In derMaßtheorie, einem Teilgebiet derMathematik, das sich mit der Verallgemeinerung von Volumenbegriffen beschäftigt, beschreibt dieHahn-Jordan-Zerlegung, wie man einsigniertes Maß in einen negativen und einen positiven Teil zerlegen kann. Teilweise wird die Zerlegung auch als zwei separate Aussagen angegeben, man nennt sie dann denHahnschen Zerlegungssatz und denJordanschen Zerlegungssatz. Die beiden Sätze sind eng miteinander verbunden. Der Hahnsche Zerlegungssatz wurde vonHans Hahn 1921 bewiesen, die Benennung des Jordanschen Zerlegungssatzes bezieht sich aufMarie Ennemond Camille Jordan, der1881 gezeigt hat, dass sich eineFunktionbeschränkter Variation als Differenz zweiermonoton wachsender Funktionen darstellen lässt.

Sei${\displaystyle (X,\mathcal{A})}$ einMessraum und${\displaystyle \mu }$ einsigniertes Maß auf diesem Messraum.

Dann existiert einePartition der Grundmenge${\displaystyle X}$ in einepositive Menge${\displaystyle P}$ und einenegative Menge${\displaystyle N}$, also${\displaystyle X=P\cup N}$ und${\displaystyle P\cap N=\mathrm{\varnothing }}$.

Die Zerlegung des Grundraumes ist bis auf eine${\displaystyle \mu }$-Nullmenge eindeutig. Ist also${\displaystyle P^{\ast },N^{\ast }}$ eine weitere Hahn-Zerlegung, so ist${\displaystyle P\mathrm{△}{P}^{\ast }=N\mathrm{△}{N}^{\ast }}$ und${\displaystyle \mu (P\mathrm{△}{P}^{\ast })=\mu (N\mathrm{△}{N}^{\ast })=0}$. Dabei bezeichnet${\displaystyle \mathrm{△}}$ diesymmetrische Differenz.

Mittels des Hahnschen Zerlegungssatzes lassen sich dieVariation, diepositive Variation und dienegative Variation definieren. Die Variation wird teils auchTotalvariation odertotale Variation genannt. Diese Bezeichnung ist jedoch zweideutig, da sie teilweise auch für die aus der Variation konstruierte Norm, dieTotalvariationsnorm, verwendet wird.

Ist${\displaystyle \mu }$ ein signiertes Maß mit Hahn-Zerlegung${\displaystyle N,P}$, so heißt

${\displaystyle {\mu }^{+}(A):=\mu (A\cap P)}$

diepositive Variation von${\displaystyle \mu }$,

${\displaystyle {\mu }^{-}(A):=-\mu (A\cap N)}$

dienegative Variation von${\displaystyle \mu }$ und

${\displaystyle |\mu |(A):={\mu }^{+}(A)+{\mu }^{-}(A)}$

dieVariation von${\displaystyle \mu }$.

• ${\displaystyle {\mu }^{+}}$,${\displaystyle {\mu }^{-}}$ und${\displaystyle |\mu |}$ sind Maße auf${\displaystyle (X,\mathcal{A})}$.
• Da die Hahn-Zerlegung bis auf Nullstellen eindeutig ist, hängen die obigen Definitionen nicht von der Wahl der Zerlegung ab.
• Die Kennzahl${\displaystyle |\mu |(X)}$ heißt auch dieTotalvariationsnorm eines signierten Maßes.
• Die positive Variation und die negative Variation sindsingulär zueinander.

Der Jordansche Zerlegungssatz fasst noch einmal die Zerlegung des signierten Maßes zusammen. Er lautet: ist${\displaystyle \mu }$ ein signiertes Maß, so ist

${\displaystyle \mu ={\mu }^{+}-{\mu }^{-}}$

und${\displaystyle {\mu }^{+}}$ und${\displaystyle {\mu }^{-}}$ sind singulär zueinander, also${\displaystyle {\mu }^{+}\perp {\mu }^{-}}$.

Gegeben sei dersignierte Maßraum${\displaystyle (\mathrm{\Omega },2^{\mathrm{\Omega }},\mu )}$ mit${\displaystyle \mathrm{\Omega }=\{1,2\}}$ und mit${\displaystyle \mu (\{1\})=3}$ und${\displaystyle \mu (\{2\})=-4}$. Es ist${\displaystyle P=\{1\}}$ und${\displaystyle N=\{2\}}$.

${\displaystyle A}$	${\displaystyle \mu (A)}$	${\displaystyle |\mu (A)|}$	${\displaystyle {\mu }^{+}(A)}$	${\displaystyle {\mu }^{-}(A)}$	${\displaystyle |\mu |(A)}$
${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \{1\}}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 3}$
${\displaystyle \{2\}}$	${\displaystyle -4}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 4}$
${\displaystyle \{1,2\}=\mathrm{\Omega }}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 3}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 7}$

${\displaystyle \mu }$ ist ein signiertes Maß;${\displaystyle {\mu }^{+},{\mu }^{-}}$ und${\displaystyle |\mu |}$ sind Maße. Die Mengenfunktion${\displaystyle |\mu (\cdot )|}$ ist nicht additiv und darf nicht mit der Totalvariation${\displaystyle |\mu |(\cdot )}$ verwechselt werden. Die Totalvariationsnorm des signierten Maßes${\displaystyle \mu }$ ist${\displaystyle |\mu |(\mathrm{\Omega })=7}$.

• Camille Jordan:Sur la Série de Fourier. In:Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences. Bd. 92, Nr. 5, 1881,ISSN 0001-4036, S. 228–230,Digitalisat.
• Jürgen Elstrodt:Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009,ISBN 978-3-540-89727-9,doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke:Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013,ISBN 978-3-642-36017-6,doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

• Beweis der grundlegenden Aussagen zur Hahn-Jordan-Zerlegung (pdf, englisch; 62 kB)

• Maßtheorie