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はてなキーワード:開集合とは
昨日は、僕の週間ルーティンの中でも最も重要な整合性検証日だった。つまり、宇宙がまだ局所的に論理的であるかを確認する日だ。
朝7時ちょうどに起床し、ベッドの角度を壁と垂直に再測定した結果、誤差は0.03度。つまり宇宙はまだ僕を裏切っていない。
朝食の時間、ルームメイトがトースターを再び二枚焼きモードにしたが、今回は驚かなかった。僕は冷静に、バナッハ＝タルスキ分割の話を持ち出してこう言った。
「君のパンは二枚に見えるが、集合論的には同一だ。したがって、君の誤りは物理ではなく測度論の問題だ。」
彼は黙ってパンをかじった。理解されることを期待するのは、もはやハイゼンベルク的非決定性と同義だ。
午前中は、僕の新しい理論「ホモトピー圏上の自己参照的弦圏理論」の検証を進めた。
通常の超弦理論がカテガリー的に整合するのは、D-ブレーンが導くモジュライ空間の滑らかさが保証されている範囲内に限られる。
しかし僕は最近、滑らかさという仮定そのものを削除し、「∞-圏上のA∞代数的自己整合性条件」に置き換えるべきだと気づいた。
つまり、弦のダイナミクスを場の配置空間ではなく、「圏の自己ホモトピー類」として定義するのだ。すると興味深いことに、背景幾何が消滅し、すべての次元は内部的モノイダル構造に吸収される。
言い換えれば、「空間」とはただの圏論的影であり、時空の実在は「自然変換の連続体」そのものになる。
これが僕の提案する“Self-fibrantString Hypothesis”だ。ウィッテンが読んだら、きっと静かに部屋を出ていくに違いない。
昼過ぎ、隣人がまた廊下で大声で電話していたので、僕はノイズキャンセリングヘッドフォンを装着し、同時に空気清浄機を「ラグランジュ安定モード」に切り替えた。
これは僕が改造した設定で、空気の流速が黄金比比率（φ:1）になるよう調整されている。これにより室内の微粒子分布が準結晶構造に近似され、精神的平衡が保たれる。
僕は自分の心の状態を量子的可換代数で表すなら、ほぼ可換な冪零理想の中にあるといえる。隣人は理解していないが、それは仕方ない。彼女の精神空間は可約表現のままだ。
午後は友人たちとオンラインでEldenRingを再プレイした。僕は魔術師ビルドで、ルーンの経済を「局所場理論の再正則化問題」として再解釈している。
彼らがボスを倒すたびに叫ぶのを聞きながら、僕は心の中でリーマン面の分枝構造を追跡していた。実はEldenRingの地形構成はリーマン面の切り貼りに似ており、特にリエニール湖の設計は2次被覆の非自明な例として見ることができる。
開発者が意図していないことはわかっているが、現象としては美しい。芸術とは本質的に、トポスの自己鏡映だ。
夜、僕はコーヒーを淹れ、久々にグロタンディークのRécolteset Semaillesを読み返した。数学者が自分の「精神の幾何学」について語る箇所を読むと、僕の理論的中枢が共振する。
グロタンディークが述べた「点は存在しない、ただ開集合がある」という思想は、僕の弦理論観と同じだ。物理的対象とは「開集合上の自然変換」に過ぎず、存在とは測度可能性の仮構にすぎない。つまり、宇宙とは「圏論的良心」だ。
深夜、ルームメイトが僕の部屋をノックして「一緒に映画を観ないか」と言った。僕は「今日は自己同型群の可換性検証を行う予定だ」と答えたが、彼は肩をすくめて去った。
代わりに、僕はブレードランナー2049のBlu-rayを再生し、壁紙の色温度を劇中のネオン発光スペクトル（中心波長602nm）に合わせた。
完全な没入体験のために、部屋の空気を2.3ppmのオゾン濃度に調整した。呼吸するたびに、僕は自分が物質ではなく関手の束だと実感する。
Xがコンパクト空間なら連続関数fについて最大値の定理が成り立つことの証明で
t∈XのUt={x|f(x)<f(t)}は開集合って言ってるんだけど、いやXの開集合系がXのべき集合全体でfの終域側の開集合系が空集合と終域自身だけだったら、
どうやったってfx<f(t)という条件では(f(x)<=f(t)ならともかく)開集合にならないから「連続関数の逆関数は開集合を開集合に写す」という定理が使えないから
Utが開集合だなんてのも当然言えなくね？ってなっててつまづいてる。
君は解説できる？
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解析入門1が借りられてて2を読んだ。最初は陰関数定理について書いてあるらしいことをAIの問いから得た。
なるほど何もわからん。
プロンプトだけあげておく。プロンプトさえ共有すれば俺がどんな答えをAIから得たか表現に差はあれど内容としてはほぼ同じものを共有できるだろう
f(x,y)=0をy=g(x)にできる条件を考えるとき、xがR^nの開集合,yがR^mの開集合内で定義されているとすると、f(x,y)はR^mとなるというようなことが解析入門に書いてあったですが
これはR^mとなるのは、それとは書いてなくても、n<=mであるという前提を暗黙的につけているということなのでしょうか？
R^m+nというのも出てきてこれが何に対して言っているのかを忘れたのですが、次数の足し算になるというのはいずれにせよ意味がわかりません。
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なんで？
ちなみにchatgptはこんな分析をしてきた
はい、それでは「なぜ背理法による証明で“任意の分離”に対して矛盾が導けていることになるのか？」という点を丁寧に解説します。
---
背理法による「区間 $I \subset \mathbb{R}$ は連結である」の証明では、
“任意の分離”** の中から **ただ一つでも選べれば十分** です。なぜなら：
> 仮に $I$ が連結でないなら、**ある**特定の開集合のペア $O_1, O_2$ が存在するはずだから、
> 「そもそもそんなペアは存在しない（＝連結である）」という結論になる。
つまり、「存在するはずの何か」から矛盾が出れば、それだけで背理法としては十分なのです。
---
「$I \subset \mathbb{R}$ が連結でない」という命題は、以下のように定式化されます：
> $\exists \, O_1, O_2 \subset I$（相対開集合）で、
>
> * $O_1 \cap O_2 = \emptyset$,
> * $O_1 \neq \emptyset$, $O_2 \neq \emptyset$
この「存在する」という仮定に対し、証明では**ある具体的な構成**（または抽象的な性質）を持つ $O_1, O_2$ を仮定します。
その結果、矛盾が導かれれば：
「そのような $O_1, O_2$ は**存在しない**」
よって、「$I$ は連結である」
> ⚠️ **重要なのは、「全ての可能なペアに矛盾があることを示す」必要はない**という点です。
>そもそも「存在するはずだ」という仮定に立っているのですから、「その“ある”ペアに矛盾が出ればアウト」です。
---
1.区間 $I \subset \mathbb{R}$ が連結でないと仮定。
2. よって、$I = O_1 \cup O_2$、$O_1 \cap O_2 = \emptyset$、両方非空。
3. $a \in O_1$, $b \in O_2$（$a < b$ としてよい）
4.区間性を使い、$[a,b] \subset I$ を考える。
5. $S = \{ x \in [a,b] \mid [a,x] \subset O_1 \}$ の上限 $c$ を取る。
6. $c$ の周りで開集合性と連続性を使って矛盾を導く（例：$c$ の近傍が両方に入る）
このように、矛盾が出るのは、仮定した「存在するはずの分離 $O_1, O_2$」に基づいており、
その1組に対して矛盾が生じれば「存在するはず」の仮定が破綻しているということになります。
---
## まとめ（再確認）：
ユーザーの「すべての $O_1, O_2$ を検討しないと証明にならないのでは？」という疑問は論理的に誠実な疑問です。
しかし背理法の性質上、「存在するはず」の対象が「1つも存在できない」ことを示すには、「仮に1つ存在するとして議論し、矛盾を導けば十分」です。
よって、その証明が特定の $O_1, O_2$ を扱っていたとしても、それが「任意に現れ得るもの」として一般性を持ち、矛盾が出るなら証明は完了している、というわけです。
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もし、この背理法の論理構造をより形式的に図式化したり、他の例（たとえば写像や連続性の定義）で類比してみたい場合もご相談ください。
読んだ。少なくとも当該書籍では連結の定義を明示した後にその証明のくだりが始まるし、そのくだりのなかで定義よりという書き方もはっきりしている。
それに連結の定義はwikiの通りだったよ。三つ以上の集合で定義してなかった。
そもそもどちらの定義が先だろうがそれはこの話の本質には絡んでこないのではないか？
「Rの区間でない部分集合」が「互いに共通部分を持たないRの部分集合の和集合」であることが言えるのかどうかってことだろうな。
まあなんかしらの定理で言えるんだと思うけど。
もうちょっと真面目に考えてみると
の両方を示せばよくて、お前の言ってる部分は「区間 → Rの空でない連結部分集合」の方の話だな。
それを示すにはRの区間であって連結部分集合でないものが存在すると仮定して矛盾を示せばよい。
非連結部分集合の定義がhttps://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%80%A3%E7%B5%90%E7%A9%BA%E9%96%93 だとすると、「Rの開集合O1, O2で互いに共通部分を持たないものの和集合」と書けることになる。
実際はたぶんwikipediaの定義が不十分で、3つ以上の開集合の和集合も含むはずだと思うけど、その場合はそこから任意の2つをとってくればよい。
要するにお前の疑問は「連結」を定義してからその否定で「非連結」を定義してると思ってるから発生してるんじゃないかな。
実際は逆で、「非連結」を定義してからその否定で「連結」が定義されているということだろう。ここが直感に反してるんだろうな。
https://anond.hatelabo.jp/20250514190919#
↑の約束通り、俺を馬鹿にするお前らに本当にその筋合いがあるのかどうかそれとも自分を棚上げしている馬鹿なのか数学の話を振ってやろう。俺は約束を守る人間だ。
位相の証明の話で腑に落ちない部分があるのだ。読んでいるのは「具体例から学ぶ多様体」という本だ。
Rの空でない連結部分集合は区間に限る、ということの証明の議論内容で、そこでは連結の定義から、区間IについてIが連結でないという仮定に対する背理法からまず
I=O1またはO2,O1かつO2=空集合,O1もO2も空集合ではない
となるものが存在しなければならないという提示がされる。O1,O2はIの開集合だ。
そしてO1とO2、それぞれに関し各要素から点列を作って、その収束値が既存の定理からO1かつO2という集合に含まれるから、矛盾、という流れの議論なんだけど、いや、まだ矛盾とは言えてなくね？と思えるわけだ。
言い換えれば「存在していなければならない」に対しての矛盾こそこの背理法で指摘すべき本質的矛盾なはずなのに、それが言えているわけではないように見えるのだ。
だってここで言えているのは、この議論で想定していたO1,O2についてそこから選んだ点列に関して矛盾が生じるということだけじゃん。
もっと別な要素を持った開集合O1,O2なら矛盾が起きてないかもしれないじゃん。
つまり、今すべきなのは、存在性の証明に対して非存在性を示して矛盾を導くということなのに、非存在性が示せていないじゃんってことだ。ここで非存在性を示すにはIの開集合としてありとあらゆる、つまり任意の二つの組み合わせを議論の対象に置かなければ、それが示されたことにはならないはずだと思うのだ。
それなのになぜこの議論の流れで区間ならば連結という部分の証明は完了したことになってしまっているのかが何度読んでも全然分からないというわけだ。
これが説明できないんだったら所詮俺と同レベルかそれ以下ってことになっちゃうからな。
数学だけ出来るのもサヴァンでサヴァンも知能障害の一種だって反論するやつがでそうだが、別に俺自身がそこまで数学に突出した才能を持ってるわけじゃない時点でその手は使えないよっていう。
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数学的構造は、以下の基本的な「素材」から作られていると考えられる。
数学的構造の出発点は、要素が集まった集合である。たとえば、群や環、位相空間といった構造はいずれも、何らかの台集合（例えば、数や点の集まり）をその基盤としている。
台集合の上に、要素同士の結合や順序付けを定める演算（加法、乗法、合成など）や、要素間の関係（順序、等号、位相の開閉の関係など）が定義される。これらの操作や関係が、台集合に「動き」や「法則性」を与え、単なる集まり以上の意味を持たせる。
さらに、その演算や関係がどのような性質を満たすかを明確にするために、公理と呼ばれる基本的な命題群が設定される。たとえば、群の公理（結合律、単位元の存在、逆元の存在）や、位相空間の公理（開集合系の性質）などがこれにあたる。公理は、構造内の演算や関係の「ルールブック」として、全体の一貫性を保証する。
上記の要素（台集合、演算・関係、公理）は、集合論や形式論理といった論理的な基盤の上に構築される。これにより、数学的構造は客観的かつ普遍的な論理法則に従って厳密に定義され、検証可能なものとなる。
数学的構造は「台集合」という材料に、その集合上で働く演算や関係という加工を施し、公理という規則で仕上げた、論理学・集合論という工場で作られる『組織的な構成物』であると言える。
できるけど。
Xを集合。
BをΦ,X∈Uを満たす部分集合族。
V⊂Xが開集合
特に、X=R^n、Bを開球全体とすれば、高校生でも知ってるEuclid空間の開集合の定義。
| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 80 | 8361 | 104.5 | 43.5 |
| 01 | 46 | 8563 | 186.2 | 55 |
| 02 | 26 | 2893 | 111.3 | 57.5 |
| 03 | 45 | 4269 | 94.9 | 50 |
| 04 | 22 | 1874 | 85.2 | 67 |
| 05 | 11 | 1109 | 100.8 | 86 |
| 06 | 25 | 2408 | 96.3 | 42 |
| 07 | 64 | 6273 | 98.0 | 48 |
| 08 | 65 | 6873 | 105.7 | 60 |
| 09 | 169 | 13861 | 82.0 | 56 |
| 10 | 201 | 22644 | 112.7 | 55 |
| 11 | 179 | 19722 | 110.2 | 64 |
| 12 | 191 | 11088 | 58.1 | 34 |
| 13 | 252 | 19827 | 78.7 | 32 |
| 14 | 210 | 16227 | 77.3 | 40 |
| 15 | 162 | 16443 | 101.5 | 42 |
| 16 | 185 | 16643 | 90.0 | 39 |
| 17 | 178 | 13763 | 77.3 | 40 |
| 18 | 140 | 10318 | 73.7 | 30 |
| 19 | 113 | 10052 | 89.0 | 36 |
| 20 | 98 | 12064 | 123.1 | 28 |
| 21 | 184 | 15285 | 83.1 | 32 |
| 22 | 142 | 12723 | 89.6 | 34.5 |
| 23 | 90 | 27249 | 302.8 | 54.5 |
| 1日 | 2878 | 280532 | 97.5 | 41 |
開集合(6),渡部建(7),渡部(44),アンジャッシュ渡部(5),佐々木希(29), slave(5), 4km(10), なざす(3),JKローリング(3),シーレーン(3), ｼｭｯｼｭｯ(3),出生率(37),不倫(73), 出生(15),赤の他人(17),AV女優(10), 裏切ら(10),互助会(7),人種差別(7),沖縄(18),黒人(35),変態(16),ロリコン(21), ワシ(11),浮気(20), 発覚(9),誹謗中傷(13),下方婚(24), 覚える(17),貧乏(23),奴隷(19),芸能人(21),生理(14),モデル(14), とんでも(12)
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全射って言えば全ての要素への写像があるなって理解できるじゃん？
上ってなんなのかわからない。
数学が苦手というか、数学がこういう意味不明な事をするから苦手になってしまった。
他には
位相空間(X,O)の異なる２点を p,q とする。 p を含む開集合を U、 q を含む開集合を V として、互いに交わらない U, V が存在するとき
難しそうに書いてるけれどよく見るとなんだか普通なことが書いてあるやつ。
俺の頭が悪いからこんな些細なことにこだわってできなくなるのは分かっているんだが
こういうことでなんでこうじゃないの？って思うせいで数学が嫌になっていった。
だいたい大学で数学を勉強すると「何この定義」とか言い始めるからさ。だいじょーぶ。だいじょーぶ。
増田は自分を卑下する必要はないよ。きっと人類は数学が苦手なのだ。
なので肩の力をぬいてちょっと聞いてほしい
数学用語のネーミングがピンとこないときは英語訳をみると意味がわかることがあります。これ豆知識ね。
上への写像は onto-mapping、関数は function だね。
「この条件はなんで必要なの？」とか「なんだか回りくどい言い回しだな」とか
こんなときはいくら定義を眺めてもなにも起こらないので、とりあえず疑問は胸にしまって前に進んだ方が良い。
ところで増田は「穴あきおたま」を知っていますか？料理に使うやつね。
あれね、私はなんで穴空いているのか最初わからなかったのよ。でね、おでん作って卵をすくったときにね。
「あーーこの穴があると具だけ救えるのかー なるほどー」と穴の理由が初めて理解できたのよ。
そんなかんじでね、初見では理解できなくても使ってみると理解できるものというのは世の中いっぱいあるのよ。数学もおんなじね。
もちろんね、俺が新しい公理系を考えるぞとか、もっとよい定義を考えるぞ！とかやってもいいわけだけれど
それは勉強というより研究に片足突っ込んでいると思うし、自分は数学ができないと思っている人がやるようなことではないと思うのね。
