller Zahlen oder dergleichen. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierteZahlbereiche, d. h. nur über bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften, die zusammenfassend alle alsZahlen bezeichnet werden. Seit dem Ende des 19. Jahrhunderts werden in der Mathematik Zahlen rein mittels derLogik unabhängig von Vorstellungen von Raum und Zeit definiert. Grundsteine wurden hier vonRichard Dedekind undGiuseppe Peano mit derAxiomatisierung dernatürlichen Zahlen (SiehePeano-Axiome) gelegt. Dedekind schreibt zu diesem neuen Ansatz:
„Was beweisbar ist, soll in der Wissenschaft nicht ohne Beweis geglaubt werden. So einleuchtend diese Forderung erscheint, so ist sie doch, wie ich glaube, selbst bei der Begründung der einfachsten Wissenschaft, nämlich desjenigen Theiles der Logik, welcher die Lehre von den Zahlen behandelt, auch nach den neuesten Darstellungen noch keineswegs als erfüllt anzusehen. […] die Zahlen sind freie Schöpfungen des menschlichen Geistes, sie dienen als ein Mittel, um die Verschiedenheit der Dinge leichter und schärfer aufzufassen. Durch den rein logischen Aufbau der Zahlen-Wissenschaft und durch das in ihr gewonnene stetige Zahlen-Reich sind wir erst in den Stand gesetzt, unsere Vorstellungen von Raum und Zeit genau zu untersuchen, indem wir dieselben auf dieses in unserem Geiste geschaffene Zahlen-Reich beziehen.“
Zu unterscheiden sind axiomatische Definitionen vonmengentheoretischen Definitionen von Zahlen: Im ersteren Fall wird die Existenz gewisser Objekte mit auf ihnen definierten Verknüpfungen mit bestimmten Eigenschaften in Form vonAxiomen postuliert, so etwa auch bei den frühen Axiomatisierungen der natürlichen und der reellen Zahlen durch Peano und Dedekind. In der Folge der Entwicklung der Mengenlehre durchGeorg Cantor ging man dazu über, zu versuchen, sich auf mengentheoretische Axiome zu beschränken, wie es in der Mathematik heute etwa mit derZermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) üblich ist. Die Existenz gewisser Zahlenmengen und Verknüpfungen über ihnen mit gewissen Eigenschaften wird dann aus diesen Axiomen gefolgert. Mitunter wird ein Zahlbereich als eine bestimmteKlasse definiert. Die axiomatische Mengenlehre versucht, eine einzige, einheitliche formale Grundlage für die gesamte Mathematik zu sein. Innerhalb ihrer lässt sich auf reichhaltige Weise mit den Zahlbereichen umgehen. Formuliert wird sie in der Regel in derPrädikatenlogik erster Stufe, die die Struktur der mathematischen Sätze sowie die Möglichkeiten zur Schlussfolgerung aus den Axiomen festlegt.
Als mengentheoretische Konzepte werdenOrdinal- undKardinalzahlen in aller Regel mengentheoretisch definiert, ebenso die Verallgemeinerung dersurrealen Zahlen.
Die Peano-Axiome etwa und die auf Dedekind zurückgehende Definition der reellen Zahlen basieren im Gegensatz zu ZFC auf derPrädikatenlogik zweiter Stufe. Während die Prädikatenlogik erster Stufe eine klare, allgemein akzeptierte Antwort darauf liefert, wiegültige Schlüsse vorzunehmen sind, wobei diese sich systematisch berechnen lassen, führen Versuche, dies für die Prädikatenlogik zweiter Stufe zu klären, meist dazu, dass eine komplexeMetatheorie eingeführt werden muss, die ihrerseits mengentheoretische Begriffemetasprachlich einführt und von deren Details die in der Folge erschlossenen Möglichkeiten der Folgerung in der Prädikatenlogik zweiter Stufe abhängen. ZFC ist ein Kandidat für eine solche Theorie.[58] Diese Einschränkungen lassen die Prädikatenlogik zweiter Stufe in einem Teil derPhilosophie der Mathematik ungeeignet erscheinen, auf grundlegender Ebene verwendet zu werden.[59] Die Prädikatenlogik erster Stufe dagegen ist nicht hinreichend, um gewisse wichtige intuitive Eigenschaften der natürlichen Zahlen zu formulieren und (bei Betrachtung dieser in einer mengentheoretischen Metatheorie, etwa aufgrund desSatzes von Löwenheim-Skolem die Abzählbarkeit) sicherzustellen.
Die Mathematik untersucht Beziehungen zwischen mathematischen Objekten undbeweist strukturelle Eigenschaften in diesen Beziehungen. Elementare Beispiele für zwischen Zahlen definierte Beziehungen sind etwa die allgemein bekannten Rechenoperationen (Grundrechenarten) über denrationalen Zahlen (Brüche),Vergleiche („kleiner“, „größer“, „größer gleich“ etc.) zwischen rationalen Zahlen und dieTeilbarkeitsrelation zwischenganzen Zahlen („3 ist ein Teiler von 9“). Zudem werden Eigenschaften über bestimmten Zahlen definiert, zum Beispiel ist über denganzen Zahlen die Eigenschaft definiert, einePrimzahl zu sein.
Solche Verknüpfungen sind nicht als vom Zahlbegriff unabhängige willkürliche Operationen zu verstehen, vielmehr werden bestimmteZahlbereiche meist untrennbar von bestimmten Verknüpfungen betrachtet, da diese die zu untersuchende Struktur maßgeblich bestimmen. Spricht man etwa über dienatürlichen Zahlen, gebraucht man fast immer zumindest auchihre Ordnung („“, „“), welche maßgeblich unseren Begriff von natürlichen Zahlen bestimmt.
In derSchulmathematik, derInformatik und dernumerischen Mathematik befasst man sich mitVerfahren, um solche Verknüpfungen auf konkreten Darstellungen von Zahlen auszuwerten (Rechnen). Als Beispiel sei hier dieschriftliche Addition genannt: Unter Verwendung der Darstellung von Zahlen in einemStellenwertsystem ist es hier möglich, durch systematisches Abarbeiten der Ziffern eine Darstellung für dieSumme der beiden Zahlen zu erlangen. In der Informatik und der numerischen Mathematik werden solche Verfahren entwickelt und auf ihre Leistungsfähigkeit hin untersucht. Einige solcher Verfahren sind von fundamentaler Bedeutung für die heutigenComputer.
In derabstrakten Algebra befasst man sich mit der Struktur von Verallgemeinerungen solcher Zahlbereiche, wobei nur noch das Vorhandensein von Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften über einer beliebigenMenge von Objekten vorausgesetzt wird, welche die Struktur der Verknüpfungen nicht eindeutig bestimmen, sondern viele verschiedene konkrete Strukturen mit diesen Eigenschaften (Modelle) zulassen (siehealgebraische Struktur). Ihre Resultate lassen sich auf konkrete Zahlbereiche anwenden, die wiederum in der abstrakten Algebra als Motivation und elementare Beispiele dienen können.
DieZahlentheorie behandelt Eigenschaften (im weiteren Sinne) von Zahlen, etwa Existenz, Häufigkeit und Verteilung von Zahlen mit bestimmten Eigenschaften. Eigenschaftentransfiniter (in bestimmten Sinnen „unendlicher“) Zahlen sind allerdings Gegenstand derMengenlehre.
In der Mathematik werden solche Verknüpfungen, Beziehungen und Eigenschaften alsPrädikate oderRelationen, einschließlichFunktionen, aufgefasst.
Einige wichtige Zahlbereiche seien hier in ihrem mathematischen Kontext vorgestellt. Im Laufe derGeschichte der Mathematik wurden immer weitere Zahlbereiche eingeführt, um gegenüber bisherigen Zahlbereichen bestimmte Probleme allgemeiner behandeln zu können. Insbesondere wurden bestehende Zahlbereiche durch Hinzufügen zusätzlicher Elemente zu neuen Zahlbereichen erweitert, um über gewisse Operationen allgemeiner sprechen zu können, siehe hierzu auch den Artikel zurZahlbereichserweiterung.
Zum Begriff desZahlbereichs siehe den Abschnitt zurDefinition.
Dienatürlichen Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 … oder 0, 1, 2, 3, 4, 5 … bilden diejenigeMenge von Zahlen, die üblicherweise zumZählen verwendet wird, wobei je nach Definition dieNull mit eingeschlossen wird oder nicht. Die natürlichen Zahlen sind mit einerOrdnung („kleiner“) versehen. Es gibt ein kleinstesElement (je nach Definition die Null oder dieEins), und jedes Element hat einenNachfolger und ist kleiner als sein Nachfolger. Indem man ausgehend vom kleinsten Element immer wieder den Nachfolger bildet, erreicht man schließlich jede natürliche Zahl und sukzessive immer weitere, so dass es ihrer unendlich viele gibt. Die natürlichen Zahlen sind zudem mitAddition undMultiplikation versehen, je zwei natürlichen Zahlen lassen sich damit eine Summe und ein Produkt zuordnen, die wieder natürliche Zahlen sind. Diese Operationen sindassoziativ undkommutativ, zudem sind sie im Sinne des Distributivgesetzes miteinander verträglich:. Diese drei Eigenschaften sind auch grundlegend für viele allgemeinere Zahlbereiche wie die ganzen, rationalen, reellen und komplexen Zahlen. Die Ordnung der natürlichen Zahlen ist in gewisser Hinsicht mit der Addition und Multiplikationverträglich: Sie istverschiebungsinvariant, d. h., für natürliche Zahlen folgt aus auch, zusätzlich zur Verschiebungsinvarianz folgt auch.
Die Existenz derMenge aller natürlichen Zahlen wird in der Mengenlehre durch dasUnendlichkeitsaxiom sichergestellt.
In der Menge der natürlichen Zahlen existiert für zwei Zahlen keine natürliche Zahl, sodass. Dieganzen Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen so, dass für zwei beliebige Elemente eine solche Zahl existiert. Hierzu fügt man dienegativen Zahlen den natürlichen Zahlen hinzu: Zu jeder natürlichen Zahl existiert eine zweite ganze Zahl, so dass, welche alsadditives Inverses bezeichnet wird. Die obige Zahl, genanntDifferenz, ist dann als, kurz, gegeben. Hierdurch ist dieSubtraktion auf den ganzen Zahlen definiert, die jedoch im Wesentlichen eine Kurzschreibweise darstellt.
Die Ordnung über den natürlichen Zahlen wird auf die ganzen Zahlen erweitert. Hierbei gibt es kein kleinstes Element mehr; dafür hat jedes Element einen Vorgänger und einen Nachfolger (der Vorgänger der ist die, der der die etc.). Die Verträglichkeit mit der Addition, die Verschiebungsinvarianz, bleibt dabei erhalten. Zudem ist das Produkt von zwei ganzen Zahlen größer Null stets wiederum größer Null.
Ebenso wie die natürlichen Zahlen zu den ganzen Zahlen erweitert werden, um ein additives Inverses und die Subtraktion zu erhalten, erweitert man die ganzen Zahlen zu den rationalen Zahlen, um ein multiplikatives Inverses und die Division zu erhalten. D. h., die rationalen Zahlen enthalten die ganzen Zahlen, und zu jeder ganzen Zahl fügt man die genannte Zahl (Stammbruch) als multiplikatives Inverses hinzu, so dass. Zudem soll das Produkt zweier beliebiger rationaler Zahlen definiert sein, allgemein erhält man rationale Zahlen der Form, genanntBruch, wobei eine ganze Zahl mit dem Bruch identifiziert wird. Für ganze Zahlen werden die Brüche und miteinander identifiziert; diese Identifizierung wird auch alsErweitern undKürzen bezeichnet. Somit erhält man eine mit der Multiplikation ganzer Zahlen kompatible Multiplikation und Division.
Mittels derDezimalbruchdarstellung lässt sich eine mit der Ordnung der ganzen Zahlen kompatible Ordnung definieren, die auch die Verträglichkeit mit Addition und Multiplikation erhält.
Die rationalen Zahlen bilden einen (geordneten)Körper. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen wird verallgemeinert alsQuotientenkörperbildung zu einem Ring.
Die Menge der rationalen Zahlen wird mit oder bezeichnet. In der (deutschen) Schulmathematik kommt daneben die Bezeichnung vor („Menge der (positiven) Bruchzahlen“), wenn die positiven Brüche vor den negativen ganzen Zahlen eingeführt werden.
Mit der Addition und Multiplikation ganzer oder rationaler Zahlen lassen sich sogenanntePolynomfunktionen definieren: Jeder ganzen bzw. rationalen Zahl wird dabei eine Summe vonPotenzen multipliziert mit konstanten Zahlen (Koeffizienten) zugeordnet. Etwa einer beliebigen Zahl der Wert definiert als. Für viele solcher Polynomfunktionen existiert keine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle gleich null wird (Nullstelle). Fügt man nun Nullstellen bestimmter Polynomfunktionen den rationalen Zahlen hinzu, wobei Multiplikation und Addition wohldefiniert bleiben, erhält man einealgebraische Erweiterung. Erweitert man die rationalen Zahlen um solche Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, erhält man diealgebraischen Zahlen. Erweitert man die ganzen Zahlen um Nullstellen für alle nicht-konstanten Polynome, deren Koeffizienten ganzzahlig sind und deren Koeffizient zur höchsten Potenz ist, so erhält man dieganzalgebraischen Zahlen.
Betrachtet man Probleme wie etwa das Finden von Nullstellen von Polynomfunktionen über den rationalen Zahlen, stellt man fest, dass sich in den rationalen Zahlen beliebig guteNäherungen konstruieren lassen: Etwa findet sich bei zahlreichen Polynomfunktionen zu jeder festgelegten Toleranz eine rationale Zahl, so dass der Wert der Polynomfunktion an dieser Stelle höchstens um die Toleranz von der Null abweicht. Zudem kann man die Näherungslösungen so wählen, dass sie „nah beieinander“ liegen, denn Polynomfunktionen sindstetig („weisen keine ‚Sprünge‘ auf“). Dieses Verhalten tritt nicht nur bei Nullstellen von Polynomfunktionen auf, sondern auch bei zahlreichen weiteren mathematischen Problemen, die eine gewisse Stetigkeit aufweisen, so dass man dazu übergeht, die Existenz einer Lösung zu garantieren, sobald beliebig gute Näherungen durch nahe beieinander gelegene rationale Zahlen existieren. Eine solche Lösung nennt man einereelle Zahl. Um die Existenz solcher Lösungen zu zeigen, reicht es, zu fordern, dass es zu jeder Menge rationaler Zahlen, die nicht beliebig große Zahlen enthält, unter den reellen Zahlen, die größer oder gleich als all diese Elemente der Menge sind, eine kleinste gibt. Alternativ lassen sich die reellen Zahlen explizit alsFolgen von rationalen Zahlen, die sich einander „annähern“, definieren.
Die Menge der reellen Zahlen istüberabzählbar. Daher ist es nicht möglich, jede beliebige reelle Zahl sprachlich eindeutig zu beschreiben.
Die Abgeschlossenheit der reellen Zahlen unter solchen Näherungsprozessen bezeichnet man alsVollständigkeit. Diese erlaubt es, zahlreiche Begriffe aus derAnalysis, wie den derAbleitung und den desIntegrals, überGrenzwerte zu definieren. Grenzwerte erlauben zudem die Definition zahlreicher wichtigerFunktionen, etwa dertrigonometrischen Funktionen (Sinus, Cosinus, Tangens etc.), was über den rationalen Zahlen nicht möglich ist.
Die reellen Zahlen behalten maßgebliche Eigenschaften der Addition, Multiplikation und der Ordnung in den rationalen Zahlen und bilden somit ebenfalls einengeordneten Körper. Sie lassen sich nicht erweitern, ohne diese Eigenschaft oder dasarchimedische Axiom zu verletzen, also „unendlich kleine strikt positive Zahlen“ einzuführen.
Die Idee des Übergangs von den rationalen zu den reellen Zahlen wird durch verschiedene Konzepte derVervollständigung verallgemeinert.
Die Menge der reellen Zahlen wird mit oder bezeichnet.
Manche Polynomfunktionen besitzen keine Nullstellen in den reellen Zahlen. Beispielsweise nimmt die Funktion für jede reelle Zahl einen Wert größer als Null an. Es lässt sich zeigen, dass durch Hinzufügen einer Zahl, genanntimaginäre Einheit, die die Gleichung erfüllt, wobei die grundlegenden Eigenschaften der Addition und Multiplikation erhalten bleiben sollen, bereits die reellen Zahlen zu denkomplexen Zahlen erweitert werden, in denen alle nicht konstanten Polynomfunktionen eine Nullstelle besitzen. Die komplexen Zahlen bilden damit denalgebraischen Abschluss der reellen Zahlen. Grenzwertprozesse sind in den komplexen Zahlen ebenso möglich wie in den reellen Zahlen, jedoch sind die komplexen Zahlen nicht mehr geordnet. Sie lassen sich alsEbene (zweidimensionalerVektorraum über den reellen Zahlen) auffassen. Jede komplexe Zahl lässt sich eindeutig in der Form „darstellen“, wobei und reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit bezeichnen.
DieFunktionentheorie ist das Teilgebiet der Analysis, das sich mit den analytischen Eigenschaften von Funktionen über den komplexen Zahlen befasst.
Die Menge der komplexen Zahlen wird mit oder bezeichnet.
Die Ordinal- und Kardinalzahlen sind Konzepte aus derMengenlehre. In der Mengenlehre definiert man die Kardinalität einerMenge als Kardinalzahl, die Kardinalität ist eine Verallgemeinerung des Konzepts der „Anzahl der Elemente“ einerendlichen Menge auf unendliche Mengen. Die Kardinalitäten endlicher Mengen sind somit natürliche Zahlen, die auch in den Kardinalzahlen enthalten sind.
Ordinalzahlen verallgemeinern das Konzept der „Position in einer (wohlgeordneten) Menge“ auf unendliche Mengen. Ordinalzahlen beschreiben dann eindeutig die Position eines Elementes in einer solchen Wohlordnung. Die Ordinalzahlen sind selbst wohlgeordnet, so dass die Reihenfolge von wohlgeordneten Objekten der Reihenfolge der ihnen zugeordneten „Positionen“ (also Ordinalzahlen) entspricht. Für Positionen in Anordnungen endlich vieler Objekte lassen sich natürliche Zahlen verwenden, die denkleinsten Ordinalzahlen entsprechen.
Kardinalzahlen werden heutzutage als spezielle Ordinalzahlen definiert, wodurch sie ebenfalls eine Ordnung erhalten. Neben der Ordnung sind auf Kardinalzahlen und Ordinalzahlen auch Addition, Multiplikation und Potenzierung definiert, die eingeschränkt auf die natürlichen Zahlen mit den üblichen Begriffen für natürliche Zahlen übereinstimmen, siehe hierzuKardinalzahlarithmetik undtransfinite Arithmetik.
Sowohl die Ordinalzahlen als auch die Kardinalzahlen bildenechte Klassen, das heißt, sie sind im Sinne der modernen Mengenlehre keine Mengen.
Die komplexen Zahlen lassen sich als zweidimensionalerVektorraum über den reellen Zahlen auffassen (sieheGaußsche Zahlenebene), das heißt als zweidimensionale Ebene, bei der neben der üblichen koordinatenweisen Addition eine Multiplikation zwischen zwei Punkten der Ebene definiert ist. Es gibt zahlreiche ähnlicheStrukturen, die man unter dem Begriffhyperkomplexe Zahlen zusammenfasst. Diese Strukturen sind in der Regel endlichdimensionale Vektorräume über den reellen Zahlen (vorstellbar als zwei- oder höherdimensionaler Raum) mit einer zusätzlichen Multiplikation. Oftmals lassen sich die reellen Zahlen selbst in diese Struktureneinbetten, wobei die Multiplikation eingeschränkt auf die reellen Zahlen der üblichen Multiplikation von reellen Zahlen entspricht.
p-adische Zahl, eine Verallgemeinerung der rationalen Zahlen unter Miteinbeziehung von unendlich vielen „Vorkomma-Stellen“, die in derZahlentheorie Verwendung findet.
Surreale Zahl, eine Verallgemeinerung der hyperreellen Zahlen und der Ordinalzahlen mit Anwendungen in derSpieltheorie.
Restklassenringe können als Einschränkungen der ganzen Zahlen auf die ersten endlich vielen Elemente mit entsprechend definierter Arithmetik aufgefasst werden. Ihre Elemente werden mitunter auch als Zahlen bezeichnet.
In der Mathematik spricht man mittels der Sprache derLogik über in dieser definierte mathematische Objekte wie etwa Zahlen, mit ihr lassen sich auch konkrete Zahlen mitunter eindeutig beschreiben, unter Umständen mittels Formeln. Über die gängigenlogischen Formalismen hinaus existieren jedoch systematischeBezeichnungen für bestimmte Zahlen, etwa in Form von speziellen Kombinationen vonSchriftzeichen (mitunter eigens dafür verwendeteZiffern) oder mittels besonderskonstruierter Wörter der natürlichen Sprache, wie etwaNumerale. Bezeichnungen für bestimmte Zahlen werden außerhalb der Mathematik verwendet, um konkrete Beobachtungen zu beschreiben, etwa eine Anzahl beobachteter Objekte (Ich sehe fünf Bananen) oder mittels eines anderenMessverfahrens bestimmteMesswerte (Der Türrahmen ist zwei Meter hoch). Des Weiteren erlauben solch systematische Zahldarstellungen mitunter einfaches, systematischesRechnen mit konkreten Zahlen – gerade auch durchRechenmaschinen undComputer. DieRechenverfahren zur Berechnung gewisser Operationen zwischen konkreten Zahlen hängen von der gewählten Darstellung ab.
In der Kultur- und Mathematikgeschichte haben sich zahlreicheZahlensysteme zu solchen systematischen Zahldarstellungen entwickelt. Belege für die Darstellung von Zahlen reichen bis in die späteSteinzeit zurück, wobei Schwierigkeiten bestehen,Zahlzeichen von bloßenZählzeichen zu unterscheiden, das heißt zu erkennen, ob den Menschen Zahlen als abstrakte Bedeutung jener bewusst waren, oder nur eine werkzeugartige Verwendung vorlag, bei denen die physische Konstruktion des Zählzeichens, nicht aber eine Bedeutung relevant war, seine Aufgabe zu erfüllen. Zu dieser Problematik siehe etwa den Artikel zumIshango-Knochen, einem Fund aus der spätenAltsteinzeit, der verschiedenartige Interpretationen zulässt.
Betrachtet mansprachliche Darstellungen von Zahlen formal, so lässt sich nicht jeder Zahl eine solche Darstellung in einem formalen Sinne zuordnen, d. h., in einem mathematischen formalen Sinne existierenmehr Zahlen als mögliche Darstellungen in einer Sprache: Da sprachliche Formulierungen stets endlich sind, kann es von ihnen nurabzählbar viele verschiedene geben, während die Mathematik auchüberabzählbare Zahlbereiche betrachtet. Man spricht dennoch auch von Darstellungen überabzählbarer Zahlbereiche, wenn man sich bei solchen formalen Darstellungen nicht mehr auf zu sprachlichen Formulierungen korrespondierende beschränkt, in ihrer Struktur können sie jedoch den Zahlensystemen ähneln, etwa lassen sich diereellen Zahlen als spezielle formaleReihen definieren, welche der Darstellung in Stellenwertsystemen strukturell ähneln.
AlsFormel lässt sie sich z. B. als darstellen, was einer mathematischenDefinition gleichkommt, falls die Eins und die Addition zuvor definiert worden sind.
Fasst man die natürlichen Zahlen alsalgebraische Struktur versehen mit Multiplikation und Addition auf, so lässt sich die Eins als einzige natürliche Zahl definieren, so dass und, das Symbol steht dann für eine beliebige natürliche Zahl, die diese Bedingung erfüllt, und ist damit eindeutig.
Definiert man natürliche Zahlen mengentheoretisch in derVariante von John von Neumann, so lässt sich die Vier über die übliche Darstellung endlicher Mengen alsFehler beim Parsen (SVG (MathML kann über ein Browser-Plugin aktiviert werden): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „http://localhost:6011/de.wikipedia.org/v1/“:): {\displaystyle \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}, \left\{\emptyset, \left\{\emptyset\right\}\right\}\right\}\right\}} darstellen.
Lösungenquadratischer Gleichungen über den rationalen Zahlen lassen sich als Formeln, bestehend aus Addition, Multiplikation und Quadratwurzelbildung rationaler Zahlen darstellen. Beispielsweise beschreibt die Formel eine Lösung der Gleichung für die Variable.
Komplexe Zahlen werden oft als Summe von Realteil und dem Imaginärteil multipliziert mit der imaginären Einheit dargestellt, etwa.
Im Dualsystem wird die natürliche Zahl Neun als dargestellt, dies entspricht der Darstellung als Formel.
Jede reelle Zahl lässt sich alsReihe mit einer ganzen Zahl und Koeffizienten „darstellen“, solche Darstellungen sind jedoch im Allgemeinen nicht endlich beschreibbar, da es überabzählbar viele mögliche „Belegungen“ der Koeffizienten gibt. Falls für hinreichend große stets Null wird, entsprechen die dem Nachkommateil in einer Darstellung im Dualsystem (etwa für).
Ebenso wie Zahlen sprachliche Ausdrücke, Zeichenketten oder dergleichen zugeordnet werden, können umgekehrt Zahlen bestimmten Objekten zugeordnet werden, zum einen für abstrakte Überlegungen, zum anderen, um Darstellungen von Zahlen konkret zur systematischen Bezeichnung von anderen Objekten einzusetzen, etwa Information mittels Zahlen zu kodieren. Solches Vorgehen erlaubt die Anwendung von den auf Zahlen definierten Operationen auf diese Bezeichnungen. Ein verbreitetes Beispiel ist dieNummerierung, bei der jedem Objekt einer bestimmten betrachteten Gesamtheit eine (meist natürliche) Zahl zugeordnet wird: Dies erlaubt zum einen die Benennung der Objekte mittels ihrer Nummern, und schafft zum anderen mittels der auf den natürlichen Zahlen definierten Ordnung („kleiner“) eine Ordnung der Objekte; dies erlaubt etwa im Falle natürlicher Zahlen ein sequentielles Durchgehen aller Objekte. Zu beachten ist, dass nicht jede Nummer eine Zahl als von der Darstellung unabhängiges mathematisches Objekt ist. Manche Nummern sind als spezielle Symbolfolgen zu verstehen, die als Identifikatoren dienen, selbst wenn sie nur aus Ziffern bestehen (z. B.ISB-,Versicherungs- oderSteuernummern).
Ein anderes Beispiel ist die Interpretationdigitaler Information in derDatenverarbeitung: Alsbinäre Folge vorliegendeDaten können auf natürliche Weise als natürliche Zahl, dargestellt im Dualsystem, interpretiert werden (Randfälle wie führende Nullen müssen dabei beachtet werden). Arithmetische Operationen über dieser Kodierung als Zahl werden u. a. in derKryptographie und derDatenkompression eingesetzt.
Auch in der reinen Mathematik finden sich Anwendungen dieses Prinzips, wobei üblicherweise nicht als Zahlen aufgefassten mathematischen Objekten Zahlen zugeordnet werden, etwa in Form vonGödelnummern, dielogische Formeln oderAlgorithmen identifizieren.
Weitere Beispiele sind die Repräsentation von Spielsituationen mittelssurrealer Zahlen in derSpieltheorie, die Darstellung vonDrehstreckungen im zweidimensionalen euklidischen Raum durch komplexe Zahlen sowieDrehungen im Dreidimensionalen mittelsQuaternionen.
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