Dieser Artikel behandelt den grundlegenden Vorgang Rekursion: Anwendungsbeispiel ist dierekursive Definition in der Mathematik; zum Begriffrekursive Menge sieheEntscheidbar.
AlsRekursion (lateinischrecurrere‚zurücklaufen‘) wird ein prinzipiell unendlicher Vorgang bezeichnet, der sich selbst als Teil enthält oder mithilfe von sich selbst definierbar ist.[1] Üblicherweise sind rekursive Vorgänge relativ kurz beschreibbar bzw. können durch eine relativ kurze Anweisung ausgelöst werden.[2][3] Die bei Rekursion aufeinander folgenden Teilvorgänge oder die nacheinander erzeugten Objekte sind nicht unabhängig voneinander, sondern zwischen jedem Schrittpaar oder Objektpaar besteht eine besondere, dierekursive Beziehung.
„Der Begriff [Rekursion] ist sehr umfassend“.[4] In der Natur handelt es sich um einen häufig beobachtbaren Vorgang (z. B. beimPflanzenwachstum oder Blüten). In vielen Bereichen derKultur wird er nachgebildet, so in denschönen Künsten, wo das Phänomen u. a. alsMise en abyme bezeichnet wird. InMathematik undInformatik ist ‚Rekursion' ein gängiger Begriff.
Rekursion ist auch eine Problemlösungsstrategie. Komplexe Sachverhalte können oft mit rekursiv formulierten Regeln sehr elegant erfasst werden. Das Grundprinzip ist dabei dann das Zurückführen einer allgemeinen Aufgabe auf eine einfachere Aufgabe derselben Klasse. Das wird u. a. auch beim sogenanntenrekursiven Programmieren genutzt: Um Rekursion entstehen zu lassen, muss eineProzedur,Funktion oderMethode lediglich sich selbstaufrufen. Dieser Prozess läuft weiter, bis eine im Programm enthaltene Abbruchbedingung greift.
In der Mathematik wird das rekursive Formulieren mit Vorteil zur Erklärung von Funktionen angewendet (sieheRekursive Definition).
Rekursive Regeln können auch in der Erstellung von Grafiken verwendet werden, dies ergibt die sogenanntenFraktale – ästhetisch ansprechende,natürlich aussehende Gebilde. Ein Beispiel ist derPythagoras-Baum. Er entsteht nach folgender Regel (der dritte Schritt zeigt die Rekursion):
Errichte auf einer gegebenen Grundlinie einQuadrat.
Auf seiner Oberseite zeichne einDreieck mit vorgegebenen Winkeln bzw. Höhe.
Wende die beiden obigen Schritte jeweils erneut auf die beiden freien Seiten des neuentstandenen Dreieckes an.
DieserAlgorithmus wird dann bis zu einer vorgegebenenRekursionstiefe entfaltet; wird er einmal durchlaufen, entsteht ein Dreieck mit je einem Quadrat über den drei Seiten. Das sieht wie die Illustration zumSatz des Pythagoras aus – daher der Name. Je größer die Rekursionstiefe wird, desto mehr ähnelt das Gebilde einem Baum.
Man kann die beiden ersten Schritte in der obigen Beschreibung überspringen und den rekursiven Prozess mit der Illustration zum Satz des Pythagoras beginnen:
Erzeuge aus dieser Illustration zwei weitere, ihrähnliche Illustrationen, deren jeweiliges großesQuadrat identisch mit einem der beiden kleinenQuadrate der vorherigen Illustration ist.
Erzeuge nach gleicher Vorschrift aus jeder der im ersten Schritt erzeugten Illustrationen jeweils zwei weitere, ihnen ähnliche Illustrationen usw.
DieGrammatiknatürlicher Sprachen wird in derLinguistik u. a. mit Hilfe von sogenanntenPhrasenstrukturregeln beschrieben.[5] Nach Ansicht der meisten Linguisten zeigen dabei alle menschlichen Sprachen[6] die Eigenschaft, rekursiv aufgebaut zu sein (im Gegensatz zu Signalsystemen im Tierreich). Dies ergibt sich, weil in der Zerlegung einer grammatischen Einheit, die mit einer Kategorie etikettiert wird, dieselbe Kategorie erneut auftauchen kann. Ein Beispiel ist das Phänomen derNebensätze, das hier mit folgender stark vereinfachter Produktionsregel beschrieben ist:
VP → V NP* (eine Verbalphrase besteht aus einem Verb und null bis vielen Nominalphrasen als Objekten des Verbs)
VP → V S (eine Verbalphrase besteht aus einem Verb und einem Nebensatz als Objekt des Verbs)
Diese Grammatik lässt die Wahl, ob die Ausbuchstabierung von „VP“ mit Regel 2 oder 3 erfolgen soll. Für den Fall, dass die Schritte 1 und dann 3 aufgerufen werden, ergibt sich eine Rekursion: Als Produkt von Regel 3 erscheint das Symbol S, das wiederum den Start für Regel 1 darstellt.[3] Wenn die Regel 2 aufgerufen wird, ergibt sich ebenfalls eine Rekursion, nämlich über das Symbol NP.
In der Mathematik spielt Rekursion eine große Rolle, zum Beispiel in derrekursiven Definition von Funktionen. Als Beispiele werden im Folgenden die Berechnung derFakultät und dieFibonacci-Folge dargestellt. Rekursionsverfahren und rekursive Definition sind in der Mathematik aber nicht auf Funktionennatürlicher Zahlen beschränkt.
Die FunktionFakultät einer natürlichen Zahl ist definiert als das Produkt der Zahlen 1 bis:
Beispiele
Soll diese Liste fortgesetzt werden, ergibt sich die Rekursivität nahezu von selbst.Für die Berechnung von 5! wird man nicht von vorn beginnen, sondern kann auf vorherige Ergebnisse zurückgreifen, also
Verallgemeinert lässt sich die Funktion somitrekursiv definieren:
Ein klassisches Beispiel für eine rekursive Funktion ist dieFibonacci-Folge, bei der jedes weitere Folgenglied die Summe der beiden vorhergehenden ist:
Im Gegensatz zur Fakultätsfunktion ist für die Fibonacci-Folge keine kompakte geschlossene Form definiert worden.Die einfachste Beschreibung ist die rekursive Definition:
Diese rekursive Definition ist kaskadenförmig. Die dritte Fibonacci-Zahl wird anhand dieser Definition folgendermaßen berechnet:
Die Berechnung für wird hier mehrfach durchgeführt. Das deutet an, dass es Potential für Optimierungen gibt.
Die häufigste Rekursionsform ist dielineare Rekursion, bei der in jedem Fall der rekursiven Definition höchstens ein rekursiver Aufruf vorkommen darf. Die Berechnung verläuft dann entlang einer Kette von Aufrufen. Bei einer solchen Rekursion enthält der Aufrufbaum also keine Verzweigungen.
Dieprimitive Rekursion ist ein Spezialfall der linearen Rekursion, der stets durch eineIteration ersetzt werden kann (siehe unten#Zum Verhältnis von Rekursion und Iteration). Hier definiert man Funktionen auf den natürlichen Zahlen, wobei in jedem rekursiven Aufruf dessen erster Parameter um Eins ab- oder zunimmt. Jede primitiv-rekursive Definition kann unter Zuhilfenahme einesStapels durch eineSchleife (z. B.For-Schleife oderWhile-Schleife) ersetzt werden.
Dieendständige oderrepetitive Rekursion (Tail Recursion oderEndrekursion) bezeichnet den Spezialfall der linearen Rekursion, bei der jeder rekursive Aufruf die letzte Aktion des rekursiven Aufrufs ist. Endrekursionen lassen sich durchWhile-Schleifen ersetzen und umgekehrt. (Im Gegensatz zur Endrekursion steht dieHead Recursion; siehe unterInfiniter Regress.)
Unterverschachtelter Rekursion versteht man eine Rekursion, bei welcher rekursive Aufrufe in Parameterausdrücken rekursiver Aufrufe vorkommen. Diese Rekursionsform gilt als außerordentlich schwer zu durchschauen.
Kaskadenförmige Rekursion bezeichnet den Fall, in dem mehrere rekursive Aufrufe nebeneinander stehen. Die rekursiven Aufrufe bilden dann einen Baum. Kaskadenförmige Rekursion gilt als elegant, kann aber ohne weitere Maßnahmen einen exponentiellen Berechnungsaufwand nach sich ziehen. Sie wird gerne als Ausgangspunkt für die Ableitung einer anderen effizienteren Formulierung gebraucht.
Diewechselseitige Rekursion bezeichnet die Definition mehrerer Funktionen durch wechselseitige Verwendung voneinander. Sie lässt sich auf die gewöhnliche Rekursion einer tupelwertigen Funktion zurückführen.
Höhere Programmiersprachen, die mitFunktionen arbeiten, erlauben üblicherweise auch die Rekursion. Zumeist lassen sich Lösungen rekursiv oder iterativ angeben.
Rekursion undIteration sind im Wesentlichen gleich mächtige Vorgehensweisen. Gleiche oder ähnliche Vorgänge werden mehrfach wiederholt, der Unterschied liegt im verwendetenAlgorithmus.
Bei einer Iteration lautet der aus mehreren Teilen bestehende Befehl, mehrfach Schleifen (for, while ...) zu durchlaufen, bis eine Abbruchbedingung erfüllt ist. Bei einer Rekursion genügt es, lediglich dieProzeduren oderFunktionen mit der Aufforderung zu ergänzen, dass sie mit einem regelmäßig geänderten Parameter erneut anzuwenden sind, bis eine Abbruchbedingung erfüllt ist.
Eine Rekursion kommt i. d. R. mit weniger Quellcode aus und ist (für erfahrene Anwender) übersichtlicher – es müssen dann keine Hilfsvariablen und Schleifenzähler definiert werden. In der Abarbeitung sind iterative Verfahren meisteffizienter und benötigen weniger Speicherplatz. Grund ist das Ablegen der wiederholten Funktionsaufrufe mit allen zwischengespeicherten Werten auf demStapelspeicher (Stack). Insbesondere kann die Rekursion auch einenPufferüberlauf (Stack Overflow) verursachen. Bei der Programmierung vonEchtzeitsystemen aufMikrocontrollern wird daher häufig auf Rekursion verzichtet.
MancheProgrammiersprachen (zum Beispiel in derFunktionalen Programmierung) erlauben keine Iteration, sodass immer die rekursive Umsetzung gewählt werden muss. Solche Sprachen setzen zur Optimierung häufig primitive Rekursionen ein, die intern als Iterationen umgesetzt sind (einige Interpreter für LISP und Scheme verfahren so).
Das folgende Beispiel zeigt eine einfache und beliebte Implementierung derFakultätsfunktion in der ProgrammiersprachePython. Der rekursiven Variante wird hier zur Verdeutlichung eine iterative Variante gegenübergestellt. Die Rekursion kommt dadurch zum Ausdruck, dass die Funktion sich selbst mit einem um 1 verringerten Argument aufruft. Beide Implementierungen führen den Algorithmus mit linearerLaufzeitkomplexität in Abhängigkeit zum Eingabeparameter aus. Während diePlatzkomplexität bei der iterativen Variante konstant bleibt, wächst der Speicherbedarf bei der rekursiven Variante linear an, da bei jedem rekursiven Funktionsaufruf ein neuer Speicherbereich für die lokalen Variablen und die Rücksprungadresse reserviert werden muss. Bei der funktionalen Programmierung wird die dynamische Speicherverwaltung durch einenAufrufstapel realisiert.
Das nächste Beispiel implementiert dieFibonacci-Folge in der ProgrammierspracheC. Bei der rekursiven Variante handelt es sich um eine Mehrfachrekursion, die zu einer exponentiellen Laufzeit- und Platzkomplexität führt. Die rekursiven Funktionsaufrufe verzweigen sich zu einemBinärbaum, bei dem identische Teilergebnisse mehrfach berechnet werden. Am häufigsten werden die Fibonaccizahlen an den ersten beiden Stellen berechnet, welche die Abbruchbedingung in der Rekursion definieren. Bei der iterativen Variante ist die Laufzeitkomplexität linear und die Platzkomplexität konstant.
Dieexplizite Form (oder auch geschlossene Form genannt) der Rekursionsgleichung lässt sich beispielsweise durch die Erzeugende Funktion finden. Eine zweite Möglichkeit bietet dasAbleiten durch Differenzenbildung aufeinanderfolgender Funktionswerte der Rekurrenz.
Verschiedene Arten des Gebrauchs von Rekursion in verschiedenen und weiteren Wissenschaften
Das Konzept der Rekursion wird in verschiedenen Disziplinen auf unterschiedliche Weise verwendet. Es lassen sich fünf Arten des Gebrauchs unterscheiden: Von der „linear-iterativen“ Rekursion in Mathematik und Informatik und der „generativ-hierarchischen“ Rekursion in Grammatik und Linguistik unterscheiden sich die „organisatorisch-syntaktische“ Rekursion in der Kognitionspsychologie, die „operativ-funktionale“ Rekursion in der Techniktheorie und die „prozessemulative“ Rekursion in der Kulturevolutions- und Zivilisationstheorie.[7]
Einen „organisatorisch-syntaktischen“[8] Begriff der Rekursion arbeitete derevolutionäre KognitionspsychologeMichael Corballis in seinem BuchThe Recursive Mind[9] aus. Er zeigt, dass die menschliche Fähigkeit zur prinzipiell beliebig tiefen Verschachtelung von Sinn- und Handlungsebenen und zur offenen syntaktischen Aneinanderreihung von Operationseinheiten, wie sie grundsätzlich im Werkzeugverhalten und der Kooperation auftreten, der Sprachfähigkeit vorausgeht und ein allgemeines Merkmal der menschlichen Kognition und Handlungsorganisation ist. So beruhen die beim Menschen stark ausgeprägten Vermögen zumentalen Zeitreisen und zurTheory of Mind grundsätzlich auf dem Vermögen zur Rekursion.[10]
Einen „operativ-funktionalen“[11] Begriff der Rekursion entwickelte der SysthemtheoretikerW. Brian Arthur in seinem BuchThe Nature of Technology[12]. Arthur zeigt, dass alle Technologien eine hierarchische Verschachtelung von Elementen und Funktionsebenen aufweisen, wobei die unteren Elemente ihre operative Funktionalität durch Rekursion zu den oberen Ebenen erhalten, wie er am Beispiel eines Flugzeugträgerverbandes illustriert: Die Turbine eines Kampfjets besteht aus Einzelteilen oder „executables“[13] wie Schrauben und Luftschaufeln, die rekursiv in die Gesamtfunktion der Turbine eingebettet sind, wie zugleich die Turbine ein rekursiv verschachteltes „executable“ des Kampfjets, der Kampfjet ein „executable“ des Flugzeuträgerverbands und dieser ein „executable“ eines Geschwaders ist.[14]
Die gesamte technologische und kulturelle Entwicklung in derKulturevolution undZivilisationsgeschichte weist das Muster der „prozessemulativen“[15] Rekursion auf, wie der Soziologe Davor Löffler nachgewiesen hat. „Prozessemulative“ Rekursion bezeichnet einen Entwicklungsmechanismus, bei dem ein instrumenteller oder geistiger Vorgang abstrahiert und als materielle oder mediale Emulation wieder eingeführt wird. Dies lässt sich an der frühen Technikevolution nachweisen, in der Entwicklungsstufen jeweils als Grade der Rekursion beschrieben werden können. Dem gegenwärtigen Kenntnisstand nach, zusammengefasst im „Modell der Erweiterung kultureller Kapazitäten“[16], folgen entwicklungsgeschichtlich auf einfacheSteinwerkzeuge („Modularkultur“[17], >2,6Ma) Kompositwerkzeuge wie Hammersteine mit Griff oder Speere mit Knochenspitzen („Kompositkultur“[18], >500ka), hierauf aus komplementären, voneinander unabhängigen Modulen zusammengesetzte Apparate wie Pfeil-und-Bogen oder Nadel und Faden („Komplementärkultur“[19], >70ka), hierauf ideelle Werkzeuge wie Höhlenmalereien, Musikinstrumente oder Fallen („ideelle Kultur“[20], >40ka). Die Technologiestrukturen der kumulativ aufeinander aufbauenden Entwicklungsstufen gründen jeweils auf der „prozessemulativen“ Rekursion der Vorgänge der vorherigen Stufen. Beispielsweise emuliert der Apparat des Pfeil-und-Bogens („Komplementärkultur“) rekursiv den Vorgang des Speerwurfs („Kompositkultur“), und die Falle („ideelle Kultur“) emuliert rekursiv die Anwesenheit einer Jägergruppe bzw. der Fallenmechanismus den Auslösemechanismus des Bogens („Komplementärkultur“). Die „prozessemulative“ Rekursion durchzieht als allgemeines Prinzip die gesamte Technikgeschichte: So beruht beispielsweise der Mikrowellenherd auf der „prozessemulativen“ Rekursion, da darin der Vorgang der Erhitzung von Nahrung etwa durch einen Ofen emuliert wird; die digitale Mustererkennung beruht auf der prozessemulativen Rekursion menschlicher Mustererkennung usw. Es wurde gezeigt, dass das Entwicklungsprinzip der „prozessemulativen“ Rekursion auch den Entwicklungen der gesamten Zivilisationsgeschichte zugrunde liegt und neben der Technologie auch in anderen Bereichen auftritt, etwa der Ökonomie, den Medien, der Politik, der Entwicklung von Kognitionsstrukturen, der Kunst und der Mathematik, wobei wiederum jede Entwicklungsstufe dieser Bereiche auf der rekursiven Emulation der Vorgänge der vorherigen Entwicklungsstufe beruht.[21] So lassen sich kumulativ aufeinander folgende Entwicklungsphasen der Zivilisationsgeschichte (frühe Hochkulturen,Achsenzeit undNeuzeit) als Ausdruck von „prozessemulativen“ Rekursionen erklären.[22]
↑Niklaus Wirth, Seite 149: 3. Rekursion, 3.1. Einleitung
↑Niklaus Wirth:Algorithmen und Datenstrukturen. B. G. Teubner 1983, Seite 150: „Das Wesentliche der Rekursion ist die Möglichkeit, eine unendliche Menge von Objekten durch eine endliche Aussage zu definieren.“
↑abHadumod Bußmann (Hrsg.):Lexikon der Sprachwissenschaft. Alfred Kröner Verlag, Stuttgart 1990, S. 640:Rekursion ist in der Linguistik ein Begriff, “der die formale Eigenschaft von Grammatiken bezeichnet, mit einem endlichen Inventar von Elementen und einer endlichen Menge von Regeln eine unendliche Menge von Sätzen zu erzeugen.” (zitiert neben Beispielen aus Sprache, Natur, Kunst und Dichtung Mathematik und Programmierung, u. a. z. B. in uni-leipzig:Rekursion in der Sprache).
↑Siehe z. B. Andrew Carnie:Constituent Structure. Second edition. Oxford University Press, 2010. Zum Thema Rekursivität v. a. S. 84ff.
↑Lediglich für die SprachePirahã ist die These vorgebracht worden, dass sie keine Rekursion in der Grammatik kennen würde, da es keine Nebensätze gebe. Diese Analyse ist umstritten, für Details siehe den verlinkten Artikel.
↑Zu diesen fünf Typen siehe Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, S. 195–204.
↑Vgl. Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, S. 197 f.
↑ Michael C. Corballis,The Recursive Mind. The Origins of Human Language, Thought, and Civilization. Princeton, NJ/Oxford: Princeton University Press, 2013.
↑Vgl. Michael C. Corballis:The Recursive Mind. The Origins of Human Language, Thought, and Civilization. Princeton, NJ/Oxford: Princeton University Press, 2013, S. 82–165.
↑Vgl. Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, S. 198 f.
↑W. Brian Arthur:The Nature of Technology. What It Is and How It Evolves. London: Penguin Books, 2009.
↑Vgl. W. Brian Arthur:The Nature of Technology. What It Is and How It Evolves. London: Penguin Books, 2009, S. 29
↑Vgl. W. Brian Arthur:The Nature of Technology. What It Is and How It Evolves. Penguin Books, London 2009, S. 39–44.
↑Vgl. Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, S. 199–204.
↑Miriam N. Haidle, Michael Bolus, Mark Collard et al.:The Nature of Culture: An Eight-Grade Model for the Evolution and Expansion of Cultural Capacities in Hominins and other Animals. In:Journal of Anthropological Sciences, Jg. 93, 2015, S. 43–70.
↑Vgl. Miriam N. Haidle, Michael Bolus, Mark Collard et al.:The Nature of Culture: An Eight-Grade Model for the Evolution and Expansion of Cultural Capacities in Hominins and other Animals. In:Journal of Anthropological Sciences, Jg. 93, 2015, S. 56 f.
↑Vgl. Miriam N. Haidle, Michael Bolus, Mark Collard et al.:The Nature of Culture: An Eight-Grade Model for the Evolution and Expansion of Cultural Capacities in Hominins and other Animals. In:Journal of Anthropological Sciences, Jg. 93, 2015, S. 57 f.
↑Miriam N. Haidle, Michael Bolus, Mark Collard et al.:The Nature of Culture: An Eight-Grade Model for the Evolution and Expansion of Cultural Capacities in Hominins and other Animals. In:Journal of Anthropological Sciences, Jg. 93, 2015, S. 58.
↑Miriam N. Haidle, Michael Bolus, Mark Collard et al.:The Nature of Culture: An Eight-Grade Model for the Evolution and Expansion of Cultural Capacities in Hominins and other Animals. In:Journal of Anthropological Sciences, Jg. 93, 2015, S. 58–60.
↑Eine zusammenfassende Tabelle findet sich in Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Weilerswist: Velbrück Wissenschaft, 2019, S. 600 f.
↑Vgl. Davor Löffler:Generative Realitäten I. Die Technologische Zivilisation als neue Achsenzeit und Zivilisationsstufe. Eine Anthropologie des 21. Jahrhunderts. Velbrück Wissenschaft, Weilerswist 2019, S. 621–640.
