Ladistància és la longitud del camí més curt entre dues entitats. Enmatemàtiques, per a un conjunt d'elements es defineix formalment ladistància com a qualsevolfunció binària de en que compleixi les següents propietats:
No negativitat:
Simetricitat:
Identitat dels indiscernibles:
Desigualtat triangular:
El conjunt amb una distància definida sobre ell s'anomenaespai mètric.
Aquestes propietats les compleix la distància euclidiana o geomètrica, que és la que correspon al concepte quotidià de distància, però hi ha altres distàncies que s'aparten d'aquest concepte.Vegeu exemples d'altres distàncies a l'articleespai mètric.
En general, existeixen altres definicions de distància o mètrica en el pla euclidià o en altres conjunts. Una mètrica indueix una topologia sobre aquest conjunt. També és possible definir altres funcions, similars a la distància habitual, però amb condicions més febles, que tenen propietats especials.
Es denominadistància entre dos punts A(x1,y1) i B(x₂,y₂) a la longitud delsegment que uneix A i B. S'expressa matemàticament com:
Ladistància entre un punt P i una recta R és la longitud del camí més curt que uneix el punt P(x1,y1) amb la recta R = Ax + By + C. Matemàticament s'expressa com:
La distància entre dues rectes paral·leles és la longitud del camí més curt entre una d'elles i un punt qualsevol de l'altra.
Ladistància entre un punt P i un pla L és la longitud del camí més curt entre el punt P(x1,i1,z1) i el pla L = Ax + By + Cz + D. Matemàticament s'expressa:
Des d'un punt de vista formal, per a unconjunt d'elements es defineixdistància omètrica com qualsevolfunció matemàtica o aplicació de en que verifiqui les condicions següents:
No negativitat:
- És a dir, la distància és zero si i només si s'indueix sobre el mateix punt
Si deixem d'exigir que, s'obté el concepte depseudodistància opseudomètrica.
La distància és el concepte fonamental de la topologia d'espais mètrics. Unespai mètric no és altra cosa que un parell, on és un conjunt en què definim una distància.
En cas que tinguéssim un parell i fos una pseudodistància sobre, llavors diríem que tenim unespai pseudomètric.
Si és un espai mètric i, podem restringir a de la següent forma: de forma que si llavors (és a dir,). L'aplicació és també una distància sobre, i com comparteix sobre els mateixos valors que, es denota també de la mateixa manera, és a dir, direm que és subespai mètric de.
En primer lloc, en les condicions donades, sempre existirà aquesta distància, doncs té per domini, així que per a qualsevol existirà un únic valor real positiu. Per la completesa de i com que la imatge de d està fitada inferiorment per 0, queda garantida l'existència de l'ínfim d'aquest conjunt, és a dir, la distància del punt al conjunt.
Si llavors.
Pot ser que però, per exemple si és unpunt d'adherència de. De fet, laclausura de és precisament el conjunt dels punts de que tenen distància 0 a.
Els casos de distància d‟un punt a una recta o de distància d‟un punt a un pla no són més que casos particulars de la distància d‟un punt a un conjunt, quan es considera la distància euclidiana.
Es pot utilitzar el mètode següent:Donat un punt (n,m) que no pertany a la recta f(x),1) Trobeu l'equació de la recta perpendicular a f(x) que passa per (n,m). Això porta dos passos: trobar el pendent (pendent perpendicular) i trobar l'ordenat a l'origen (reemplaçant el punt (n,m) i aclarint).2) Trobar la intersecció entre aquestes dues rectes. Això comporta dos passos: trobar la x de la intersecció per igualació, trobar la i de la intersecció substituint la x en qualsevol de les dues equacions. Amb això s'obté el punt (o,p)3) Trobar la distància entre (n,m) i (o,p).
Per la mateixa raó que abans sempre està definida. A més, però pot passar que i tanmateix. És més, podem tenir dos conjunts tancats la distància dels quals sigui 0 i no obstant siguin disjunts, i fins i tot que tinguin clausures disjuntes.
Per exemple, el conjunt i el conjunt. D'una banda,, i, i de l'altra.
La distància entre dues rectes, la distància entre dos plans, etc. no són més que casos particulars de la distància entre dos conjunts quan es considera la distància euclidiana.
Distància del camí més curt en una superfície corba
Rutes aèries entreLos Angeles iTòquio segueixen aproximadament una ruta directa decercle màxim (a dalt), però utilitzen elcorrent en Jet (a baix) quan es dirigeixen cap a l'est. La ruta més curta apareix com una corba en lloc d'una línia recta perquè laprojecció del mapa no escala totes les distàncies per igual en comparació de la superfície esfèrica real de la Terra
La distància en línia recta entre dos punts de la superfície de la Terra no és gaire útil per a la majoria dels propòsits, ja que no podem fer un túnel recte a través del mantell terrestre. En el seu lloc, se sol mesurar el camí més curt al llarg de lasuperfície de la Terra,a vol d'ocell. Això s'aproxima matemàticament mitjançant ladistància ortodròmica en una esfera.
En termes més generals, el camí més curt entre dos punts al llarg d'unasuperfície corba es coneix com a geodèsica. La longitud d'arc de les geodèsiques dona una forma de mesurar la distància des de la perspectiva d'una formiga o una altra criatura no voladora que visqui en aquesta superfície.
Les definicions inusuals de distància poden ser útils per modelitzar certes situacions físiques, però també es fan servir en matemàtiques teòriques:
A la pràctica, sovint s'està interessat en la distància de viatge entre dos punts al llarg de les carreteres, en lloc de vol d'ocell. En un pla quadriculat, la distància de viatge entre els cantons dels carrers ve donada per ladistància Manhattan: el nombre de pomes est-oest i nord-sud que cal travessar per arribar entre aquests dos punts.
La distància del tauler d'escacs, formalitzada com adistància de Txebixov, és el nombre mínim de moviments que unrei ha de realitzar en untauler d'escacs per desplaçar-se entre dues caselles.
Moltes nocions abstractes de distància utilitzades en matemàtiques, ciència i enginyeria representen un grau de diferència o de separació entre objectes similars. En aquesta pàgina se'n donen alguns exemples.
En ungraf, ladistància entre dos vèrtexs es mesura per la longitud delcamí d'aresta més curt entre ells. Per exemple, si el graf representa una xarxa social, llavors la idea de si graus de separació es pot interpretar matemàticament com que la distància entre dos vèrtexs sigui com a màxim sis. De la mateixa manera, elnúmero d'Erdős i elnúmero de Bacon—el nombre de relacions de col·laboració que separen una persona del prolífic matemàticPaul Erdős i de l'actorKevin Bacon (vegeuSis graus de Kevin Bacon), respectivament—són distàncies en els grafs les arestes dels quals representen col·laboracions matemàtiques o artístiques.
En la psicologia, la geografia humana i les ciències socials, la distància es teoritza sovint no com una mesura numèrica objectiva, sinó com una descripció qualitativa d'una experiència subjectiva.[4] Per exemple, ladistància psicològica és "les diferents formes en què un objecte pot estar allunyat" del jo al llarg de dimensions com "el temps, l'espai, la distància social i la hipotètica".[5] Ensociologia, ladistància social descriu la separació entre individus ogrups socials ensocietat al llarg de dimensions comclasse social,raça/ètnia, gènere osexualitat.
La majoria de les nocions de distància entre dos punts o objectes descrites anteriorment són exemples de la idea matemàtica d'unmètric. Unafunció mètrica ofunció de distància és unafunciód que pren parells de punts o objectes anúmeros reals i satisfà les regles següents:
La distància entre un objecte i si mateix és sempre zero.
La distància entre objectes diferents és sempre positiva.
La distància éssimètrica: la distància dex ay és sempre la mateixa que la distància dey ax.
La distància satisfà ladesigualtat del triangle: six,y iz són tres objectes, llavors Aquesta condició es pot descriure informalment com “les parades intermèdies no et poden accelerar."
Com a excepció, moltes de lesdivergències utilitzades en estadística no són mètriques.
«Level Set Based Shape Prior Segmentation» (en inglés). 2005 IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition (CVPR'05), 2, de 2005, pàg. 1164–1170. 10.1109/CVPR.2005.212.
«The Directed Distance» (en inglés). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Arxivat de l'original el 2016-11-10. [Consulta: 18 setembre 2018].
