Weyl besuchte das GymnasiumChristianeum inAltona.[1] Auf Empfehlung des Direktors, der ein CousinDavid Hilberts war und den die Begabung des Jungen beeindruckte, begann Weyl nach seinem Abitur 1904 inGöttingen bei Hilbert Mathematik und nebenbei auch Physik zu studieren. Er belegte zudem Kurse in Philosophie beiEdmund Husserl, wobei er seine spätere FrauHelene kennenlernte. Bis auf ein Jahr (1905) inMünchen studierte er in Göttingen, wo er 1908 bei David Hilbert mit der Arbeit „Singuläre Integralgleichungen mit besonderer Berücksichtigung des Fourierschen Integraltheorems“ promoviert wurde, sich 1910habilitierte und bis 1913 alsPrivatdozent lehrte.
1913 heiratete er Helene Joseph aus Ribnitz, die später viele Werke des spanischen PhilosophenJosé Ortega y Gasset übersetzte. Mit ihr hatte er zwei Söhne. Im gleichen Jahr erhielt er eine Professur für den Lehrstuhl derGeometrie an derEidgenössischen Technischen Hochschule Zürich, wo erAlbert Einstein kennenlernte, der zu jener Zeit (1916–1918) gerade seineAllgemeine Relativitätstheorie entwickelte, was Weyl zur intensiven Beschäftigung mit den mathematischen Grundlagen der Allgemeinen Relativitätstheorie und deren möglichen Erweiterungen (etwa zur Berücksichtigung der Elektrodynamik und eines Eichparameters), insbesondere aber mit der zugrunde liegendenDifferentialgeometrie anregte.
1918 veröffentlichte er eines der ersten Lehrbücher der Allgemeinen Relativitätstheorie (neben Lehrbüchern vonMax von Laue undArthur Eddington),Raum, Zeit, Materie.
Einen Ruf nach Göttingen, die Nachfolge vonFelix Klein anzutreten, schlug er aus. Erst 1930, nachdem Hilberts Lehrstuhl verwaist war, nahm er an: Hilberts Nachfolger zu werden, war für ihn eine Ehre, die er nicht ablehnen konnte. Jedoch fiel ihm der Wechsel von Zürich nach Göttingen nicht leicht, da er die politische Radikalisierung und den Aufstieg desNationalsozialismus in derWeimarer Republik mit Besorgnis sah, wie er 1930 in einer Ansprache vor der Göttinger Mathematischen Verbindung zum Ausdruck brachte: „Nur mit einiger Beklemmung finde ich mich aus ihrer [der traditionell demokratischen Schweiz] freieren und entspannteren Atmosphäre zurück in das gähnende, umdüsterte und verkrampfte Deutschland der Gegenwart.“[2] Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet, und 1933 sah er sich außerstande, im von den Nationalsozialisten beherrschten Deutschland zu lehren, zumal seine Frau Jüdin war. In seinem aus Zürich am 9. Oktober 1933 abgeschickten Entlassungsgesuch an den neuen nationalsozialistischen UnterrichtsministerBernhard Rust schrieb er: „Daß ich in Göttingen fehl am Platze bin, ist mir sehr bald aufgegangen, als ich im Herbst 1930 nach 17-jähriger Tätigkeit an der Eidgenössischen Technischen Hochschule Zürich dorthin als Nachfolger von Hilbert übersiedelte.“[2] Durch Vermittlung von Albert Einstein nahm er eine Stellung amInstitute for Advanced Study inPrinceton an, wo er bis 1951 wirkte. In Princeton starb 1948 seine Frau Helene, und er heiratete 1950 die Bildhauerin Ellen Bär, Tochter vonRichard Bär aus Zürich, von der die Hermann-Weyl-Büste stammt, die in den Universitäten von Princeton, Zürich und Kiel zu seinem Gedenken steht. Seine letzten Lebensjahre verbrachte er vorwiegend in Zürich.[3] 1955 erhielt er die Ehrenbürgerwürde seiner Geburtsstadt Elmshorn, kurz darauf verstarb er unerwartet in Zürich aufgrund eines Herzanfalls, den er beim Versenden von Post an einem Briefkasten erlitt.[4]
Weyl hieß bei engen Freunden Peter Weyl, zum Beispiel unter den Schrödingers. In Zürich hatte er ein Verhältnis mitErwin Schrödingers Frau Anny, was an der Freundschaft mit Schrödinger nichts änderte, da die Schrödingers in offener Beziehung lebten.[5] Weyls Ehefrau Helene (genannt Hella) wiederum hatte in dieser Zeit eine offene Beziehung mitPaul Scherrer.
Weyl hat sich mit vielen Gebieten der Mathematik beschäftigt und schrieb mehrere Bücher und über 200 Zeitschriftenartikel.
Er begann als Analytiker, entsprechend den Interessen der Hilbertschule am Anfang des 20. Jahrhunderts (Integralgleichungen,Spektraltheorie), und habilitierte 1910 über singuläre Differentialgleichungen und ihre Entwicklung in Eigenfunktionen, die unter anderem in der mathematischen Physik wichtig sind (später „Spektraltheorie selbstadjungierter Operatoren“ genannt). 1915 (Rendicondi Circolo Mathematico di Palermo) bestimmte er die asymptotische Verteilung derEigenwerte derLaplacegleichung und zeigte, dass der erste Term proportional dem Volumen ist, was die Physiker (unter anderemHendrik Antoon Lorentz) bei der Untersuchung derHohlraumstrahlung, die die ersten Zusammenhänge zwischenQuantenmechanik und klassischer Theorie lieferte, schon vermutet hatten. Andere Parameter außer dem Volumen spielen keine Rolle. Die allgemeine Frage, ob man aus dem Spektrum (den Eigenschwingungen) auf die geometrische Form eines Gebietes schließen kann, popularisierteMark Kac in seinem Aufsatz „Can one hear the shape of a drum?“ (American Mathematical Monthly 1966).
Weniger bekannt ist, dass Weyl seinen Zürcher KollegenErwin Schrödinger nicht unwesentlich bei dessen grundlegendem Aufsatz zur quantentheoretischen Wellenmechanik unterstützte, indem er ihm den Weg zur Lösung derSchrödingergleichung beim Wasserstoffatom wies.[6]
1913 veröffentlichte er das BuchDie Idee der Riemannschen Fläche, in dem die vorher eher heuristisch eingebrachten topologischen Methoden strenger behandelt wurden und das moderne Konzept der Mannigfaltigkeiten erstmals systematisch eingesetzt wurde.
Seit seinem Buch über die Allgemeine Relativitätstheorie war Weyl an Verbindungen zur Physik stark interessiert. Er formulierte die zugrundeliegende Differentialgeometrie allgemeiner und flexibler unter Einführung eines affinenZusammenhangs. InRaum, Zeit, Materie und in seinem AufsatzGravitation und Elektrizität von 1918 führt er erstmals das Konzept einerEichtheorie ein, jedoch zunächst nicht in der heutigen Form, sondern durch einen lokal veränderlichen Skalenfaktor. Die Idee dahinter war, dass beiParalleltransport eines Vektors längs einer geschlossenen Kurve nicht nur die Richtung verändert wird (was durch die Krümmung ausgedrückt wird), sondern auch die Länge veränderlich sein konnte. Er hoffte so die Elektrodynamik in die Theorie einzubinden. Als die Elektrodynamik umfassende Erweiterung der Theorie wurde sie schnell vonAlbert Einstein als den Experimenten widersprechend verworfen. Das BuchRaum, Zeit, Materie entwickelt systematisch denRiccischen Tensorkalkül und benutzt die Parallelverschiebung (vonTullio Levi-Civita eingeführt) von Vektoren als fundamentalen Begriff.
Weyl ist der Begründer der Eichfeldtheorien im heutigen Sinn, in einer Arbeit von 1929, mit Eichtransformationen als Phasenfaktoren der quantenmechanischen Wellenfunktionen.[7]
Die Analyse der Ideen vonBernhard Riemann undHermann von Helmholtz zu den Raumformen, die unter „vernünftigen“ physikalischen Voraussetzungen möglich sind, griff Weyl in seinen spanischen VorlesungenDie mathematische Analyse des Raumproblems 1920 auf. Dies führte ihn zu Anwendungen derGruppentheorie, aus der sich seine Beschäftigung mit kontinuierlichen Gruppen entwickelte (Lie-Gruppen).
Seine wichtigsten Arbeiten (Mathematische Zeitschrift, Bände 23/24, 1925/1926) sind vielleicht in der Theorie der Lie-Gruppen zu sehen, derenDarstellungstheorie er untersucht, wobei er globale Konzepte wieMannigfaltigkeiten einbringt, statt der bis dahin überwiegenden lokalen Aspekte derLie-Algebra. Beispielsweise erklärte er erstmals die Spinoren aus der Topologie derDrehgruppe. Außerdem schlägt er hier eine Verbindung zu den Methoden der vonFerdinand Georg Frobenius undIssai Schur entwickelten Darstellungstheorie endlicher Matrixgruppen vor. Weyl gibt eine allgemeine Formel („Weyl-Charakterformel“) für die Charaktere der irreduziblen Darstellungenhalbeinfacher Lie-Gruppen, indem er die schon vonElie Joseph Cartan undWilhelm Killing untersuchten Lie-Algebren mit Spiegelungsgruppen, denWeyl-Gruppen, untersucht. Nach ihm ist dieWeylsche Integralformel in der Theorie der Liegruppen benannt.
Ein weiteres wichtiges Resultat seiner Arbeit ist derSatz von Peter-Weyl (Mathematische Annalen 1927), den er zusammen mit seinem StudentenFritz Peter (1899–1949) formulierte. SindSinus und KosinusorthogonaleFunktionensysteme in Bezug auf dieTranslationsgruppe in einer Dimension, so gibt es solche für allgemeinekompakte Lie-Gruppen G (bei denen ein invariantes (Haar-)Maß als Integral über die Gruppenelemente definiert werden kann). In diesem Funktionenraum, einemHilbertraum, sind nach dem Peter-Weyl-Theorem die Darstellungen der Gruppe G durch irreduzible Darstellungen derunitären Gruppe gegeben.
InGruppentheorie und Quantenmechanik gab er 1928 (etwas vor den Büchern vonBartel Leendert van der Waerden undEugene Wigner) eine Darstellung der gruppentheoretischen Aspekte (und allgemein der mathematischen Aspekte) der Quantenmechanik, speziell der Darstellungstheorie der unitären und orthogonalen Gruppen (die wiederum nachIssai Schur mit denen dersymmetrischen Gruppe zusammenhängen). Im BuchThe classical groups von 1939 erweiterte er dies auf alle klassischen Gruppen und schuf die Verbindung zur klassischen Invariantentheorie, einem wichtigen Teil der Algebra des 19. Jahrhunderts.
Zusammen mit seinem SohnFritz Joachim Weyl veröffentlichte er 1943 das BuchMeromorphic functions and analytic curves, in dem dieNevanlinnascheWertverteilungstheorie meromorpher Funktionen auf analytische Kurven verallgemeinert wird.
Seit seinem Studium bei Hilbert war Weyl an Zahlentheorie interessiert (nach eigener Angabe verbrachte er mit dem Studium von HilbertsZahlbericht in den Semesterferien die glücklichsten Monate seines Lebens). Beispielsweise veröffentlichte er in den Mathematischen Annalen 1916 einen Aufsatz über analytische ZahlentheorieGleichverteilung der Zahlen mod 1. Darin zeigte er, dass die Nachkommastellen der Vielfachen einer irrationalen Zahl nicht nur im Intervall [0,1] dicht liegen, wieLeopold Kronecker bewies, sondern gleichverteilt sind. Sie lassen sich also gut alsZufallszahlen verwenden. Weyl veröffentlichte 1921 zudem eine Methode zur Abschätzung einerExponentialsumme, diese wird heute in der analytischen Zahlentheorie alsWeyls Methode bezeichnet.[8]
Im BuchSymmetrie gibt er eine populäre Darstellung des Gruppenkonzepts, von Schneekristallen, Ornamenten (Gruppen aus ebenen Translationen und Spiegelungen/Drehungen) bis zur Symmetrie von Gleichungen unter Vertauschung der Wurzeln (Galoistheorie).
Weyls erste Reaktion auf die logischen und mengentheoretischen Antinomien, die Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik aufrüttelten, war sein BuchDas Kontinuum von 1918. Obwohl er in einem Aufsatz von 1910 Beiträge zur axiomatischen Mengenlehre leistete, war er ab 1917 zunehmend kritisch der Mengenlehre gegenüber eingestellt und ihrer Rolle als Grundlage der Analysis,[9] wo er tiefliegende Zirkelschlüsse vermutete, und wollte in der Grundlegung wieHenri Poincaré zu elementaren Konzepten wie den natürlichen Zahlen und wenigen logischen Prinzipien zurückkehren. Wenig später wandte er sich in einem Aufsatz, der große Aufmerksamkeit fand (Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik, Jahresbericht DMV, 1921), demIntuitionismus vonLuitzen Egbertus Jan Brouwer zu und damit gegen das Programm seines LehrersDavid Hilbert zu einer axiomatischen Grundlegung der Mathematik auf Basis der Mengenlehre. Weyl hatte den Intuitionismus aus persönlichen Diskussionen mit Brouwer beim Urlaub in der Schweiz 1919 kennen gelernt, nachdem Brouwer ihn in relativer Isolation im Ersten Weltkrieg entwickelt hatte.[10] Dabei schlug Weyl in seinem Aufsatz einen kämpferischen Ton ein, der Bezüge zu den politischen Umwälzungen nach dem Ersten Weltkrieg herstellte. Hilbert war darüber irritiert, er sah im Intuitionismus mit seinen Einschränkungen für die mathematische Forschung einen Rückschritt (beispielsweise lehnte der Intuitionismus nichtkonstruktive Existenzbeweise ab) und fühlte sich an die apodiktisch verkündete Reduzierung der Mathematik auf die Arithmetik und Ablehnung der Mengenlehre durchLeopold Kronecker in seiner Jugendzeit erinnert. Während Brouwer damals wenig beachtet wurde, war Weyls Aufsatz Auslöser desGrundlagenstreits der Mathematik zwischen Intuitionisten undFormalisten, zumal Weyl ein prominenter Vertreter der Hilbert-Schule war. Weyl kam später wieder vom Intuitionismus ab, den er für zu einschränkend hielt. Er näherte sich wieder seinem Zugang von 1918 und schwankte zwischenKonstruktiver Mathematik und der Axiomatik der Hilbert-Schule.
Weyl war philosophisch interessiert seit seiner Jugend, als erImmanuel Kants Kritik der reinen Vernunft las mit Raum und Zeit als A-priori-Konzepte der Erkenntnis (auch wenn ihm später die zu enge Bindung an die euklidische Geometrie bei Kant missfiel). Ab 1912 war er stark vonEdmund Husserl und dessen Phänomenologie beeinflusst, was sich auch in einigen Stellen seines Buches„Raum, Zeit, Materie“ niederschlug. 1927 erschien sein BeitragPhilosophie der Mathematik und der Naturwissenschaften zumHandbuch der Philosophie im Oldenbourg Verlag, der später separat und überarbeitet als Buch erschien. In einem Versuch der Rekonstruktion der Ursprünge der Philosophie von Hermann Weyl und deren Einbettung in die Hauptströmungen der Philosophie wiesNorman Sieroka[11][12][13] auf intensive langjährige Diskussionen von Weyl mit seinem Züricher PhilosophenkollegenFritz Medicus hin, einem Spezialisten fürJohann Gottlieb Fichte. Fichtes Wissenschaftslehre und Philosophie, nach der sich das „Sein“ aus der Wechselwirkung des „absoluten Ichs“ mit seiner materiellen Umgebung ergibt, ist danach auch von großem Einfluss auf Weyl und spiegelt sich in der Verwendung des Umgebungsbegriffs der Topologie (Kontinuum) bei Weyl wider und in Weyls Auffassung der Allgemeinen Relativitätstheorie, neben den direkt aus den Schriften von Weyl bekannten Einflüssen derPhänomenologie von Edmund Husserl. Weiter finden sich nach Sieroka bei Weyl Einflüsse der Theorie der Materie vonGottfried Wilhelm Leibniz (Monadenlehre u. a.)[14] und des Deutschen Idealismus (Dialektik von Fichte) in Weyls philosophischer Interpretation des physikalischen Materiebegriffs im Rahmen der Quantentheorie und Allgemeinen Relativitätstheorie und bezüglich der Wechselwirkung eines Symbols mit seiner Umgebung in einem mathematischen Theoriegebäude auch in Weyls Philosophie der Mathematik (Auseinandersetzung Formalismus-Intuitionismus unter dem Einfluss Brouwers).[15] Weyl hatte in den 1920er Jahren noch vor Entwicklung der Quantenmechanik und angeregt durch die damals immer deutlicher werdende statistische Natur der Quantentheorie eine Abkehr von der feldtheoretischen Beschreibung der Materie hin zu einer Theorie aktiver (agens) Materie gemacht, was sich durch Einbeziehung der räumlichen Umgebung in der feldtheoretischen Beschreibung ausdrückte. Zuvor hatte er die Allgemeine Relativitätstheorie und seine eigenen Erweiterungen derselben, die zum Ursprung des heutigen Konzepts von Eichfeldtheorien führte, mit differentialgeometrischen Methoden beschrieben. Unter dem Eindruck der Quantentheorie wandte er sich von dieser „geometrischen Feldtheorie“ ab. Fichte undErnst Cassirer waren nach Sieroka auch ein wichtiger Einfluss in der Spätphilosophie von Weyl (Wissenschaft als „symbolische Konstruktion“). Weniger bekannt war noch Weyls Beschäftigung mitMartin Heidegger.[16]
Ehrendoktor der Eidgenössischen Technischen Hochschule 1945 und der Universitäten Oslo 1929, Pennsylvania 1940, Sorbonne (Paris) 1952, Columbia-Universität New York 1954 und der Technischen Hochschule Stuttgart 1929.
Die Idee der Riemannschen Fläche, Teubner 1997 (zuerst 1913, in Neuauflage mit Beiträgen von Patterson, Hulek, Hildebrandt, Remmert, Schneider; Hrsg.: R. Remmert: TEUBNER-ARCHIV zur Mathematik, Suppl. 5, 1997)weiss-leipzig.de.
Das Kontinuum – kritische Untersuchungen über die Grundlagen der Analysis, Leipzig, von Veit und Comp., 1918Online.
Gravitation und Elektrizität, Sitzungsberichte Preuss. Akademie der Wiss., Januar–Juni 1918, S. 465 (wieder abgedruckt in Lorentz, Einstein, MinkowskiDas Relativitätsprinzip).
Was ist Materie? – Zwei Aufsätze zur Naturphilosophie, Springer, Berlin 1924.
Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft, München: Oldenbourg Verlag 1927 [= Handbuch der Philosophie, hrsg. vonAlfred Baeumler undManfred Schröter, Teil A], 6. Auflage, München: Oldenbourg Verlag 1990Online.
Gruppentheorie und Quantenmechanik, Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1977 (Nachdruck der 2. Auflage 1931, zuerst Leipzig, Hirzel 1928).
The classical groups – their invariants and representations, Princeton University Press 1939, 1946, 1961.
Elementary theory of invariants, Institute for Advanced Study 1936.
Meromorphic functions and analytic curves, Princeton University Press 1943.
Symmetrie: Ergänzt durch den Text ,Symmetry and Congruence aus dem Nachlass und mit Kommentaren vonDomenico Giulini,Erhard Scholz undKlaus Volkert, Springer Spektrum 2017
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Algebraische Zahlentheorie, BI Hochschultaschenbuch 1966.
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Erhard Scholz:Philosophy as a cultural resource and medium of reflection for Hermann Weyl. 2004,arxiv:math.HO/0409596
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↑Rezension von Sierokas BuchUmgebungen vonThomas Ryckman in Hopos, Band 3, 2013, S. 164–168
↑Sieroka:Weyl’s “agens theory” of matter and the Zurich Fichte, Studies in History and Philosophy of Science, Part A, Band 38, 2007, S. 84–107.
↑Sieroka,Theoretical construction in physics – The role of Leibniz for Weyl’s “Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft.” Studies in History and Philosophy of Science, Part B, Band 61, 2018, S. 6–17.
↑Vgl. Wolfgang Deppert, Kurt Hübner, Arnold Oberschelp, Volker Weidemann (Hrsg.):Exact Sciences and their Philosophical Foundations. Exakte Wissenschaften und ihre philosophische Grundlegung. Vorträge des Internationalen Hermann-Weyl-Kongresses, Kiel 1985. Lang, Frankfurt am Main 1988.Inhalt (Memento vom 9. Mai 2015 imInternet Archive)
