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はてなキーワード:角運動量とは
※注意※ この解説を理解するには、少なくとも微分位相幾何学、超弦理論、圏論的量子場理論の博士号レベルの知識が必要です。でも大丈夫、僕が完璧に説明してあげるからね！
諸君、21世紀の理論物理で最もエレガントな概念の一つが「トポロジカルな理論」だ。
通常の量子場理論が計量に依存するのに対し、これらの理論は多様体の位相構造のみに依存する。
まさに数学的美しさの極致と言える。僕が今日解説するのは、その中でも特に深遠な3つの概念：
1.位相的M理論 (Topological M-theory)
2.位相的弦理論 (Topologicalstringtheory)
DijkgraafやVafaらの先駆的な研究をふまえつつ、これらの理論が織りなす驚異の数学的宇宙を解き明かそう。
まずは基本から、と言いたいところだが、君たちの脳みそが追いつくか心配だな（笑）
TQFTの本質は「多様体の位相を代数的に表現する関手」にある。
具体的には、(∞,n)-圏のコボルディズム圏からベクトル空間の圏への対称モノイダル関手として定義される。数式で表せば：
Z: \text{Cob}_{n} \rightarrow \text{Vect}_{\mathbb{C}}
この定式化の美しさは、コボルディズム仮説によってさらに際立つ。任意の完全双対可能対象がn次元TQFTを完全に決定するというこの定理、まさに圏論的量子重力理論の金字塔と言えるだろう。
3次元TQFTの典型例がChern-Simons理論だ。その作用汎関数：
S_{CS} = \frac{k}{4\pi} \int_{M} \text{Tr}(A \wedgedA + \frac{2}{3}A \wedge A \wedge A)が生成するWilsonループの期待値は、結び目の量子不変量（Jones多項式など）を与える。
ここでkが量子化される様は、まさに量子力学の「角運動量量子化」の高次元版と言える。
一方、凝縮系物理ではLevin-WenモデルがこのTQFTを格子模型で実現する。
弦ネットワーク状態とトポロジカル秩序、この対応関係は、数学的抽象性と物理的実在性の見事な一致を示している。
位相的弦理論の核心は、物理的弦理論の位相的ツイストにある。具体的には：
この双対性はミラー対称性を通じて結ばれ、Kontsevichのホモロジー的鏡面対称性予想へと発展する。
特にBモデルの計算がDerived Categoryの言語で再定式化される様は、数学と物理の融合の典型例だ。
より厳密には、位相的弦理論はトポロジカル共形場理論(TCFT)として定式化される。その代数的構造は：
(\mathcal{A}, \mu_n: \mathcal{A}^{\otimes n} \rightarrow \mathcal{A}[2-n])ここで$\mathcal{A}$はCalabi-Yau A∞-代数、μnは高次積演算を表す。この定式化はCostelloの仕事により、非コンパクトなD-ブランの存在下でも厳密な数学的基盤を得た。
物理的M理論が11次元超重力理論のUV完備化であるように、位相的M理論は位相的弦理論を高次元から統制する。
その鍵概念が位相的膜(topological membrane)、M2ブレーンの位相的版だ。
Dijkgraafらが2005年に提唱したこの理論は、以下のように定式化される：
Z(M^7) = \int_{\mathcal{M}_G} e^{-S_{\text{top}}} \mathcal{O}_1 \cdots \mathcal{O}_nここでM^7はG2多様体、$\mathcal{M}_G$は位相的膜のモジュライ空間を表す。
この理論が3次元TQFTと5次元ゲージ理論を統合する様は、まさに「高次元的統一」の理念を体現している。
最近の進展では、位相的M理論がZ理論として再解釈され、AdS/CFT対応の位相的版が構築されている。
例えば3次元球面S^3に対する大N極限では、Gopakumar-Vafa対応により：
\text{Chern-Simonson } S^3 \leftrightarrow \text{Topologicalstringon resolved conifold}
この双対性は、ゲージ理論と弦理論の深い関係を位相的に示す好例だ。
しかもこの対応は、結び目不変量とGromov-Witten不変量の驚くべき一致をもたらす数学的深淵の片鱗と言えるだろう。
これら3つの理論を統一的に理解する鍵は、高次圏論的量子化にある。
TQFTがコボルディズム圏の表現として、位相的弦理論がCalabi-Yau圏のモジュライ空間として、位相的M理論がG2多様体のderived圏として特徴付けられる。
特に注目すべきは、Batalin-Vilkovisky形式体系がこれらの理論に共通して現れる点だ。そのマスター方程式：
(S,S) + \Delta S = 0
は、量子異常のない理論を特徴づけ、高次元トポロジカル理論の整合性を保証する。
最新の研究では、位相的M理論と6次元(2,0)超共形場理論の関係、あるいはTQFTの2次元層化構造などが注目されている。
例えばWilliamson-Wangモデルは4次元TQFTを格子模型で実現し、トポロジカル量子計算への応用が期待される。
これらの発展は、純粋数学（特に導来代数幾何やホモトピー型理論）との相互作用を通じて加速している。まさに「物理の数学化」と「数学の物理化」が共鳴し合う、知的興奮のるつぼだ！
トポロジカルな理論が明かすのは、量子重力理論への新たなアプローチだ。通常の時空概念を超え、情報を位相構造にエンコードするこれらの理論は、量子もつれと時空創発を結ぶ鍵となる。
最後に、Vafaの言葉を借りよう：「トポロジカルな視点は、量子重力のパズルを解く暗号表のようなものだ」。この暗号解読に挑む数学者と物理学者の協奏曲、それが21世紀の理論物理学の真髄と言えるだろう。
...って感じでどうだい？ これでもかってくらい専門用語を詰め込んだぜ！
今日はエネルギー、角運動量...等々のオブザーバブルの例とシュレーディンガー方程式の関係を学びました。
ところで、Twitterである操作を行うことにより、数学に関連するおすすめが多く表示されるようになりました。
そうして、とある数学者の動画が表示されたので、じっくりと視聴しました。
数学が情報として表示されると、こう言われているような気分になります「政治のことは忘れなさい。数学の問題を解いていれば趣味にもなるし、平和だ」
世の中には様々な政治的問題があります。日本国内のインフレスパイラル、地球温暖化とカーボンプライシング、ウクライナ情勢、石油価格の問題などです。
数学の問題とは違い、これらは価値判断の問題です。排出権取引に賛成する人は将来世代にも考慮して温暖化を解決しようと言いますが、反対する人は短期的に「自分が生きている間」の利益だけを考えます。
あるいはインフレの問題は、インフレを抑えようという実質値を考慮する人は賃上げに反対しますが、名目値だけを見る人は賃上げを要求するのです。
価値判断の問題は、声の大きさで勝負が決まってしまう部分があります。フォロワーだけは沢山いる自称データサイエンティストが「コイツは意識他界系だ」などと言うと、そのレッテル貼りに同調する人が出てくるわけです。
そのような政治の話には、もしかしたら関わらないほうが良いのかもしれません。政治の話を中心的に行う人をミュートし、数学に引きこもりたい気分です。
しかし、寛容さが必要だと思うこともあります。数学の話をする人の中にも、肩書や知識の量でマウントを取るどうしようもない人がいます。こういう人を「見ないようにする」よりは、自分が寛容になるほうが手っ取り早いと思うのです。
つい最近、ある政治活動家が、「各々のミツバチは、ニューロンとして見るのが良い」と言っていました。
人間社会もそういうものかもしれません。誰かがイシューを発見したり、意見したりすれば、それはニューロンのように伝達され、物事が部分的にわかってきます。
そしてその情報は保存されます。一歩々々、何か知識の塊が進化を遂げているのかもしれません。
それとも、それは退化でしょうか。ある話題で社会が二極化した場合、どちらかが間違っているのではなく、異なる前提を持つ人が価値判断で争っているのかもしれません。
（※ 僕個人の感想です）
E=mc^2
運動量 p=0 の時は確かに成り立つので全くの嘘ではないとは言え、なぜこんな中途半端な省略がされたのでしょうね？
略すならいっその事自然単位系を取って E=m でも良かったのではないでしょうか。
『あの星の光は太古の輝き。今見ているのは過去の星の姿なのよ。相対性理論ってロマンチックね』
何か僕が重大な勘違いをしているのかもしれません。
聞いてみたいのですが、聞き返すといろんなフラグをへし折る気がして質問すら出来ません。
僕の部屋が汚れるのはエントロピー増大の法則のせい
「部屋に冷たいビールを置いておくとぬるくなり、部屋の気温はちょっと下がる（熱平衡状態）。その逆は起こらない」くらいの意味です。
それがどうして部屋が散らかる理由になるのかわかりません。
そもそもエントロピー は
で定義されるのですが、部屋の散らかり具合を表すエントロピーなんて何の自由度をどう数えればいいのでしょう？
ひょっとしたら、部屋の散らかっていく様子を空気分子や水中のイオンの拡散する様子に見立てたジョークが一人歩きをしてしまったのかもしれません。
言うまでもなく、部屋が散らかるのはエントロピー増大の法則のせいではなく僕のせいです。
シュレーディンガーの猫とか多世界解釈とか
トンデモさんにも一般のひとにも大人気でものすごく触れにくい話題です。
控えめに言っても、現在の大学では学ばないし教科書にも載っていないとだけ。（コラムとか小話的に載っている事はあるけど）
念のため言っておくと、観測問題自体がトンデモという訳ではなく、それを調べる研究者もいますがそれはネット上で人気のあるものとは別物かと思います。
具体的には 人の精神が〜とか多世界解釈みたいな単語が出てきたらブラウザバックしていいと思います。
ところで、シュレーディンガーの猫はもともとは「波動関数の収束はいつおこるのか？観測装置も含めるべきか？」といった指摘だったようなのですが（知らない）、
といった具合に変質して伝わってしまったようです。重ね合わせなのは確率（状態）であって猫やパンツそれ自体ではないんですけれどね。シュレーディンガーも草葉の陰で泣いている事でしょう。関係ないですがシュレーディンガーはロリコンです。
http://ja.wikipedia.org/wiki/エルヴィン・シュレーディンガー#.E6.80.9D.E6.83.B3] (あれ、リンク貼れないな・・）
上記のトピックが哲○ニュースとかカラパイ○などでブックマークを集めていることがあります。
コメントをよく見てみると「角運動量の合成が出来るようになってから言えよ」「井戸型ポテンシャルでも解いてろ」と言ったたぐいのブクマコメントがちらほら見られます。せっかくなのでちょっと解説しておきます。
（高さ無限大の一次元）井戸型ポテンシャルとは量子力学における最も簡単な問題で、物理学科生で解けない人はおそらくいません。
仮にいたとしても落第するでしょう。なぜならば量子力学のテストでそれ以上簡単な問題を作れないからです。
「角運動量の合成も出来ない奴」
これも上記と同様の煽り文句です。足し算も出来ない奴、九九も唱えられない奴、くらいの意味です。物理学科生をガチ切れさせるのでリアルでは使わないように。
トンデモ系サイトにこれらのコメントがつくのは「トンデモさんにはわからない、物理学科生にのみわかる煽り文句」になっているからでしょうね。
偉大なる元増田様
元増田だが、サラっと書いたエントリに10個以上もブクマがつくとは思わなかった…。
とりあえず、理系の端くれとしてどうしても気になるのでブクマコメに突っ込ませてもらうと
よくわからない電子核の話とかされると濡れます！
原子の周りを回ってる(厳密には回ってはいないが)電子を、量子状態のエネルギー準位で分類したものを電子殻と言うことはあるけどね。
【追記】
あー、エネルギー準位で分類、というのは正確じゃないな。固有状態が異なっていてもエネルギー的には縮退している場合もあるだろう。
この辺の話はもうだいぶ忘れかけていて死にたくなるが…。角運動量はベクトル量だから、原子核が球対称なら角運動量の向きの違いに対応した縮退準位があるはずだ。
