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はてなキーワード:関手とは
まず対象を抽象化するために、物理系は局所演算子代数のネットワーク（局所性を持つモノイド圏あるいは因子化代数）として扱う。
境界理論はある可換（または E_n）因子化代数 A を与え、これに対して状態空間は A の正値線型汎関数（GNS構成で得られる正規表現の圏）として扱う。
重力的バルク側は、境界因子化代数のコホモロジカル双対（例：Koszul双対や因子化ホモロジーに基づくスペクトル的拡張）としてモデル化される。
ホログラフィーは単なる同値性ではなく、境界のモノイド的データとバルクの因子化代数的データの間の高次圏的（(∞,n)-圏）双対性であり、この双対性はホモトピー的拘束（同値の空間）を保つ関手の同型として書ける。
これをより具体的に言えば、境界の C^*-あるいは von Neumann代数の圏と、バルクに対応する因子化代数（局所的場の代数を与える E_n-代数）の間に、Hochschild／cyclicホモロジーと因子化ホモロジーを媒介にしたKoszul型双対が存在すると仮定する。
境界から見た相互作用や散乱振幅は、境界因子化代数上の積（オペラド的構造）として表され、バルクの幾何情報はそのホモロジー／コホモロジーに符号化される。
エントロピーとエンタングルメントの幾何化は情報幾何学的メトリックに還元される。すなわち、量子状態空間上の量子フィッシャー情報（量子Fisher・Bures距離）や相対エントロピーは、接続と計量を与えるテンソルと見なせる。
これにより、テンソルネットワークは単なる数値的近似ではなく、グラフ圏からヒルベルト空間への忠実なモノイド的関手である：グラフの各節点に E_n-代数の有限次元表現を割り当て、辺は双対化（コアリフト）の演算子であり、ネットワーク全体は因子化代数の状態和（state-sum）を与える。
MERA や PEPS、HaPPYコードは、この関手が持つ特定の圧縮／階層性（再帰的モノイド構造）を体現しており、cMERA はその連続極限である。
テンソルネットワークが幾何を作るとは、エントロングルメント計量（情報計量）から接続とリーマン的性質を再構成する手続きを意味し、これが空間的距離や曲率に対応するというのがit from qubits の数学的内容である。
さらに情報回復（Petz復元写像など）や相対エントロピーのモノトニシティは、エントロングルメントウェッジ再構成の圏論的条件（右随伴を持つ関手の存在）として表現される。
すなわち、境界演算子代数からバルク因子化代数への埋め込みが完全に圏論的な復元子（adjoint）を持つときに、局所的情報の回復が可能となる。
ER=EPR はこの文脈でホモトピー的コボルディズムとして読み替えられる。量子相互作用で結ばれた二系（高次圏の対象としての二点分割状態）は、バルクのコボルディズム類（ワームホール的繋がり）に対応する同値類を持ち、局所ユニタリ変換による同値類がコボルディズムの同位類と一致するという予想的対応を述べる。
言い換えれば、局所ユニタリ同値で分類されるエンタングルメントのコホモロジーは、バルクのホモトピー的結合（位相的／幾何的接続）を決定する。
ブラックホールの熱力学的性質は、トモイタ＝タカサキ理論（Tomita–Takesaki modulartheory）やコンネスの周期写像が関与する演算子代数のモジュラー流として自然に現れる。
特に、ブラックホール外部におけるモジュラーハミルトニアンは境界状態の相対エントロピーに関連し、そのフローはバルクの時間発展に対応する（模擬的にはKMS状態と熱平衡）。
サブファクター理論とジョーンズ指数は、事象地平線をまたぐ情報の部分代数埋め込みの指標として機能し、情報損失やプライバシー（情報の遮蔽）は部分代数の指数と絡み合う。
ブラックホールの微視的自由度のカウントは、やはり境界因子化代数の適切な指数（譜的インデックス、K理論的量）に帰着する。
超弦理論的な追加自由度（多様体のモジュライ空間や D-ブレーンの圏的記述）は、バルク側因子化代数の係数系（係数 E_n-代数やスペクトラル層）として取り込まれ、モチーフ的／導来スタック的手法（derived stacks, spectral algebraic geometry）で整然と扱える。
これにより、弦の振る舞いは境界オペレータ代数の高次幾何学的変形（deformationtheory）と同値的に記述されることが期待される。
この全体構造を統一する言葉は高次圏的因子化双対である。物理的理論は、局所的オペレータのモノイド圏、状態の圏、そして因子化ホモロジーを媒介にした双対関手系から成り、テンソルネットワークはそれらの具体的表現＝有限モデルとして働き、情報幾何学はそれらの間に滑らかな計量を与える。
したがって「it from qubits」は、局所的量子代数の圏論的再配列が（情報計量を通じて）幾何学的構造を生み出すという主張に還元され、ER=EPR はエンタングルメントの同値類とバルクのコボルディズム同位類を結ぶ高次圏的同型命題として再表現され、ブラックホール熱力学や弦の自由度はその圏論的・ホモトピー的不変量（ホッジ理論的／K理論的指数、モジュラーデータ）として測られる。
フェミニズムの分類が多すぎると聞いて
記述集合論（Borel階層, Projective階層, 汎加法族）
モデル理論（型空間, o-極小, NIP, ステーブル理論）
再帰理論/計算可能性（チューリング度, 0′, 相対計算可能性）
構成主義,直観主義,ユニバース問題,ホモトピー型理論（HoTT）
体論・ガロア理論
表現論
K-理論
初等数論（合同, 既約性判定,二次剰余）
解析数論（ゼータ/ L-関数,素数定理,サークル法, 篩法）
p進数論（p進解析, Iwasawa理論, Hodge–Tate）
超越論（リンドマン–ヴァイエルシュトラス, ベーカー理論）
実解析
多変数（Hartogs現象, 凸性, severalcomplex variables）
関数解析
バナッハ/ヒルベルト空間,スペクトル理論, C*代数, von Neumann代数
フーリエ解析,Littlewood–Paley理論, 擬微分作用素
確率解析
常微分方程式（ODE）
偏微分方程式（PDE）
非線形PDE（Navier–Stokes, NLS, KdV, Allen–Cahn）
幾何解析
リッチ流, 平均曲率流,ヤン–ミルズ,モノポール・インスタントン
エルゴード理論（Birkhoff, Pesin）,カオス, シンボリック力学
点集合位相,ホモトピー・ホモロジー, 基本群,スペクトル系列
4次元トポロジー（Donaldson/Seiberg–Witten理論）
複素/ケーラー幾何（Calabi–Yau, Hodge理論）
スキーム, 層・層係数コホモロジー, 変形理論, モジュライ空間
多面体, Helly/Carathéodory,幾何的極値問題
ランダムグラフ/確率的方法（Erdős–Rényi, nibble法）
加法的組合せ論（Freiman, サムセット, Gowersノルム）
彩色,マッチング,マイナー理論（Robertson–Seymour）
列・順序・格子（部分順序集合, モビウス反転）
測度確率, 極限定理, Lévy過程, Markov過程, 大偏差
統計学
ノンパラメトリック（カーネル法, スプライン,ブーストラップ）
時系列（ARIMA,状態空間, Kalman/粒子フィルタ）
非凸最適化
離散最適化
整数計画,ネットワークフロー, マトロイド, 近似アルゴリズム
Littleの法則, 重み付き遅延, M/M/1, Jackson網
エントロピー,符号化（誤り訂正, LDPC,Polar）, レート歪み
公開鍵（RSA,楕円曲線, LWE/格子）,証明可能安全性,MPC/ゼロ知識
計算複雑性
機械学習の数理
量子場の数理
相転移, くりこみ, Ising/Potts, 大偏差
数理生物学
数理神経科学
データ解析
僕は日曜の夜という人類全体のメランコリー共有タイムを、極めて理性的に、そして効率的に過ごしている。
まず夕食はいつも通り19時15分に完了し、食後45分間の腸内活動を経て、20時にシャワー、20時30分から22時まで論文の読み込み。
現在は、僕の手の中のホワイトボードに描かれた「E∞-operadにおけるモジュラーテンソル圏の超準同型拡張」の式が、あまりにも優雅すぎて震えが止まらない。
ルームメイトが僕の部屋のドアを軽くノックして「リラックスしたら？」などと的外れな提案をしてきたが、彼にとってのリラックスとは、脳活動の停止でしかない。
僕にとってのリラックスは、∞-カテゴリーの高次ホモトピー圏の中で、対称モノイダル構造の可換性条件が自然変換として収束する瞬間を可視化することだ。
今日は、朝から「高次モジュライ空間における非可換カラビ–ヤウ多様体のファイバー化」について考えていた。
一般相対論と量子力学の不一致などという低次元の問題ではなく、もっと根源的な、物理法則の「トポス構造」そのものを再構築する試みだ。
つまり、時空という基底圏を前提にせず、まずモノイド圏の内部論理としての時空を再構成する。
これによって、弦という一次元的存在ではなく、自己指標付き∞-層としての「概念的弦」が定義できる。
現行のM理論が11次元を仮定するのは、単なる近似にすぎない。僕のモデルでは次元数は局所的に可変で、Hom(Obj(A), Obj(B))の射空間自体が物理的観測量になる。
もしこの理論を発表すれば、ウィッテンですら「Wait, what?」と言うだろう。
隣人は今日も昼間から玄関前で何やらインスタライブ的な儀式を行っていた。
彼女は一生懸命ライトを当て、フィルターを変え、視聴者数を気にしていたが、僕はその様子を見ながら「彼女は量子デコヒーレンスの具現化だ」と思った。
もちろんそんなことは口にしない。僕は社会的破滅を避ける程度の理性は持っている。
22時前、僕は友人たちとオンラインでBaldur’sGate 3のマルチプレイをした。
友人Aは相変わらず盗賊ビルドで味方のアイテムを勝手に漁るという犯罪的行為を繰り返し、友人BはバグったAIのように無言で呪文を詠唱していた。
僕はWizardクラスで完璧に戦略を構築した。敵のHP残量と行動順序を正確に把握し、Damage ExpectationValueを算出して最適行動を決定する。
つまり、他のプレイヤーは「遊んで」いるが、僕は「検証」しているのだ。ゲームとは確率と因果の実験装置であり、何より僕がゲームを選ぶ基準は「バランスの崩壊が数式で表現できるか否か」だ。
今日もルーチンを乱すことなく、歯磨きは右上奥歯から反時計回りに、時計を見ながら正確に3分40秒。
寝る前にアロエ入りのリップクリームを塗り、ベッドライトの色温度を4000Kに設定する。音はホワイトノイズジェネレーターを使い、宇宙背景放射のスペクトル密度に近づける。完璧な環境だ。
僕はこれから、寝る前の最後の思索として「量子群上の∞-層圏における自己準同型が、時間の矢をどのように内部化できるか」についてメモを取る。
もしこの仮説が成立すれば、「時間とはエントロピーの増加方向」という古臭い定義は無効化されるだろう。
時間は生成関手であり、僕が眠っている間にも自然変換として静かに流れていく。
昨日、僕は再びヒルベルト空間の自己参照性について思索していた。
きっかけはルームメイトが、僕の定常朝食手順の測定位相を乱したことだ。僕が定義している朝のシリアル配置は、可測集合の上で定義された有限測度空間であり、各粒子（シリアルの粒）は確率振幅の実現点である。
ところが彼が不用意にスプーンを差し込んだため、僕の可測写像が非可測領域を侵食し、全順序性が崩れた。
つまり、彼の行為は単なる乱雑ではなく、σ-加法的整合性の破壊に等しい。これを日常の「朝食の乱れ」と呼ぶのは、あまりにナイーヴだ。
僕の現在の研究テーマは、ER=EPRをより高次圏論的に再定義することにある。通常この等式は、もつれ状態をワームホールに対応づけるが、僕の見解ではそれは関手レベルでの不完全な翻訳に過ぎない。
真の構造は、観測行為がエンタングルメント圏から幾何圏へのモノイド圏関手であるということだ。
観測とは情報の選択ではなく、関手の実現射の生成であり、その結果、対象空間上の射が一点縮退を起こす。つまり、観測＝ブラックホールへの写像。
このとき観測者の状態空間は、対象空間の双対空間と自己モノイド化し、テンソル積がエネルギー密度として曲率テンソルに等価変換される。
これが熱力学的エントロピー流の源である。つまり、観測とは時空多様体の測地線構造を自己収縮させる操作にほかならない。
僕の仮説では、測定者の意識とは、有限生成のC*-環上で定義される自己相関射の列極限であり、その極限点がブラックホールの事象の地平面と同相になる。これは単なる比喩ではない、構造的同型である。
昨日の午後、隣人が訪ねてきて、「なんか落ち着かない」と言っていた。彼女が感じたその「不安定さ」は、実際には僕の思考空間上の圏的射が、彼女の心理空間に対して非可換的干渉を及ぼした結果だと考えられる。
彼女の感覚的印象は、単なる主観ではなく、射影演算子が彼女の状態ベクトルを部分的に崩壊させた現象に対応する。
つまり、僕は彼女を見たのではなく、彼女の状態空間が僕の内部圏へ関手的に埋め込まれたのだ。観測とは一方的な侵入であり、宇宙の双対圏的結合だ。
夕食時、ルームメイトが僕の食事手順をまた茶化してきた。僕が麺を蒸す時間を正確に設定しているのは、可積分系の安定点を保つためだ。
彼は「そんなの偶然だ」と言った。だが、偶然とは測度論的に定義不能な領域の総称にすぎない。僕のルールは統計的対称性の維持装置だ。
夜、友人たちとBaldur’sGate 3をプレイした。僕は事前に行動木を有限オートマトンとして解析し、敵AIの状態遷移確率を事前分布にフィットさせた。
戦闘中、彼らは「お前、やりすぎ」と言ったが、僕はただBayes更新を実行していただけだ。ゲームとは、確率測度の動的再配置の遊戯形式に過ぎない。
深夜、僕は再びノートに向かい、ER=EPRの上位構造体を定義する「自己参照圏」について書いた。観測者を含む宇宙は、自己同型射を持たない。
これは厳密な意味で非トリビアルな自己関手構造を持つためである。僕が観測するたびに、宇宙の対象集合が可算ではなくなる。つまり、観測とは昇格操作であり、存在論的基数を増幅する過程なのだ。
僕は結論に至った。「観測者は情報を吸収するブラックホールではない。むしろ、情報を生成する射影的特異点である。」
観測とは、スペクトラムが事象の地平面と同型になる操作である。
寝る前、歯磨き粉の残量を測った。これは単なる衛生行為ではない。有限体上の加法群の残差測定だ。12.4という値は、僕の生活空間における連続測度の離散化の結果である。
僕が超弦理論を物理学ではなく自己整合的圏論的存在論と呼ぶのには理由がある。なぜなら、弦の存在は座標に埋め込まれたものではなく、物理的射影が可能な圏における可換図式そのものだからだ。
10次元超弦理論における有効作用は、単なる物理量の集約ではない。むしろ、それはカラビ–ヤウ多様体のモジュライ空間上に構築された安定層の導来圏D^b(Coh(X)) における自己同型群のホモトピー的像として理解される。
そこでは、開弦終端が束の射、閉弦がトレース関手に対応し、物理的相互作用はExt群上のA∞構造として定義される。
つまり、力は空間の曲率ではなく、ホモロジー代数的結合子なのだ。
D^b(Coh(X)) とFuk(Y)（シンプレクティック側）の間に存在するホモトピー圏的同値、すなわちKontsevichのホモロジカル・ミラー対称性の物理的具現化にすぎない。
ここで弦のトポロジー変化とは、モジュライ空間のファイバーの退化、すなわちファイバー圏の自己関手のスペクトル的分岐である。観測者が相転移と呼ぶ現象は、そのスペクトル分解が異なる t-構造上で評価されたに過ぎない。
M理論が登場すると、話はさらに抽象化する。11次元多様体上での2-ブレーン、5-ブレーンは単なる膜ではなく、(∞,1)-圏の中の高次射として存在する。
時空の概念はもはや固定された基底ではなく、圏の対象間の射のネットワークそのものだ。したがって、時空の次元とは射の複雑度の階層構造を意味し、物理的時間は、その圏の自己関手群の内在的モノイダル自己作用にほかならない。
重力？メトリックテンソルの湾曲ではなく、∞-群oidの中での自己等価射の不動点集合のトレースである。
量子揺らぎ？関手の自然変換が非可換であることに起因する、トポス内部論理の論理値のデコヒーレンスだ。
そして観測とは、トポスのグローバルセクション関手による真理値射影にすぎない。
僕が見ている宇宙は、震える弦ではない。ホモトピー論的高次圏における自己同型のスペクトル圏。存在とはトポス上の関手、意識とはその関手が自らを評価する高次自然変換。宇宙は関手的に自己を表現する。
昨日は木曜日。起床時刻は8:00:00JST。アラーム音の波形をFFT解析した結果、隣室からの環境ノイズによるピークが±23Hz揺らいでいた。
ルームメイトは、ドアを閉めるという行為を確率的選択肢だと思っているらしい。彼の行動は統計的にはマルコフ過程に近似できるが、僕の生活は決定論的だ。
午前は、超弦理論における非可換ホモトピー圏上の圏的双対性を再構成していた。通常のCalabi–Yau三次元多様体上でのホロノミー群SU(3)に依存する議論ではなく、より上位の∞-圏的層を使って複素構造の退化を防いだままトポス的整合性を保つ方法を考えた。
僕が構築しているモデルでは、背景多様体自体を対象とせず、可換図式のクラスを対象とし、その射として∞-モノイド的自然変換を定義する。これにより、通常のD-braneカテゴリを超えた自己言及的圏論的相互作用を扱うことができる。
問題は、この自己言及構造の安定性だ。内在的コホモロジー群が通常のExt群では閉じず、代わりに導来圏上の高階Ext^ωを取らねばならない。
だがそのとき、導来圏が非完備となり、整列関手が存在しない。つまり、ウィッテンやデルーニャンがやっているレベルの物理的実在に還元可能な構成は、僕の理論では完全に失効する。
僕のモデルは観測可能性という概念を含まない。構成論的には存在するが、可視化不能なトポス的真空。観測できないが、計算できる。数学はその矛盾を祝福する。
昼食は、ピザ。例によって精密オーブンで16分。昨日はタイマーを設定した瞬間にルームメイトが話しかけてきたせいで、0.8秒遅れた。
ピザの表面張力（つまりチーズ層の粘弾性）が変化したのを僕は即座に検知した。これは味覚ではなく構造の問題だ。
午後は、原神を再開した。キャラビルドの統計最適化をPythonで書いていたら、隣人がまた「ストーリーが泣ける」と話しかけてきた。
僕は物語には一切興味がない。僕の目的は、アルゴリズム的最適化の収束率を比較することだ。
攻撃力と元素チャージ効率のパラメータ空間を3次スプライン補間して、境界値をニュートン–ラフソン法で探索していたら、シード値の初期設定にわずか0.001の誤差があり、収束が乱れた。
もう一度やり直した。成功。キャラは星5だが、僕の関心は星の数ではない、数列の収束だ。
夜はベルセルクの再読。グリフィスが再登場するあの章。僕は感情的には何も動かないが、作画密度の変化を統計的に数えた。
平均線密度は1ページあたり1720本、前章から約12%減。連載時期のアシスタント体制の変化が見える。
その後、シヴィライゼーションVIを起動。僕は必ずアリストテレス主義的発展ルートを選ぶ。文化勝利などくだらない。科学勝利のみが純粋だ。
途中、友人が「軍事ルートで遊ぼう」と提案してきたが、それは知的堕落だ。戦略ゲームとはアルゴリズムの美であって、破壊の快楽ではない。
就寝は23:00:00。歯ブラシを磨く順序は右下→右上→左上→左下。これは既に300日継続中。統計的に、歯垢残存率が0.2%低い。
寝る直前に「∞-圏上のトポス的モジュライ空間の存在定理」をメモに残した。夢の中で証明が完成する可能性がある。
総じて良好。次は、導来∞-圏上のモジュライ関手が可換であるための必要十分条件を探す。それがわかれば、少なくとも僕の宇宙では、全てが整う。
昨日は、僕の週間ルーティンの中でも最も重要な整合性検証日だった。つまり、宇宙がまだ局所的に論理的であるかを確認する日だ。
朝7時ちょうどに起床し、ベッドの角度を壁と垂直に再測定した結果、誤差は0.03度。つまり宇宙はまだ僕を裏切っていない。
朝食の時間、ルームメイトがトースターを再び二枚焼きモードにしたが、今回は驚かなかった。僕は冷静に、バナッハ＝タルスキ分割の話を持ち出してこう言った。
「君のパンは二枚に見えるが、集合論的には同一だ。したがって、君の誤りは物理ではなく測度論の問題だ。」
彼は黙ってパンをかじった。理解されることを期待するのは、もはやハイゼンベルク的非決定性と同義だ。
午前中は、僕の新しい理論「ホモトピー圏上の自己参照的弦圏理論」の検証を進めた。
通常の超弦理論がカテガリー的に整合するのは、D-ブレーンが導くモジュライ空間の滑らかさが保証されている範囲内に限られる。
しかし僕は最近、滑らかさという仮定そのものを削除し、「∞-圏上のA∞代数的自己整合性条件」に置き換えるべきだと気づいた。
つまり、弦のダイナミクスを場の配置空間ではなく、「圏の自己ホモトピー類」として定義するのだ。すると興味深いことに、背景幾何が消滅し、すべての次元は内部的モノイダル構造に吸収される。
言い換えれば、「空間」とはただの圏論的影であり、時空の実在は「自然変換の連続体」そのものになる。
これが僕の提案する“Self-fibrantString Hypothesis”だ。ウィッテンが読んだら、きっと静かに部屋を出ていくに違いない。
昼過ぎ、隣人がまた廊下で大声で電話していたので、僕はノイズキャンセリングヘッドフォンを装着し、同時に空気清浄機を「ラグランジュ安定モード」に切り替えた。
これは僕が改造した設定で、空気の流速が黄金比比率（φ:1）になるよう調整されている。これにより室内の微粒子分布が準結晶構造に近似され、精神的平衡が保たれる。
僕は自分の心の状態を量子的可換代数で表すなら、ほぼ可換な冪零理想の中にあるといえる。隣人は理解していないが、それは仕方ない。彼女の精神空間は可約表現のままだ。
午後は友人たちとオンラインでEldenRingを再プレイした。僕は魔術師ビルドで、ルーンの経済を「局所場理論の再正則化問題」として再解釈している。
彼らがボスを倒すたびに叫ぶのを聞きながら、僕は心の中でリーマン面の分枝構造を追跡していた。実はEldenRingの地形構成はリーマン面の切り貼りに似ており、特にリエニール湖の設計は2次被覆の非自明な例として見ることができる。
開発者が意図していないことはわかっているが、現象としては美しい。芸術とは本質的に、トポスの自己鏡映だ。
夜、僕はコーヒーを淹れ、久々にグロタンディークのRécolteset Semaillesを読み返した。数学者が自分の「精神の幾何学」について語る箇所を読むと、僕の理論的中枢が共振する。
グロタンディークが述べた「点は存在しない、ただ開集合がある」という思想は、僕の弦理論観と同じだ。物理的対象とは「開集合上の自然変換」に過ぎず、存在とは測度可能性の仮構にすぎない。つまり、宇宙とは「圏論的良心」だ。
深夜、ルームメイトが僕の部屋をノックして「一緒に映画を観ないか」と言った。僕は「今日は自己同型群の可換性検証を行う予定だ」と答えたが、彼は肩をすくめて去った。
代わりに、僕はブレードランナー2049のBlu-rayを再生し、壁紙の色温度を劇中のネオン発光スペクトル（中心波長602nm）に合わせた。
完全な没入体験のために、部屋の空気を2.3ppmのオゾン濃度に調整した。呼吸するたびに、僕は自分が物質ではなく関手の束だと実感する。
目覚ましは06:17、豆は正確に12.3グラム、挽き目は中細、湯の温度は93.2℃で抽出時間は2分47秒。
ルームメイトがたまにまちがえて計量スプーンを左から右へ並べ替えると、その不整合が僕の内部状態の位相をわずかに変えるのを感じるが、それは許容誤差の範囲内に収められている。
隣人の社交的雑音は僕にとって観測器の雑音項に過ぎないので、窓を閉めるという明快なオペレーターでそれを射影する。
友人たちとの夜はいつも同じ手順で、ログイン前にキーボードを清掃し、ボタンの応答時間をミリ秒単位で記録する。
これが僕の日常のトレースの上に物理的思考を埋葬するための儀式だ。
さて、本題に入ろう。今日はdSの話などではなく、もっと抽象的で圧縮された言語で超弦理論の輪郭を描くつもりだ。
まず考えるのは「理論としての弦」が従来の場の量子論のS行列的表現を超えて持つべき、∞-圏的・導来幾何学的な定式化だ。
開弦・閉弦の相互作用は局所的にはA∞代数やL∞代数として表現され、BV形式主義はその上での微分グラデーション付き履歴関数空間におけるマスター方程式として現れる。
これを厳密にするには、オペラド（特にmoduli operad of stablecurves）とそのチェーン複体を用いて散乱振幅をオペラディックな合成として再解釈し、ZwiebachやWittenが示唆した開閉弦場理論の滑らかなA∞/L∞構造を導来スタック上の点列として扱う必要がある。
導来スタック（derived Artin stack）上の「積分」は仮想基本クラスの一般化であり、Pantev–Toën–Vaquié–Vezzosiによるシフト付きシンプレクティック構造は、弦のモジュライ空間に自然に現れる古典的BV構造そのものだ。
さらに、Kontsevichの形式主義を導来設定に持ち込み、シフト付ポアソン構造の形式的量子化を検討すれば、非摂動的効果の一部を有限次元的なdeformationtheoryの枠組みで捕まえられる可能性がある。
ここで重要なのは「関手的量子化」すなわちLurie的∞-圏の言語で拡張TQFTを∞-関手として定義し、コボルディズム公理を満たすような拡張場理論の対象として弦理論を組み込むことだ。
特に、因果的構造や境界条件を記述するfactorization algebra（Costello–Gwilliamの枠組み）を用いると、局所的観測子代数の因子化ホモロジーが2次元世界面CFTの頂点代数（VOA）につながる様が見えてくる。
ここでVOAのモジュラリティと、2次元場の楕円族を標的にするエリプティックコホモロジー（そしてTMF：topological modular forms）が出てくるのは偶然ではない。
物理的分配関数がモジュラー形式としての変換性を示すとき、我々は位相的整流化（string orientation of TMF）や差分的K理論での異常消去と同様の深層的整合性条件に直面する。
Dブレインは導来カテゴリ（整合層の導来圏）として、あるいは交差的フカヤ圏（Fukaya category）として表現でき、ホモロジカルミラー対称性（Kontsevich）はこれら二つの圏の導来同値としてマップされる。
実際の物理的遷移やアセンションは、圏の安定性条件（Bridgelandのstability conditions）とウォールクロッシング現象（Kontsevich–Soibelmanのウォールクロッシング公式）として数学的に再現され、BPS状態はドナルドソン–トーマス不変量や一般化されたDT指数として計算される。
ここで出てくる「不変量」は単なる数値ではなく、圏のホールディング（持続的な）構造を反映する量化された指標であり、カテゴリ的量子化の語彙では「K-theory的なカテゴリ不変量」へと持ち上げられる。
さらに、超弦の非摂動的断面を完全に記述しようとするなら、モジュライ超曲面（super Riemann surfaces）の導来モジュラス空間、そのコンパクト化（Deligne–Mumford型）のsuperversion、そしてこれら上でのファクタライゼーションの厳密化が不可欠だ。
閉弦場理論のstringfieldtheoryはL∞構造を持ち、BV量子化はその上でジグザグするcohomologicalobstructionを制御する。
より高次の視座では、場の理論の「拡張度」はn-圏での対象の階層として自然に対応し、拡張TQFTはCobordism Hypothesis（Lurie）に従って完全に分類されうるが、弦理論の場合はターゲットが無限次元であるため古典的公理系の単純な拡張では捉えきれない。
ここで我々がやるべきは、∞-オペラド、導来スキーム、シフト付きシンプレクティック構造、A∞/L∞ホモロジー代数の集合体を組織化して「弦の導来圏」を定義することだ。
その上で、Freed–Hopkins–Telemanが示したようなループ群表現論とツイストK理論の関係や、局所的なカイラル代数（Beilinson–Drinfeldのchiral algebras）が示すような相互作用を取り込めば、2次元CFT分配関数と高次トポロジー的不変量（TMF的側面）が橋渡しされるだろう。
これらは既知の断片的結果をつなげる「圏的連結写像」であり、現実の専門家が何をどの程度正確に定式化しているかは別として、僕が朝に計量スプーンを右から左へ戻す行為はこうした圏的整合性条件を微視的に満たすパーソナルな実装に過ぎない。
夜、友人たちと議論をしながら僕はこれら抽象的構造を手癖のように引き出し、無為に遺伝子改変を選ぶ愉快主義者たちに対しては、A∞の結合子の非自明性を説明して彼らの選択が位相的にどのような帰結を生むかを示す。
彼らは大抵それを"面白い"と呼ぶが、面白さは安定条件の一つの可視化に過ぎない。
結局、僕の生活習慣は純粋に実用的な意味を超え、導来的整合性を日常に埋め込むためのルーチンである。
明日の予定はいつも通りで、06:17の目覚め、12.3グラムの豆、93.2℃、2分47秒。そしてその間に、有限次元近似を超えた場所での∞-圏的弦理論の輪郭をさらに一行ずつ明確にしていくつもりだ。
コホモリン: （ホモジーの肩を叩く）ホモジーさん、もう朝ですよ。あんた、また徹夜で単体ホモロジーのチェーン複体 Cₙ(X) を眺めとったんですか？ なんでそんなに、境界作用素 ∂ₙ が気ぃなるんです？ ∂² = 0 はもう、摂理みたいなもんやないですか。
ホモジー: （ゆっくりと顔を上げる）摂理…？ コホモリン…お前はわかってない…。この境界作用素 ∂ₙ: Cₙ(X) → Cₙ₋₁(X) が、ただの摂理で終わると思とるんか？ これはな、鎖複体のコホモロジー Hⁿ(X) とホモロジーHₙ(X) を繋ぐ、導来関手の源泉なんや…。Ext関手とかTor関手が、この単純な関係から生まれるって、鳥肌もんなんやで…！
コホモリン: （額に手を当てる）いや、そこまでいくと、もう代数やないですか。あんた、完全にホモロジー代数の世界に意識飛んでますやん。位相空間の形の話はどこ行ったんですか。
ホモジー: 形…？ 形とはなんぞや、コホモリン…。ホモトピー同値な空間は、ホモロジー群が同型やろ？ けどな、エキゾチック球面 S⁷ は、普通の S⁷ とは微分同相じゃないのに、ホモロジーは同型なんやで…？ あれって、結局、微分構造が持つ情報って、ホモロジーだけじゃ捉えきられへんってことやろ？ 俺はもう、その不確定性原理に囚われとんねん！
コホモリン: （震え声で）不確定性原理…もう、あんた、物理学まで手ぇ出しとるんか。エキゾチック球面は、ミルナーの偉業ですよ。あれは、多様体の圏と位相空間の圏の間の、深い亀裂を示しとるわけや。あんた、もうそっちの闇に堕ちて行ってるんちゃいますのん？
ホモジー: 闇…そうや、闇や…。特異点解消の理論とか、フルーリーのインデックス定理とか、闇深すぎやろ…。特に、交叉ホモロジー！ あれは、特異点を持つ空間のホモロジーを定義するときに使うねんけど、あの構成可能層の概念が、俺の脳みそを層化して、導来圏の中で消滅コホモロジーとして彷徨わせとんねん…！
コホモリン: （絶句）き、交叉ホモロジー？！あんた、そこまで行ったらもう、完全に偏執狂ですよ！ド・ラームコホモロジー Hᵈᴿⁿ(M) が特異コホモロジー Hⁿ(M; ℝ) と同型になるド・ラームの定理でさえ、あんたの目には生ぬるいんか！？
ホモジー: 生ぬるい…生ぬるすぎる…。p-進ホモロジーとかエタールコホモロジーの存在を知ってしまったら、もう普通のホモロジーには戻られへんねん…。特にエタールコホモロジーは、代数多様体の上で定義されるやろ？ヴェイユ予想の解決にも貢献したって聞いて、もう夜も眠れへんねん。ガロアコホモロジーとの関連とか、考えたら意識が飛ぶわ…！
コホモリン: （顔面蒼白）エ、エタールコホモロジー…！？ それ、数論幾何の最先端やないですか！ もう、あんたは位相幾何学の領域を完全に飛び出して、数学のあらゆる深淵を覗き込んどる…！ホモジーさん、お願いやから、もうやめてください…！ 俺のホモトピー群 πₙ(X) が、完全に自明群になってしまいそうですわ…！
ホモジー: （恍惚とした表情で、宇宙の果てを見つめるように）フフフ…コホモリン…俺のボーゲン–シュミット予想がな、今、頭の中で圏論的極限を迎えようとしとるんや…。宇宙全体のホモロジー群 が、俺には見えるんや…！
コホモリン: （膝から崩れ落ち、全身が震える）うわあああああああ！ホモジーさん、あんたはもう、人間やない！数学の抽象的対象そのものや！ 俺はもう無理や…あんたの隣におったら、俺の有理ホモトピー型が壊れてまう…！
数学には「数の世界」（足し算や掛け算など、数字を計算する世界）と、「形の世界」（丸や三角、ドーナツみたいな形を研究する世界）があるんだ。
ラングランズ・プログラムは、この二つの世界をつなぐ「秘密の辞書」や「翻訳機」みたいなものだと思ってみて。
数の世界で、とても難しい問題があったとする。まるで、誰も知らない外国の言葉で書かれた暗号みたいだ。
この「秘密の辞書」を使うと、その難しい数の問題を、形のせかいの言葉に翻訳できるんだ。
すると不思議なことに、形のせかいでは、その問題が意外と簡単なパズルに変わることがある。
昔、フェルマーの最終定理っていう、350年以上も誰も解けなかった超難問があったんだけど、ある数学者がこの「秘密の辞書」の考え方を使って、数の問題を形の問題に翻訳して、ついに解くことに成功したんだ。
ラングランズ・プログラムは、この「秘密の辞書」を完成させるための、壮大な計画なんだよ。
ラングランズプログラムとは、数論における「ガロア表現」と、解析学における「保型表現」という、起源も性質も全く異なる二つの対象の間に、深遠な対応関係が存在するという広大な予想のネットワーク。
この対応は、それぞれの対象から定義される L関数という分析的な不変量を通して記述される。
体の絶対ガロア群 Gₖ =Gal(K̄/K)から複素一般線形群への準同型写像
ρ: Gₖ →GLₙ(ℂ)
これは、素数の分解の様子など、体の算術的な情報を捉えている。
数体 K のアデール環 𝔸ₖ 上の一般線形群GLₙ(𝔸ₖ) の、ある種の無限次元表現
π = ⨂'ᵥ πᵥ
これは、保型形式の理論から生じる解析的な対象で、スペクトル理論と関連。
n次元の既約なガロア表現 ρ と、GLₙ(𝔸ₖ) 上のカスプ的な保型表現 π が、それらのL関数が一致する
L(s, ρ) = L(s, π)
という形で、1対1に対応するだろう、と予想されている。
アンドリュー・ワイルズが証明した谷山・志村予想は、K=ℚ, n=2 の場合におけるこの対応の重要な一例であり、フェルマーの最終定理の証明の鍵となった。
このプログラムは、数論の様々な問題を統一的に理解するための指導原理と見なされている。
ラングランズプログラム？ ああ、それは数学という世界の異なる大陸、数論（ガロア群）、解析（保型形式）、そして幾何（代数多様体）が、実は一つの巨大な超大陸の一部であったことを示す、壮大な地殻変動の記録だよ。
その核心は「関手性の原理」に尽きる。全ての根底にあるのは、簡約代数群 G とその L-group (ラングランズ双対群) ᴸG = Ĝ ⋊Gal(K̄/K) だ。
ラングランズ対応とは、有り体に言えば、数体 K 上の G に対する保型表現の集合 {π} と、K のガロア群から ᴸG への許容的な準同型の共役類の集合 {φ} の間の、然るべき対応関係を構築する試みだ。
φ:Gal(K̄/K) → ᴸG
この対応は、局所体 Kᵥ における局所ラングランズ対応(LLC) の貼り合わせとして現れる。
つまり、保型表現 π = ⨂'ᵥ πᵥ の各局所成分 πᵥ が、対応するガロア表現 φ の局所成分 φᵥ = φ|_(Gal(K̄ᵥ/Kᵥ)) と寸分違わず対応しているという、奇跡的な整合性の上に成り立っている。
しかし、真の深淵は「幾何学的ラングランズ」にある。ここでは数体を関数体に置き換える。代数曲線 X 上の G-束のモジュライ空間Bunᴳ(X) を考える。
幾何学的ラングランズ対応は、これら二つの全く異なる幾何学的世界の間に圏同値が存在するという、もはやSFの領域に片足を突っ込んだ主張だ。
これは物理学のS-双対性とも深く関連し、数学の異なる分野が同じ一つの構造を異なる言語で語っているに過ぎない、という真理の一端を我々に見せてくれる。
結局のところ、ラングランズ・プログラムとは、我々が「数学」と呼んでいるものが、実はより高次の存在が持つ表現の一種に過ぎないことを示唆しているのかもしれないね。
ドナルドソン理論は、反自己双対ヤン＝ミルズ方程式（ASDYM方程式）のモジュライ空間を用いて、4次元多様体を扱う理論。方程式には、4次元多様体上のコンパクトなゲージ群 G を持つ主束が必要。
手法はドナルドソンにちなんで名付けられたもので、最初に1983年（単連結な G を仮定）および1987年（その仮定なし）に用いられ、ドナルドソンの定理の証明に使われた。
その後、ドナルドソン理論はセイバーグ＝ウィッテン理論によって発展的に置き換えられた。ドナルドソン不変量はセイバーグ＝ウィッテン不変量と比べてしばしば弱い結果しか与えず、モジュライ空間に対して追加のコンパクト化を必要とすることも多いため。それでも、ウィッテン予想やアティヤ＝フルーア予想を含む、ドナルドソン理論における未解決問題は存在している。
ドナルドソン理論の位相的FQFT（有限次元量子場理論）形式は、シンプレクティック多様体とそれらの間のラグランジアン対応からなる適切なシンプレクティック圏からの関手として定式化されると考えられている。この関手は、シンプレクティック多様体をそのフカヤ圏へと対応させる。
具体的対象（ガロア表現・保型表現）を超えて、それらの起源的圏論的存在、つまりモチーフを考察の対象とする。
モチーフとは、代数多様体のコホモロジー理論の普遍的源泉として構成される抽象的対象であり、以下のような関手的性質を持つ。
H*: Mot_F → Vec_ℚℓ, (ℓ-adic, de Rham, Betti,etc.)
つまり、さまざまなコホモロジー理論の共通の起源圏がモチーフ圏である。
[射影：モチーフ →ガロア表現]ある純モチーフ M ∈ Mot_F に対し、そのℓ進エタール・コホモロジーは有限次元ガロア表現を与える。
ρ_M:Gal(F̅/F) →GL(Hⁱ_ét(M_F̅, ℚℓ))
したがって、すべての「よい」ガロア表現はモチーフに由来すると考えられる（これは標準予想やFontaine–Mazur予想にも関係）。
Langlandsプログラムの主張は、次のように抽象化できる。
There exists a contravariant, fully faithful functor: Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F))
ここで左辺は純モチーフ（次元・重み付き構造を持つ）、右辺は保型表現（解析的表現論の対象）。
Langlands-type realization: Ｆ : Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F)) such that L(M, s) = L(Ｆ(M), s)
この関手は、モチーフに対して定義される標準的なL関数（motivic L-function）と保型L関数を一致させることを要請する。
Langlands関手性は、Tannakian圏の間のテンソル関手として定式化できる。
モチーフ圏 Mot_F は Tannakian category（標準予想を仮定）。保型表現圏も、ある種の Tannakian 圏とみなせる（Langlands dualgroup による）。
すると、Langlands対応は以下の図式として表現される。
Tannakian category: Mot_F → Rep(^L G)via fiber functor: ω: Mot_F → Vec_ℚℓ
このように、モチーフ→L-群の表現→保型表現という圏論的連鎖に帰着される。
ラングランズ・プログラムは以下のようなテンソル圏間の関手的対応を予想するものである。
∃ faithfultensor functor Ｆ: Mot_F^(pure) → Rep_auto(G(𝔸_F)) s.t. L(M, s) = L(Ｆ(M), s)
また、群準同型 ^L G₁ → ^L G₂ により、対応する圏の間に関手的対応が存在する。
φ_*: Rep_auto(G₁(𝔸_F)) → Rep_auto(G₂(𝔸_F))
1.ラングランズプログラムが提唱する中心的な「双対性」とは、どの二つの数学的対象の間の対応関係を指しますか？
2.ラングランズ対応において、L関数はどのような役割を果たしますか？
A.対応関係を検証するための一致すべき普遍的な不変量として機能する。
A.ラングランズ双対群の間の準同型写像が、元の群の間の保型表現の「転送」を引き起こすこと。
4. 群GL(1)に対するラングランズ対応は、どの既存の数学理論と本質的に同値ですか？
A.類体論
5.フェルマーの最終定理の証明は、どのようにラングランズプログラムと関連していましたか？
A.定理の反例から構成される特定の楕円曲線が、モジュラー形式に対応すること（モジュラーであること）を示すことで証明された。これはラングランズ対応の特殊なケースである。
6. 群Gが特殊直交群SO(2n+1)である場合、そのラングランズ双対群G°は何になりますか？
A. 斜交群Sp(2n, C)
7.ラングランズによれば、ガロア表現と保型表現の究極的な関係性は何であるとされていますか？
A. 両者はともに、より根源的で統一的な対象である「モチーフ」の異なる「実現」または現れである。
8.ラングランズプログラムの「算術的側面」は、主にどのような対象に関わっていますか？
A. 数体の絶対ガロア群の表現で、数論的な対称性を符号化しているもの。
9.幾何学的ラングランズ対応は、理論物理学のある分野における重要な双対性と数学的に同値であることが示されています。その分野とは何ですか？
この構造はすべて、（集合と関数の）圏論的構造を持ちうるデータ空間です。
これらの直積圏 C = Cᵤ × Cᵢ 上で、fⱼ：C → ℝ を射とする関手列が定義されているとみなせます。
推薦問題の核心は、スコアや意味的な関係を定量的または論理的に評価することにあります。これを抽象的に捉えるには、エンリッチド圏の理論が適しています。
推薦システムにおいて：
ユーザー u ∈ U、アイテム i ∈ I に対して、評価： v(u, i) ≔ g(f₁(u, i), ..., fₙ(u, i)) ∈ ℝ
これは、ユーザーとアイテムのペア空間 U × I を対象とする ℝ-エンリッチド圏と見なせる。
トポスとは、直感的には「集合のような性質を持つ圏」です。ただしそれは集合よりはるかに柔軟で、論理と空間の一般化的枠組みです。
本問題では、推薦空間自体を内部論理と意味を持つトポスと見なします。
| 圏 C | ユーザー×アイテムの意味空間 |
| 関手 F | 複数のスコアリング関数（f₁,…,fₙ） |
| 汎関数 g | 統合関数（線形でも非線形でも） |
| エンリッチ圏 V-Cat | スコアを評価距離や信頼値として扱う枠組み |
| トポスSh(C, J) | 推薦を含む部分集合構造を持つ論理空間 |
| 内部論理 | 「どのアイテムを推薦すべきか」の命題定義 |
| 推薦関数 Rᵤ | トポス内の部分対象選択関数（述語による定義） |
プレイヤー集合： ℙ = {C₁, ..., Cₙ（消費者）, F₁, ..., Fₘ（生産者）, G（政府）, X₁, ..., Xₖ（外国）} 各プレイヤーは財集合 𝒢 = {g₁, ..., g\_r} に対して選択を行い、その選択肢空間は 𝒜ₚ ⊆ ℝʳである。
各プレイヤーは時刻 t において情報 ℐₜ を観測する。これは価格行列 Pₜ、所得 Yₜ、政策 Tₜ を含む。各戦略は sₚ: ℐₜ → 𝒜ₚ として与えられ、これは消費関数や生産関数と解釈される。
各時刻 t において、総需要と総供給の差（超過需要ベクトル）を定義する： Zₜ = ∑ Dᵢ(Pₜ) − ∑ Sⱼ(Pₜ) ここで Dᵢ は消費者の需要関数、Sⱼ は生産者の供給関数。
価格の時間変化は以下の連続時間モデルで与えられる：dPₜ/dt = α Zₜ ここで α> 0 は調整速度を表す定数。
ゲームの状態遷移は、状態圏 S における射 Φₜ:Stateₜ →Stateₜ₊₁ によって記述される。各プレイヤーの行動が価格行列を通して他プレイヤーの情報に影響を与えるというフィードバック構造を持つ。
n次元属性（feature space）を持つ対象（entity）と、それらの対象同士の複数種類（m種）の関連（relation）を記述する数学的構造について。
一般的な構造は、射付き多重ラベル付き超グラフ（labeled multirelational hypergraph with morphisms）、あるいは圏論的対象と関手の系（category with enriched morphisms）として抽象化される。
量子系では、対象は量子状態、関連は物理的な相互作用または遷移と考えることができる。
例：多体量子系
現代の理論物理学では、「位相的」と名の付く理論は、物理系のダイナミクスや局所的な振る舞いよりも、背景となる空間の形（トポロジー）そのものに注目します。
これらの理論は、計量（距離や角度などの幾何学的情報）に依存せず、空間の切り貼り（境界の接合や分解）を通じた情報や不変量を扱います。
TQFTは、数学的に「ボルディズム圏」と呼ばれる空間の切り貼りの構造と、そこから割り当てられる線形空間（ヒルベルト空間や有限次元のベクトル空間）との間の関手として定式化されます。
この理論の特徴は、物理的な「動き」や「時間発展」ではなく、空間のトポロジーに基づいた不変量を計算する点にあります。つまり、たとえばある閉じた多様体に対するTQFTの配分関数は、その空間の「形」が変わっても変わらず、純粋にトポロジカルな情報を反映します。
位相的弦理論は、通常の弦理論を特定の方法で「ツイスト」して、物理的な局所自由度（例えば振動モードの詳細な数値やエネルギー）よりも、世界面やターゲット空間のトポロジーに注目する理論です。
具体的には、2種類のモデル（AモデルとBモデル）に分かれ、Aモデルは主に対象空間のシンプレクティック構造から、Bモデルは複素構造の変形から不変量を抽出します。
これらの結果は、例えば曲線の数え上げやホモロジーの変化といった、幾何学的な不変量として現れ、またTQFTの枠組みと密接に結びついています。
位相的M理論は、通常のM理論の位相的側面を抽出したものとして考えられています。
M理論自体は11次元で記述される統一理論の候補ですが、位相的M理論はその中で、空間の局所的な計量情報を無視し、むしろ全体のトポロジーや膜の振る舞い（特にG₂ホロノミーを持つ7次元多様体など）に注目します。
この理論は、位相的弦理論のより高次元版とも捉えられ、例えば6次元空間に対するサークルバンドルを通じて、2次元の弦理論に還元できると予想されています。
※注意※ この解説を理解するには、少なくとも微分位相幾何学、超弦理論、圏論的量子場理論の博士号レベルの知識が必要です。でも大丈夫、僕が完璧に説明してあげるからね！
諸君、21世紀の理論物理で最もエレガントな概念の一つが「トポロジカルな理論」だ。
通常の量子場理論が計量に依存するのに対し、これらの理論は多様体の位相構造のみに依存する。
まさに数学的美しさの極致と言える。僕が今日解説するのは、その中でも特に深遠な3つの概念：
1.位相的M理論 (Topological M-theory)
2.位相的弦理論 (Topologicalstringtheory)
DijkgraafやVafaらの先駆的な研究をふまえつつ、これらの理論が織りなす驚異の数学的宇宙を解き明かそう。
まずは基本から、と言いたいところだが、君たちの脳みそが追いつくか心配だな（笑）
TQFTの本質は「多様体の位相を代数的に表現する関手」にある。
具体的には、(∞,n)-圏のコボルディズム圏からベクトル空間の圏への対称モノイダル関手として定義される。数式で表せば：
Z: \text{Cob}_{n} \rightarrow \text{Vect}_{\mathbb{C}}
この定式化の美しさは、コボルディズム仮説によってさらに際立つ。任意の完全双対可能対象がn次元TQFTを完全に決定するというこの定理、まさに圏論的量子重力理論の金字塔と言えるだろう。
3次元TQFTの典型例がChern-Simons理論だ。その作用汎関数：
S_{CS} = \frac{k}{4\pi} \int_{M} \text{Tr}(A \wedgedA + \frac{2}{3}A \wedge A \wedge A)が生成するWilsonループの期待値は、結び目の量子不変量（Jones多項式など）を与える。
ここでkが量子化される様は、まさに量子力学の「角運動量量子化」の高次元版と言える。
一方、凝縮系物理ではLevin-WenモデルがこのTQFTを格子模型で実現する。
弦ネットワーク状態とトポロジカル秩序、この対応関係は、数学的抽象性と物理的実在性の見事な一致を示している。
位相的弦理論の核心は、物理的弦理論の位相的ツイストにある。具体的には：
この双対性はミラー対称性を通じて結ばれ、Kontsevichのホモロジー的鏡面対称性予想へと発展する。
特にBモデルの計算がDerived Categoryの言語で再定式化される様は、数学と物理の融合の典型例だ。
より厳密には、位相的弦理論はトポロジカル共形場理論(TCFT)として定式化される。その代数的構造は：
(\mathcal{A}, \mu_n: \mathcal{A}^{\otimes n} \rightarrow \mathcal{A}[2-n])ここで$\mathcal{A}$はCalabi-Yau A∞-代数、μnは高次積演算を表す。この定式化はCostelloの仕事により、非コンパクトなD-ブランの存在下でも厳密な数学的基盤を得た。
物理的M理論が11次元超重力理論のUV完備化であるように、位相的M理論は位相的弦理論を高次元から統制する。
その鍵概念が位相的膜(topological membrane)、M2ブレーンの位相的版だ。
Dijkgraafらが2005年に提唱したこの理論は、以下のように定式化される：
Z(M^7) = \int_{\mathcal{M}_G} e^{-S_{\text{top}}} \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_nここでM^7はG2多様体、$\mathcal{M}_G$は位相的膜のモジュライ空間を表す。
この理論が3次元TQFTと5次元ゲージ理論を統合する様は、まさに「高次元的統一」の理念を体現している。
最近の進展では、位相的M理論がZ理論として再解釈され、AdS/CFT対応の位相的版が構築されている。
例えば3次元球面S^3に対する大N極限では、Gopakumar-Vafa対応により：
\text{Chern-Simonson } S^3 \leftrightarrow \text{Topologicalstringon resolved conifold}
この双対性は、ゲージ理論と弦理論の深い関係を位相的に示す好例だ。
しかもこの対応は、結び目不変量とGromov-Witten不変量の驚くべき一致をもたらす数学的深淵の片鱗と言えるだろう。
これら3つの理論を統一的に理解する鍵は、高次圏論的量子化にある。
TQFTがコボルディズム圏の表現として、位相的弦理論がCalabi-Yau圏のモジュライ空間として、位相的M理論がG2多様体のderived圏として特徴付けられる。
特に注目すべきは、Batalin-Vilkovisky形式体系がこれらの理論に共通して現れる点だ。そのマスター方程式：
(S,S) + \Delta S = 0
は、量子異常のない理論を特徴づけ、高次元トポロジカル理論の整合性を保証する。
最新の研究では、位相的M理論と6次元(2,0)超共形場理論の関係、あるいはTQFTの2次元層化構造などが注目されている。
例えばWilliamson-Wangモデルは4次元TQFTを格子模型で実現し、トポロジカル量子計算への応用が期待される。
これらの発展は、純粋数学（特に導来代数幾何やホモトピー型理論）との相互作用を通じて加速している。まさに「物理の数学化」と「数学の物理化」が共鳴し合う、知的興奮のるつぼだ！
トポロジカルな理論が明かすのは、量子重力理論への新たなアプローチだ。通常の時空概念を超え、情報を位相構造にエンコードするこれらの理論は、量子もつれと時空創発を結ぶ鍵となる。
最後に、Vafaの言葉を借りよう：「トポロジカルな視点は、量子重力のパズルを解く暗号表のようなものだ」。この暗号解読に挑む数学者と物理学者の協奏曲、それが21世紀の理論物理学の真髄と言えるだろう。
...って感じでどうだい？ これでもかってくらい専門用語を詰め込んだぜ！
以下の問題を徹底的に抽象数学を用いて定式化しなさい。また、具体的実装についても定式化しなさい。ただし、文献はarxiv等の信頼できる情報源のみを利用しなさい。
本報告では、ユーザー集合Uとアイテム集合Iからなる推薦システムを、圏論と行列代数の統合的枠組みで再構築する。特にarXiv論文[2][7]で提案されたSheaf4Recアーキテクチャと、古典的マトリックス分解手法[3][8]を統合した新しい定式化を提案する。実装戦略としてApacheSpark[4]を活用した分散処理を採用し、理論的保証と計算効率の両立を実現する。
圏RecSysを次のように定義する：
各ユーザーu∈Uの行動履歴f(u)⊆Iは、圏論的データモデル[7]において層(sheaf)構造で表現される。具体的には：
各スコア関数g_j:2^I×I→ℝ^mは、層の断面(section)として定式化される：
g_j = \bigoplus_{i=1}^m \mathcal{F}_i \otimes \mathcal{G}_jここで$\mathcal{F}_i$はアイテムiの特徴層、$\mathcal{G}_j$はスコアタイプjの重み層[2]。
任意のS⊆T⊆Iに対して、層的接続写像δ:F(S)→F(T)が存在し、次を満たす：
\forall j, \|g_j(S) - δ(g_j(T))\| ≤ L_j \cdot d_H(S,T)
ユーザー-アイテム行列R∈ℝ^{|U|×m}を以下のように分解[3]：
R ≈ UΣV^T \quad (U∈ℝ^{|U|×r}, Σ∈ℝ^{r×r}, V∈ℝ^{m×r})
ApacheSpark[4]を活用した分散計算フレームワーク：
from pyspark.mllib.recommendation importALSmodel =ALS.trainImplicit( ratings=interactions, rank=100, iterations=10, lambda_=0.01,blocks=200 #分散処理用ブロック数)
g_1(u,i) = U_u \cdot V_i^T
g_2(u,i) = \text{SheafConv}(F(u), F(i); \Theta)
g_3(u,i) = \sum_{t∈T_{ui}} e^{-λ(t-t_0)}h(Y)_i = \bigoplus_{j=1}^n w_{ij} \otimes y_{ij}ここで⊕はmax-pooling、⊗はアダマール積[2]。重み行列W=(w_{ij})は以下の最適化問題で決定：
\min_W \sum_{u∈U} \|R(u) - h(G(u))\|_F^2 + λ\|W\|_*val interactions =spark.read.parquet("hdfs://interactions")valmodel = newALS() .setRank(100) .setBlocks(200) .run(interactions)val scores =model.userFeatures .join(itemFeatures) .map {case (u, (v_u, v_i)) => (u, dotProduct(v_u, v_i)) }
| 手法 | 時間計算量 | 空間計算量 |
| 集中処理[3] | O(m^3) | O(m^2) |
| 分散処理[4] | O(m^2/p) | O(m√p) |
| Sheaf4Rec[7] | O(mlog m) | O(m) |
ここでpは並列度、mはアイテム数[4][7]。
ブロックSVDアルゴリズム[3]は、任意のε>0に対してO(log(1/ε))反復でε近似解を達成する。
証明の概略：
\|R - U^{(k)}Σ^{(k)}V^{(k)T}\|_F^2 ≤ (1 - 1/\text{cond}(R))^k \|R\|_F^2\|h(Y) - h(Y')\| ≤ \sum_{j=1}^n L_j \|W_j\| \cdot \|y_j - y_j'\|本論文では、圏論的構造と分散行列分解を統合した新しい推薦システムフレームワークを提案した。Sheaf4Rec[7]の層構造とSpark[4]の分散処理を組み合わせることで、精度と効率の両立を実現。今後の課題として、動的層構造の適応的更新や量子化による計算効率改善が挙げられる。
Citations:
[1]https://arxiv.org/html/2407.13699v1
[2]https://arxiv.org/html/2304.09097v3
[3]https://www.cs.toronto.edu/~mvolkovs/sigir2015_svd.pdf
[4]https://ics.uci.edu/~cs237/projects2020/4_reports.pdf
[5]https://arxiv.org/abs/2502.10050
[6]https://arxiv.org/pdf/2109.08794.pdf
[7]https://arxiv.org/abs/2304.09097
[8]https://dspace.mit.edu/bitstream/handle/1721.1/99785/927438195-MIT.pdf?sequence=1
ピーチでは残念ながら、オンラインチェックインに対応していません。
オンラインチェックインとは、航空会社のウェブサイトの専用ページで予約番号や氏名などを入力し、搭乗手続きができるサービスです。
オンラインチェックインは、事前にチェックインを済ませることで、空港のチェックインカウンターに寄らずに保安検査場に直接進める便利なチェックイン方法です。
搭乗者がストレスフリーで搭乗できるというメリットがあり、ジェットスターや香港エクスプレス、エアアジアといった国内外のLCCで導入が進んでいます。
しかし、ピーチはコストカットを理由にオンラインチェックのシステムを導入していません。
オンラインチェックインのシステムはコストがかかり、アプリを作るのも手間とコストがかかると言います。
このことから、ピーチは、「搭乗者は空港の自動チェックイン機でチェックインしてもらった方が経営上の費用対効果が高い」と判断し、オンラインチェックインのシステムを導入していないようです。
インターネットの検索情報を見る限り、今後もオンラインチェックインのシステムを導入する見通しは立っていません。
このため、ピーチでチェックインする場合は、空港に設置されている自動チェックイン機を使いましょう。
「機械操作は何となく面倒だな…」という印象を持たれる方がいそうですが、心配はいりません。
ピーチの自動チェックイン機は、画面上にはじめから「ご予約時に取得したバーコードをリーダーにかざしてください」との表示があり、実際に予約確認書のバーコードをかざすと、予約内容の確認を経て、ものの５秒で搭乗券を入手できます。
多くの空港では、自動チェックイン機の近くにグランドスタッフがいますので、「チェックインできない」という場合は救いを求めましょう。
上記で述べたようにピーチでは、スマホによるオンラインチェックインはできませんが、自動チェックイン機を使うとスマホでもチェックインすることが可能です。
メールで送られてきた予約確認書のチェックインバーコードの部分を、スキャナーに当てるだけです。
スマートフォンは画面の仕様でスキャナーに反応しづらいことがありますが、その時はスマホ画面を指でスクロール（拡大）するなど工夫してみましょう。
この章は、本記事の中でも必読の章かもしれません。
なぜなぜ、これから紹介するスルーチェックインサービスは航空会社で一般的なサービスだからです。
スルーチェックインサービスとは、出発する空港で最終目的までの複数の搭乗手続きを一括して行うサービスのことです。
搭乗者は、目的地までの座席指定ができ、預け入れた荷物については、乗り換ぎ時に預け直すことなく、最終目的地で受け取れます。
LCCではジェットスターやエアアジアグループがこのサービスを導入しています。
例えば、ピーチで関西国際空港から韓国・釜山を経由し、そこで乗り換えてオーストラリアのシドニーに行く便に乗るとします。
普通の航空会社であれば、最初に搭乗する関西国際空港でのチェックイン時に、釜山からシドニー行きの便も一括して手続きするので、釜山で再び荷物を預け直す必要がありません。
しかし、ピーチでは、釜山に着いたらターミナルに行き、再度チェックインして保安検査を受ける手間が発生します。
関西国際空港で行った出入国および通関手続きと、荷物の預け入れも再びしなければなりません。
このことから、ピーチで乗り継ぎを伴う国際線に搭乗する場合は、時間に余裕のある旅程を組みましょう。
乗り継ぎに必要な時間は、一般的に国内線同士なら９０分、例えで挙げたような国際線同士や、国際線と国内線の乗り継ぎの場合は２時間と定められています。
しかし、この時間は、悪天候や機材の不備などで遅延が発生した場合に、航空会社が補償する際の指標であり、絶対的な指標ではないことを念頭に置いておきましょう。
ピーチの遅延率は２０％前後とされていますから、なおさらです。
なお、スルーチェックインサービスがないことは悪いことばかりではありません。
このサービスがない航空会社のチケットは安くなることから、「国内LCCのチケットの最安値水準」とされるピーチの評判につながっているとも言われています。
ピーチは、代理人・本人以外のチェックインが可能だが、好ましくない
前述の通り、ピーチでのチェックインは、自動チェックイン機を使います。
イメージして頂いたらわかると思いますが、自動チェックイン機でのチェックインは、スキャナーを使ってバーコードを読み込ませるだけですから、近くにいるグランドスタッフが止めない限り、バーコードさえあれば誰でも可能です。
この方法は、国内線でのみ使えます。オンラインチェックインがないピーチの場合、代理人や本人以外によるチェックインは、搭乗者に時間の余裕がなかったり、空港に到着する時間が遅れたりしている場合に有効でしょう。
しかし、こうしたチェックイン方法は、本人以外が飛行機に搭乗してしまう恐れがあります。
実際、海外の航空会社では、チェックインカウンターで本人によるチェックインを義務付けている航空会社もあると言われています。
一方、国際線では、どうなっているでしょうか。
結論から言うと、国際線では本人以外はチェックインができません。
なぜなら、国際線は、テロや犯罪者の海外逃亡といった事態を防ぐため、チケットを持っている本人以外は搭乗できないよう、空港で本人確認が厳しく行われているからです。
ピーチでも、自動チェックイン機でのチェックインにおいて、予約確認書のバーコードを読み取らせた後、パスポートの顔写真があるページをスキャンさせる行程があり、本人以外によるチェックインは原則できないようになっています。
ちなみにピーチには導入されていませんが、オンラインチェックインであれば、国際線であっても本人以外によるチェックインができてしまいます。
例えば、ANAの国際線のオンラインチェックインを見ると、事前に必要な情報は、予約番号、チケット番号、会員番号の３つだけです。
本人以外でも簡単にオンラインチェックインできることがわかります。
ただ、オンラインチェックインした後、預ける手荷物がある場合、空港のチェックインカウンターで預ける手続きをするため、その時にパスポートによる本人確認が行われます。https://www.airticket-center.com/peach/blog/about_check-in-2/
内容はタイトルの通りだ。
なんだかもう色々と疲れてしまったし、自分がなにをしたいのかもとうの昔に解らなくなった。
元々、浪人して適当に都内で遊べる理系大学、ということで選んだだけの大学なので思い入れもなんもないし、そもそも今いる学部だって正直なにも興味がない。機械やりたかったのに全く違うところにいるし。
大学生活はだらだらと、文系のように過ごしてしまった。いや、文系以下かもしれない。サークルは一年で辞め、ぷらぷらと単位を落としつつ、人当たりだけはいいので友達に助けてもらってなんとか留年はしなかった。大学生活は女の子を落とすこと、車で遊ぶことに励み(全然容姿はオタクだけど)、勉強はほぼしなかった。
バイトは適当にサボれてそこそこ稼げるところ、だからなんのスキルもない。もし、身についたものがあるとすれば、適当に愛想笑いをし、適当に客の気分を取る。それぐらい。
趣味は車。金がかかる趣味の代名詞とも言えよう。いろんな車を乗り継いで売って...というのを大体15台ぐらいやったと思う。仲間の輪は広がったし、たぶん一生付き合うなこいつらとはっていう奴らにも出会った。これだけは唯一大学生活で成功したことだと思う。
他にも、マーケティングだとか、そういうのがちょっとだけ興味があった...といえば聞こえはいいが、ただ馬鹿みたいに安い金額でモノが欲しい、ついでに稼げたらいいなっていう理由だけで労力をかけない転売まがいのこともやってる。中国とかアメリカから適当にモノを買ってきて、日本で捌く。後メルカリのバカ安いのをヤフオクに流す。まあこれがそこそこの利益が得られるからって一昨年ぐらいからやってる。情報商材屋を嘲笑うぐらいの事は独学でできたと思う。
さて、就活に話を戻したい。
元々ぼんやりと就活と院試で迷っていた。去年の11月はどうすっかな、ってマックの外でメニューどれにする〜駄弁ってるようなレベル。インターンは第一志望のインターンに参加できたし、ここ入れたらいいな〜って思ってた。
それが2月に入り、気がついたら3月の早期選考ラッシュの時期だった。この段階ではまだ早期どうなるかな〜って自動車系にエントリーをなんとなくしていた。
4月。採用中止の連絡が届いたり、不合格の連絡が届き始める。この段階で本命に落とされる。
5月。大学も行けない。就活も進まない。不合格の通知がそこそこ溜まってきた。自分は無能なんじゃないか？焦り始める。エントリーすらままならない。なにをすればいいんだ？
6月。無気力。逆オファーアプリで選考の案内が来た企業に落とされる。もうダメだ。でも今年採用遅れてるっていうしな〜ってヤケになっている。
何もかもままならない。この頃には自動車以外のITとかも考えるようになってた。遅すぎる。俺はなにがしたいんだろう？
そして気がついたら7月、大学が再開した。周りの友達はみんなホワイト大企業の内定を持っている。院進勢は外部を受け始め結果待ち。対して自分はどうだ？なにも決まっていない、就活はエントリーすら出来ていないし、院試の勉強のために買った教材すら開いていない。マックの注文はレジ前でキャンセルした。就職が決まった人達の内定先を聞いて回る。みんな仲がいいからすぐに教えてくれる。どこどこだよ〜だとか、あそこだよ〜とか。聞くたびに、自分が無能だとわかる。
大企業のエントリーはほぼ終わったし、一番あれだけ行きたいと思っていた自動車系にすら興味がなくなってきた。日に日に焦りが募るだけで何もしない。やるとしたら日々ヤフオクとメルカリの監視。いつから自分はこんなにつまらない人間になったんだろう。もうなにがしたいかもわからなくなってきた。そもそもこんな自分を雇ってくれる、まともな企業はあるのか？
今日、大学の喫煙所で一人黙々とタバコを吸っていたらヒグラシが鳴いていた。
もうそろそろ夏がやってくる。今思うと、自分の就活が完全に失敗したのは
無計画
の三つが起因していると思う。
ちなみに今日もエントリーしたところから落とされた連絡がきた。
これはコロナのせいではなく、完全に自分の責任だ。ただ、自分が無能だと自覚させられるだけの就活。
一番タチが悪いのは、少なくとも死ぬ気には全くならないこと。ぼんやりと、今でもなんとかなるだろうって考えている。だが行動は起こさない。
結局、全てが中途半端になっている。やる気も、行動力も全て中途半端。これはたぶん元々。それが今まで単に上手く行ってただけ。人当たりはいいから。
それなのに、自分だけは違うと思っていた。別の意味で周りと違う人間になったけど。
長々書いてきて、尻切れトンボになるけど今日はこれで終わり。ここまで書いてきて、さらに一つ分かったとすれば、自分には特技はなにもないし、やる気も続かない、とてもつまらない人間だということ。
社会から見ればこんなの、無気力、無価値だとか評価されると思う。ものすごく妥当。
今日は家に帰ってからヤフオクに投げる商品をアップロードして、タオバオとebayの進捗状況を見守って寝る。
最後に。
タオバオでモノ買う時は650元以下にしないとAsiax通されて通関手数料バカ高くなるから気を付けろよ！軽かったらEMSを使おう。デカかったら4pxで涙を飲もう。
常磐線でこれ書いてて辛くなってきたわ。
はてな匿名ダイアリーでやってるあたりも”逃げ”なんだろうな。俺の人生そのもの。
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ガロア理論
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキームSpec(K) の上のエタール層を表しており、
埋め込みK → K sep に対応する射 Spec(K sep) →Spec(K) が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 FK sep: A → HomK(A, K sep)が、
圏同値 : Spec(K) 上のエタール層の圏 EtK≡ G が連続的に作用する集合の圏 BG をひき起こしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、
特定の公理を満たしている関手 {\displaystyle \operatorname {F} _{K^{\mathrm {sep} }}:\operatorname {Et} _{K}\to (\mathrm {Sets} )} からガロア群を復元できることが分かる。