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はてなキーワード:補題とは
フェミニズムの分類が多すぎると聞いて
記述集合論（Borel階層, Projective階層, 汎加法族）
モデル理論（型空間, o-極小, NIP, ステーブル理論）
再帰理論/計算可能性（チューリング度, 0′, 相対計算可能性）
構成主義,直観主義,ユニバース問題,ホモトピー型理論（HoTT）
体論・ガロア理論
表現論
K-理論
初等数論（合同, 既約性判定,二次剰余）
解析数論（ゼータ/ L-関数,素数定理,サークル法, 篩法）
p進数論（p進解析, Iwasawa理論, Hodge–Tate）
超越論（リンドマン–ヴァイエルシュトラス, ベーカー理論）
実解析
多変数（Hartogs現象, 凸性, severalcomplex variables）
関数解析
バナッハ/ヒルベルト空間,スペクトル理論, C*代数, von Neumann代数
フーリエ解析,Littlewood–Paley理論, 擬微分作用素
確率解析
常微分方程式（ODE）
偏微分方程式（PDE）
非線形PDE（Navier–Stokes, NLS, KdV, Allen–Cahn）
幾何解析
リッチ流, 平均曲率流,ヤン–ミルズ,モノポール・インスタントン
エルゴード理論（Birkhoff, Pesin）,カオス, シンボリック力学
点集合位相,ホモトピー・ホモロジー, 基本群,スペクトル系列
4次元トポロジー（Donaldson/Seiberg–Witten理論）
複素/ケーラー幾何（Calabi–Yau, Hodge理論）
スキーム, 層・層係数コホモロジー, 変形理論, モジュライ空間
多面体, Helly/Carathéodory,幾何的極値問題
ランダムグラフ/確率的方法（Erdős–Rényi, nibble法）
加法的組合せ論（Freiman, サムセット, Gowersノルム）
彩色,マッチング,マイナー理論（Robertson–Seymour）
列・順序・格子（部分順序集合, モビウス反転）
測度確率, 極限定理, Lévy過程, Markov過程, 大偏差
統計学
ノンパラメトリック（カーネル法, スプライン,ブーストラップ）
時系列（ARIMA,状態空間, Kalman/粒子フィルタ）
非凸最適化
離散最適化
整数計画,ネットワークフロー, マトロイド, 近似アルゴリズム
Littleの法則, 重み付き遅延, M/M/1, Jackson網
エントロピー,符号化（誤り訂正, LDPC,Polar）, レート歪み
公開鍵（RSA,楕円曲線, LWE/格子）,証明可能安全性,MPC/ゼロ知識
計算複雑性
機械学習の数理
量子場の数理
相転移, くりこみ, Ising/Potts, 大偏差
数理生物学
数理神経科学
データ解析
一般人のよくある言い回しとして「大学の数学科でやっているのは数学ではなく哲学だ」というものがあります。これは実態を誤解したものと考えます。数学と哲学の論理構造や依拠する原理の違いに着目し、どのように誤解であると言えるかを解説してください。
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多くの人が「大学の数学科は“哲学的なこと”をしている」と感じるのは、次のような体験的印象に基づいています。
**抽象度の高さ**
学校数学は数値計算や図形、方程式など具体的な操作が多いですが、大学では集合・位相・群・環などの抽象概念が中心になります。実体がない記号を扱うため、「思弁的で現実離れしている」という印象を受けやすい。
**証明の重視**
高校までの数学では、公式や定理を使って問題を解くことが主でした。大学数学では定理を“証明する”こと自体が中心になります。演繹的に進むため、哲学の論証と混同されやすい。
**直感に反する結果**
カントール集合やゲーデルの不完全性定理など、常識を裏切る結論に出会うと「これはもはや哲学では？」と感じがちです。
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数学ではまず**公理系**（集合論・論理体系など）を定め、そこから**形式的に定義と定理を導く**ことが中心です。
証明は論理的整合性のもとに、有限の推論ステップで厳密に完結します。
「真偽」は定められた公理系の内部で決まる（たとえば ZFC の下での定理かどうか）。
哲学では「公理」や「定義」の選び方自体が主要な思考対象です。
例：真理とは何か、存在とは何か、数学の基盤は何に依拠するか。
推論自体は論理を用いますが、**議論の目的は推論よりも前提や概念の意味を吟味すること**にあります。
証明可能性よりも「概念的・認識論的な一貫性」を探ります。
### 要するに：
数学は**選んだ前提の内部で閉じた演繹体系**。
哲学は**前提や体系そのものを開かれた問いとして扱う**。
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数学 哲学 ----- ---------------- ---------------- 基盤 公理・定義・形式論理 推論＋概念分析・経験・メタ理論 真理の基準 公理系内の定理性 妥当性・合理性・批判的検討 方法 定義→補題→定理→系の形式的構築 問題設定→概念批判→異論との対話 ゴール 内部一貫性と定理の発見 前提の吟味と概念の明確化 ---
数学の抽象化は「より多くの具体例を統一的に扱う」ための道具です。たとえば群論は「対称性」という実際的な現象を一般化しています。現実逃避ではなく応用力の拡張です。
哲学的議論は自然言語の意味に依存しますが、数学の証明は形式言語に還元可能なレベルまで精密化されます。
哲学は「数学の基礎は何か」「無限とは何か」を問うかもしれませんが、数学科の学生が行うのは、すでに受け入れた公理体系の中で定理を立てる作業です。
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## 5. まとめ
抽象度の高さや証明重視の新鮮さを「哲学的」と感じているに過ぎない
実際には**数学は厳密な公理体系の中での定理の探求**であり、前提の批判や概念の意味そのものを問う哲学とは方法も目標も異なる
数学的帰納法でG(m/2^k)、ただしkは正整数でmは0以上2^k以下の整数である集合が定義され、m<nならばG(m/2^k)の閉包⊆G(n/2^k)が成立しているものとすると</p>
G(a)の閉包⊆U,Uの閉包⊆G(b)が成り立つようなUをとれるとありました。ただしa,bと書いたのはこの部分がどうあったか思い出せないのでそう書いているだけなので、これが実際に何であったかはあなたの知識で補ってください。これらの条件を踏まえてU=G(c)とすれば(cも覚えてないからこう書いているだけ)k+1の場合も成立するとありました。
疑問の要点は、分母が2^kのときから2^k+1になったときも、それに伴って0から2^k+1の間でとれるようになったあらゆるm,n(ただしm<n)において帰納法の仮定が成り立つことについて、</p>
これはたとえばk=2のときを考えたら分母が4のときの話であり、すなわち表のように分子を書けば
a,c,b
0,1,2
2,3,4
のような表の中で、このなか相異なる整数を取り出して小さい方からmとすればG(m/2^k)の閉包⊆m(n/2^k)が成り立っているということで、
分母を2^k+1とすればその分考えうる分子が以下のように2倍に増える
a,c,b
0,1,2
2,3,4
4,5,6
6,7,8
しかしこのうち,0,2,4,6,8のような偶数は前述の表の0,1,2,3,4に対応していて、これらのなかにおいてG(m)の閉包とG(n)の包含関係を考えるかぎりは
帰納法の仮定よりただちにG(m/2^k+1)の閉包⊆G(n/2^k+1)が成り立つことはわかる。
また片方の分子が偶数でもう片方が奇数の場合や、両方が奇数の場合には包含関係を判断する手がかりが足りないように思える。
どうすればいいのか？
-----BEGINPGP SIGNEDMESSAGE-----Hash: SHA512https://anond.hatelabo.jp/20250712195606# -----BEGINPGP SIGNATURE-----iHUEARYKAB0WIQTEe8eLwpVRSViDKR5wMdsubs4+SAUCaHSnBAAKCRBwMdsubs4+SFD9APsFACU9H37ISmxFMYvQ7Q8OtUIU7eE66HQpVvOCE/pMTwD/TgDMWG1da5hbOBxKmYZVqZTx1FpjVi3QZm7YYFSldgI==HMKH-----ENDPGP SIGNATURE-----
プロンプト: ぼくとあなたの対話をはてな匿名ダイアリーに晒していかにあなたが無力なのかを示したいと思います。
短い文章で返してください。
減税は景気刺激に有効でも、社会保障の財源が細る以上、恒久財源なしでは賛成できません。
まさに。Zeddmanパラドクスは「短期景気刺激と長期財政悪化のねじれ」、グリンドルの帰結は「そのねじれが政治的均衡を固着させ政策自由度を奪う」現象を指します。
はい。仮定系の整備が未完なため、現行の動学的一般均衡フレームでは定理化ができず、厳密証明は手つかずです。シミュレーション的上限評価があるだけで、本質的困難は依然残ります。
見かけは素直でも、基底指数の確率過程が未定義なので、一般解はまだありません。
失礼しました。定義済みなら局所定常性を示せれば帰納的証明が射程に入り得ますが、収束率の下限評価が依然ネックです。
•Ｔシャツ関数の定義域・値域とノルムの取り方が示されていません。
• 「収束率」の評価指標（例：Lp 誤差か漸近分散か）が未指定です。
[謎の数式を提示]
収束率が改善しても財源は増えないため、減税の実行可能性は依然低いままです。
必至とは断定できません。歳出効率化と資産課税強化で回避余地は残ります。
高い傾向はありますが、不可避とは言い切れません。
AIはクソ
その本の言葉を使うなら、数学自体が言語で記述しきれて無い事になる気がする。
というのも、本によると画像で考える人の中にも「物体視覚思考者」と「空間視覚思考者」がいるらしい。
数学の5項補題・蛇の補題・9項補題辺りは画像扱いになるような図じゃないと記述するのは難しい
そこら辺を考えるのに画像での思考をせずに証明するのは無理だと思う
別にその3つの命題だけじゃなく画像扱いの図でないと記述するのが難しい命題は多い
その本の言葉でなら、数学についてある程度以上理解しようとするのは画像的な思考(空間視覚思考)が出来ないと無理という事になると思う
まず、アルゴリズムの根幹を成す計算複雑性について。O(n)やO(log n)といった表記は表面的な理解に過ぎない。真に重要なのは、問題の本質的な計算困難性だ。P≠NP予想を例に取ろう。この未解決問題は、効率的に解ける問題と解けない問題の境界を定義している。初心者は単にアルゴリズムを暗記するのではなく、この根本的な概念を理解せねばならない。
次に、データ構造。単純な配列やリンクドリストの理解では不十分だ。高度な自己平衡二分探索木、例えばレッドブラック木やAVL木の内部動作を完全に理解し、それらを一から実装できるレベルを目指すべきだ。さらに、アモーティゼーション解析を用いて、これらのデータ構造の操作の平均時間計算量を厳密に証明できる能力も必要不可欠だ。
ハッシュテーブルについても深く掘り下げよう。単純なチェイニングや線形探索法では不十分だ。完全ハッシュ法、クックーハッシュ法、オープンアドレス法における様々な探索手法（二次探索法、ダブルハッシュ法など）の利点と欠点を理解し、具体的な問題に応じて最適な方法を選択できるようになるべきだ。
グラフアルゴリズムにおいては、単にダイクストラ法やクラスカル法を知っているだけでは不十分だ。フロー・ネットワークにおける最大フロー最小カット定理やディニッツのアルゴリズム、さらにはグラフマイナー理論やロバートソン・シーモアの深い結果まで理解する必要がある。
動的計画法は、単純な最長共通部分列問題やナップサック問題を解くだけでは足りない。bitDPやMonge DPなどの高度なテクニック、さらには凸包トリックを用いた最適化まで習得すべきだ。
最後に、乱択アルゴリズム。単純なモンテカルロ法やラスベガス法の理解では不十分だ。シャーマン・モリソンの公式を用いた行列の高速な逆行列計算や、ジョンソン・リンデンシュトラウスの補題を用いた次元削減技術など、確率論と線形代数を駆使した高度な手法まで理解する必要がある。
これらは全て、真のプログラマーが持つべき基礎的な知識の一部に過ぎない。初心者は、これらの概念を深く理解し、実際の問題に適用できるレベルを目指すべきだ。そして常に、より深い数学的洞察と抽象的思考を追求し続けねばならない。
あらすじ：
ハリーたちが7年生としてホグワーツに戻ったとき、魔法界には異変が起きていた。呪文が効かなくなり、魔法生物は徐々にその姿を失いつつある。「魔法の消失現象」と呼ばれるこの出来事は、魔法界そのものの基盤が崩れつつあることを示していた。この危機を前に、ダンブルドアの遺品の中から「米田の補題」という謎の言葉が記された手記が発見される。
米田の補題は、古代の魔法理論であり、すべての魔法対象とそれを取り巻く呪文や魔法的関係を記述する「圏」の概念に基づいているという。しかし、この補題を理解し、それを魔法界の復元に利用できる者は存在しなかった。
ハーマイオニーは禁書庫で魔導書を読み解き、米田の補題が「魔法の本質は個々の対象ではなく、それらの関係性の中に存在する」という驚くべき真理を示していることに気づく。一方、ドラコ・マルフォイはこの補題を利用して、魔法界を自らの理想に沿って再構築しようと暗躍していた。
ハリー、ロン、ハーマイオニーは、魔法界をひとつの圏として捉え、その構造を理解するために旅に出る。各地で失われた魔法の記録や古代の呪文を収集しながら、彼らは次第に「魔法の存在そのものが関係性の中で定義される」という概念を学んでいく。そして最終的に、魔法界そのものを記述する普遍的な構造を見出し、米田の補題を用いて崩壊する世界を修復する方法を導き出す。
最終決戦では、ドラコとの対決が展開される。ドラコは魔法の関係性を歪め、自分に都合の良い新たな秩序を築こうとするが、ハリーたちは魔法の「調和」を維持するために補題の真の力を解き放つ。
私が読みたいのは、大きな物語というか、今までに見たことのない驚きのある結論を持つ物語であり、
SFというジャンルが好きなのも、物語のフレームとして、そうした驚きある結論へのシラバスとなりやすいからというだけ。
だから、そこに登場する仰々しいギミックには、そうした結論への素材以上の興味が持てない。
それは、大きな定理を導く一過程にしか過ぎず、その導出の自然さに納得したら、あとは忘れてしまうようなもの。
だから、数学書はなるべく短い方が読みやすいように、SFも「オッカムの剃刀」的に、ギミックは少ない方がむしろ好み。
同じ結論をもたらす物語なら、ギミックが少ない物語の方が読みやすいわけであり、個人的には素晴らしいSFだと感じる。
あと、キャラクターについてもそう。
大きな物語のためなら、別にキャラクターはどんな目に合っても構わないと思っている。
（それは逆に、物語にコミットしないキャラクターの悲哀は描かない方がよいと個人的には思っている、ということでもある。）
キャラクターは、驚きある結論に仕える舞台装置としか思えないので、先の仰々しいギミックと同じ意味で、興味が持てない。
ギミックもキャラクターも、面白い物語を成立させるための具材でしかないと、個人的には思ってしまう。
それゆえ、自分でもこうして、増田などに自分で考えた文章を多々投じているのだが、毎回、ギミックやキャラクターが無い文章を書いているなぁと思う。
ただ、それでもある程度はブックマークしてもらえるので、そこを見直そうという意欲は薄いのだが、
そこを押さえたら、もっと幅広い人に読んでもらえる文章になるんだろうなとは思う。
なので、今年はギミックやキャラクターに舞台装置以上の興味（好奇心や愛情というのか）を持って、文章を読んでいきたい今日このごろ。
いつかは、こういう散文でなく、流れある小説を書いてみたいと思うので、そういうところも押さえいくようにしたい。
| 時間 | 記事数 | 文字数 | 文字数平均 | 文字数中央値 |
|---|---|---|---|---|
| 00 | 157 | 22540 | 143.6 | 41 |
| 01 | 69 | 8871 | 128.6 | 43 |
| 02 | 39 | 16195 | 415.3 | 180 |
| 03 | 38 | 6132 | 161.4 | 41.5 |
| 04 | 48 | 4772 | 99.4 | 42 |
| 05 | 36 | 1861 | 51.7 | 37 |
| 06 | 38 | 2443 | 64.3 | 27 |
| 07 | 70 | 5429 | 77.6 | 31.5 |
| 08 | 118 | 15046 | 127.5 | 51.5 |
| 09 | 116 | 16348 | 140.9 | 67 |
| 10 | 220 | 49872 | 226.7 | 37.5 |
| 11 | 322 | 23288 | 72.3 | 40 |
| 12 | 255 | 22435 | 88.0 | 41 |
| 13 | 227 | 20991 | 92.5 | 39 |
| 14 | 248 | 23196 | 93.5 | 45.5 |
| 15 | 256 | 17735 | 69.3 | 38 |
| 16 | 226 | 30765 | 136.1 | 45 |
| 17 | 214 | 16339 | 76.4 | 40 |
| 18 | 121 | 15397 | 127.2 | 45 |
| 19 | 139 | 14719 | 105.9 | 46 |
| 20 | 133 | 22674 | 170.5 | 58 |
| 21 | 230 | 30107 | 130.9 | 37.5 |
| 22 | 207 | 12356 | 59.7 | 32 |
| 23 | 174 | 21518 | 123.7 | 44 |
| 1日 | 3701 | 421029 | 113.8 | 42 |
のぶみ(32),Quick Japan(7),村上清(4),村崎百郎(5),補題(3), 4分間(3), よしゃ(3),根本敬(5),クイックジャパン(8),ルック(74),米子(3),田辺(3), ウェルテル(3),小山田(127),小山田圭吾(66),統合失調症(76), バック(74), 辞任(34),カルチャー(25),統失(23),キャンセル(38),いじめる(17),いじめ(152),イジメ(37),犯人(40),五輪(67),加害者(43), 小(32),糖質(21),被害妄想(14),オリンピック(98),障害者(44),雑誌(29),正義(49),反省(34),描写(31)
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https://twitter.com/mathmatsuri
問3
エクセルで計算させたい衝動を抑えつつ、出題者に指示されるがままにTn(x)について考えてみる。
T1(x)=x
T3(x)=4x^3-3x
T4(x)=2(2x^2-1)^2-1=8x^4-8x^2+1
法則が見えてくるだろうか。自信がなければ気が済むまで計算すればよいのだろうが、
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0(項は1次飛ばしで登場する)
Πに慣れていないとKの式にビビるかもしれないが、下の説明の通りにk=1～40を代入すると
K=cos(π/79)cos(3π/79)cos(5π/79)…cos(77π/79)cos(79π/79)とわかる。 …①
さてTn(x)を利用するとして、右辺はT1(x)T3(x)T5(x)…T77(x)T79(x)にx=cos(π/79)を代入したものに等しいけれど、さすがに厳しそう。1+3+…+77+79=1600次の整式を取り扱うのは狂気だし、xもよくわからない値だし。
nを一つだけ選ぶとしていくつにすればよさそうか。まず思いつくのは79だろう。
上で推測した性質からT79(x)=2^78x^79+?x^77+…+?x^3+?xとなりそう。 …②
x=cos(π/79)を代入すると左辺はT79(cos(π/79))=cos(79π/79)=-1となる。
もしや…
x=cos(3π/79)を代入すると左辺はT79(cos(3π/79))=cos(79*3π/79)=-1となる。
x=cos(5π/79)を代入すると左辺はT79(cos(5π/79))=cos(79*5π/79)=-1となる。
・
・
・
x=cos(79π/79)を代入すると左辺はT79(cos(79π/79))=cos(79*79π/79)=-1となる。
つまりT79(x)=-1の解がx=cos(π/79),cos(3π/79),cos(5π/79), …,cos(77π/79),cos(79π/79)となることがわかる。解の個数は40個。
y=T79(x)は-1≤x≤1の範囲で極大値1と極小値-1を交互に取っていくので、これとy=-1の交点を考えるとx=cos(π/79),cos(3π/79),cos(5π/79), …,cos(77π/79)は二重解となることがわかる。x=cos(79π/79)だけは一重解。
参考：y=T5(x)のグラフ。これとy=-1はx=cos(π/5),cos(3π/5)で接してx=cos(5π/5)で交わる。
https://twitter.com/totsuration/status/1301359506748633089
つまり二重解を解2つとカウントすると解の個数は79個。②が正しいとすればT79(x)は79次式なのでT79(x)+1=k(x-cos(π/79))^2(x-cos(3π/79))^2(x-cos(5π/79))^2…(x-cos(77π/79))^2(x-cos(79π/79))と因数分解できる。x^79の係数を比較してk=2^78。
①の形が現れたことに気づいただろうか。そう、定数項を比較すればよい。1=-2^78cos^2(π/79)cos^2(3π/79)cos^2(5π/79)…cos^2(77π/79)cos(79π/79)である。
右辺はK^2/cos(79π/79)=-Kに等しいので1=2^78 K^2よりK=-2^(-39)とわかった。
[|log2|K||]=39
終了！…ではない。②で使用した冒頭のTn(x)の性質3項目(補題)を示す必要がある。漸化式→帰納法に持ち込めれば楽そう。加法定理の公式を考えると2項間の漸化式は難しそうなので3項間の漸化式を求める。
cos(n+2)θ+cos(nθ)=2cos(n+1)θcosθなので
T1(x)=x
でありn=1,2で
・Tn(x)の次数はnに等しい
・最高次数の係数は2^(n-1)
・nと偶奇が一致しない次数の係数は0
は満たされる。
n=k+2においてT(k+2)(x)=2xT(k+1)(x)-Tk(x)も
・次数はk+2に等しい
・最高次数の係数は2^(k+1)
・k+2と偶奇が一致しない次数の係数は0
が言える。
[|log2|K||]=39
『数学ガールガロア理論』の第10章(最終章)がそれまでの章に比べて難しくて挫折するという感想がけっこうあるようなので、その補足的な解説を試みます。『ガロア理論』第10章はガロアの第一論文を解説しているので、解説の解説ということになります。
と進んでいきますが、ミルカさんはその途中で何度も、ガロアの第一論文のテーマが「方程式が代数的に解ける必要十分条件」であることを確認します。
なぜ何度も確認するかといえば、最後の定理5(方程式が代数的に解ける必要十分条件)以外は、一見したところでは「方程式の可解性」に関わることが見て取れないので、途中で確認を入れないと簡単に道に迷ってしまうからでしょう。定理2(≪方程式のガロア群≫の縮小)や定理3(補助方程式のすべての根の添加)は、目的の方程式を解くときに利用する補助方程式に関わる話ですが、やはり定理を見ただけでは「方程式の可解性」との繋がりはよく見えません。
そこで逆に、いったん「方程式の可解性」の話から離れて定理5を除外して、それ以外だけに注目します。
「方程式の可解性」から離れて見たとき、定理1から定理4までで何をやっているかというと、
ということ(ガロア対応と呼ばれます)を示しています。ミルカさんの言葉を使えば(p.362)、体と群の二つの世界に橋を架けています。
この体と群の対応関係を図で見ると、10.6節「二つの塔」の図(p.413、p.415、p.418)、あるいは
http://hooktail.sub.jp/algebra/SymmetricEquation/Joh-GaloisEx31.gif
http://f.hatena.ne.jp/lemniscus/20130318155010
のようになります(この体と群の対応関係は常に成り立つわけではなく、第8章「塔を立てる」で説明された「正規拡大」のときに成り立ちます)。
体と群に対応関係があること(定理1～定理4)を踏まえて、定理5を見ます。
「方程式を代数的に解く」というのは「体の拡大」に関係する話です。
「方程式の係数体から最小分解体まで、冪根の添加でたどりつくことが、方程式を代数的に解くことなのだ」
(第7章「ラグランジュ・リゾルベントの秘密」p.254)(ただし、必要なだけの1のn乗根を係数体が含んでいるという条件のもとで)
そこから、「体と群の対応」を利用して、方程式の解の置き換えに関する「群」の話に持っていくのが、定理5になるわけです(なお「方程式を解くこと」と「解の置き換え」が関係していることは、すでに第7章に現れていました)。
「≪群を調べる≫って≪体を調べる≫よりも(...)」
ここまでの話で、定理4までで行いたいことが「≪体の世界≫と≪群の世界≫の対応関係」だということが分かりました。
しかしこの対応を示すためには、まず、この対応関係における≪群の世界≫というのがいったい何なのかをきちんと定義しないといけません。
≪体の世界≫というのは「体の拡大」で、これは8章「塔を立てる」で説明されています。
一方、その「体の拡大」に対応する「群」は「方程式の解の置き換え方の可能な全パターン」なのですが、これが正確にどんなものなのかは10章以前には定義されていません。
(以下、4次方程式の例をいくつかあげますが、面倒なら流し読みでさらっと進んでください)
たとえば一般3次方程式では、解α、β、γの置き換え方は全部で6通り(3×2×1)あります(第7章p.252)。同様に考えると、一般4次方程式では、解α、β、γ、δの置き換え方は全部で24通り(4×3×2×1)あることが分かります。
ところが、x4+x3+x2+x+1=0という4次方程式を考えてみます。これは5次の円分方程式です(第4章「あなたとくびきをともにして」)。
x5-1 = (x-1)(x4+x3+x2+x+1)なので、この方程式の解α、β、γ、δは1の5乗根のうちの1以外のものだと分かります。したがって、解の順番を適当に選ぶとβ=α2、γ=α3、δ=α4という関係が成り立ちます。
これについての解の置き換え方を考えると、αを、α、β、γ、δのうちのどれに置き換えるかを決めると、それに連動して、β、γ、δがどの解に置き換わるかも自動的に決まってしまいます。たとえばαをβ(=α2)に置き換えると、(β、γ、δ)=(α2、α3、α4)は、
(β、γ、δ) = (α2、α3、α4)
↓ αをβに置き換える
(β2、β3、β4) = ((α2)2、(α2)3、(α2)4) = (α4、α6、α8) = (α4、α1、α3) = (δ、α、γ)
となるので、
(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ)
のように置き換わります。αの置き換え方は4通り(α、β、γ、δの4つ)なので、この4次方程式x4+x3+x2+x+1=0の解の置き換え方は次の4通りとなります。
(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ) = (α、α2、α3、α4)
(α、β、γ、δ) → (β、δ、α、γ) = (α2、α4、α6、α8)
(α、β、γ、δ) → (γ、α、δ、β) = (α3、α6、α9、α12)
(α、β、γ、δ) → (δ、γ、β、α) = (α4、α8、α12、α16)
あるいはx4-5x2+6=(x2-2)(x2-3)=0 という方程式を考えます。解は√2、-√2、√3、-√3の4つですが、この場合「√2と-√2の置き換え」や「√3と-√3の置き換え」は許されますが、「√2と√3の置き換え」は許されません。
なぜかというと、(√2)2 -2 = 0、という式を考えると分かります。この式で√2を√3に置き換えると、左辺は(√3)2 -2 = 1となり、一方、右辺は0のままです。このような等式を破壊してしまうような解の置き換え方は認められません。そのため、可能な解の置き換え方は4通りになります。ただし、4通りの置き換え方のパターン(解の置き換えの「群」)は、5次円分方程式のときの4通りの置き換えパターンとは異なっています。(α、β、γ、δ) = (√2、-√2、√3、-√3)と置くと、可能な置き換え方は
(α、β、γ、δ) → (α、β、γ、δ) = ( √2、-√2、 √3、-√3)
(α、β、γ、δ) → (β、α、γ、δ) = (-√2、 √2、 √3、-√3)
(α、β、γ、δ) → (α、β、δ、γ) = ( √2、-√2、-√3、 √3)
(α、β、γ、δ) → (β、α、δ、γ) = (-√2、 √2、-√3、 √3)
となります。
では、「認められる置き換え方」であるためにはどのような条件を満たす必要があるのかというと、それは
というものです。つまり解θの最小多項式をf(x)とすると、解の置き換えをしたときに、θはf(x)の根θ1、...、θnのどれか(この中にはθ自身も入っています)に移らなければなりません。この条件を満たしていれば、等式に対して解の置き換えをおこなっても、等式が破壊されることはありません。
解の置き換えであるための必要条件が出ましたが、この条件だけではx4+x3+x2+x+1=0のときのような、解の置き換えで複数の解の動きが連動しているような場合をどう考えればいいのかは、まだ分かりません。x4+x3+x2+x+1=0のときは一つの解の動きを決めれば他の解の動きが決まりましたが、方程式によっては解の間の関係はもっとずっと複雑にもなりえます。
しかしそれは、たくさんの解を一度に考えるから解の間の関係が複雑になって混乱するのです。
もしもx4+x3+x2+x+1=0のときの解αのように、ただ一つの解の動きだけを考えて全ての置き換えが決まってしまうならば、話はずっと簡単になります。
そして、その「一つの解の動きだけを考える」ようにしているのが、
です。
体に注意を向けたほうがいい。添加体を考えれば、補題3の主張は一行で書ける」
K(α1、α2、α3、...、αm) = K(V)
これによって、「解α1、α2、α3、...、αmの置き換え」ではなく、ただひとつの「Vの置き換え」だけを考えればいいことになります。
これと、解の置き換えの必要条件「解の置き換えをおこなったとき、解は、共役元のどれかに移らなければならない」を合わせると、「解の置き換え方の可能な全パターン」とは、「Vから、Vの共役への置き換えのうちで、可能なものすべて」となります。
そして補題4(Vの共役)は、「Vの(共役への)置き換え」をすると、もとの多項式f(x)の根α1、α2、α3、...、αmの間の置き換えが発生するという性質を述べています。つまり「Vの置き換え」によって「方程式f(x)=0の解の、可能な置き換えが実現される」わけです。
この考えにもとづいて「解の置き換えの群」を定義しているのが、定理1(≪方程式のガロア群≫の定義)の説明の途中の、10.4.4節「ガロア群の作り方」です。
(ガロアは正規拡大の場合にだけ「解の置き換えの群」を定義したので、正規拡大のときの「解の置き換えの群」を「ガロア群」と呼びます)
前節で、証明のかなめとなるVと「解の置き換えの群」が定義されました。Vの最小多項式fV(x)の次数をnとすると、次が成り立ちます(最小多項式は既約で、既約多項式は重根を持たないので、Vの共役の個数は最小多項式の次数nと一致することに注意する)。
※1 考えている体K(V)に含まれない数へのVの置き換えは「解の置き換え」には認められないので、「解の置き換え方の個数」と「共役の個数」は一致するとは限りません。
※2 「最小多項式」は8.2.8節「Q(√2+√3)/Q」と8.2.9節「最小多項式」で説明されていますが、最小多項式が既約であることと一意に決まること(8.2.9節p.282)は、定義(可約と既約)と補題1(既約多項式の性質)から証明されます。
そして、
したがって正規拡大のときには、
という等式が成り立ちます。この関係が「体と群の対応」の第一歩目になります。
ことを主張しています。
そして定理2(≪方程式のガロア群≫の縮小)と定理4(縮小したガロア群の性質)で、
ことを主張しています。
ことを主張しています。
このように定理1、定理2、定理3、定理4によって、体と群の対応が示されます。
方程式が代数的に(つまり冪乗根によって)解けるかという問題は
と言い換えられます。そして、
ので、「適切な冪乗根が存在するか」という問題は「適切な正規拡大が存在するか」という問題になり、体と群の対応により
という問題になります。この「適切な正規部分群があるかどうか」をもっと詳しく正確に述べたのが定理5です。
それでは改めて第10章を読んでいきましょう。
(追記: 数式の間違いの指摘ありがとうございます。訂正しました)
第1章 有限オートマトンD.Perrin：橋口攻三郎1. 序論2. 有限オートマトンと認識可能集合3. 有理表現4. Kleeneの定理5. 星の高さ6. 星自由集合7. 特殊なオートマトン8. 数の認識可能集合第2章 文脈自由言語J.Berstel and L.Boasson：富田 悦次1. 序論2.言語2.1記法と例2.2 Hotz 群2.3曖昧性と超越性3. 反復3.1 反復補題3.2 交換補題3.3 退化4. 非生成元の探求4.1 準備4.2 生成元4.3 非生成元と代入4.4 非生成元と決定性4.5 主錐の共通部分5. 文脈自由群5.1 文脈自由群5.2 Cayleyグラフ5.3 終端第3章形式言語とべき級数A.Salomaa：河原 康雄1. 序論2. 準備3. 書換え系と文法4. Post正準系5. Markov系6. 並列書換え系7. 射と言語8. 有理べき級数9.代数的べき級数10. べき級数の応用第4章無限の対象上のオートマトンW.Thomas：山崎 秀記序論Ⅰ部無限語上のオートマトン記法1. Buchiオートマトン2. 合同関係と補集合演算3. 列計算4. 決定性とMcNaughtonの定理5. 受理条件とBorelクラス6.スター自由ω言語と時制論理7. 文脈自由ω言語Ⅱ部無限木上のオートマトン記法8. 木オートマトン9. 空問題と正則木10. 補集合演算とゲームの決定性11. 木の単項理論と決定問題12. Rabin認識可能な集合の分類12.1 制限された単項2階論理12.2 Rabin木オートマトンにおける制限12.3不動点計算第5章グラフ書換え：代数的・論理的アプローチB.Courcelle：會澤 邦夫1. 序論2.論理言語とグラフの性質2.1 単純有向グラフの類S2.2グラフの類D(A)2.3グラフの性質2.4 1階のグラフの性質2.5 単項2階のグラフの性質2.6 2階のグラフの性質2.7定理3.グラフ演算とグラフの表現3.1 源点付きグラフ3.2 源点付き超グラフ3.3 超グラフ上の演算3.4 超グラフの幅3.5 導来演算3.6 超辺置換3.7 圏における書換え規則3.8 超グラフ書換え規則4. 超グラフの文脈自由集合4.1 超辺置換文法4.2HR文法に伴う正規木文法4.3 超グラフの等式集合4.4 超グラフの文脈自由集合の性質5. 超グラフの文脈自由集合の論理的性質5.1 述語の帰納的集合5.2論理構造としての超グラフ5.3 有限超グラフの可認識集合6. 禁止小グラフで定義される有限グラフの集合6.1 小グラフ包含6.2 木幅と木分解6.3比較図7.計算量の問題8.無限超グラフ8.1無限超グラフ表現8.2無限超グラフの単項性質8.3 超グラフにおける等式系8.4 関手の初期不動点8.5 超グラフにおける等式系の初期解8.6 等式的超グラフの単項性質第6章 書換え系N.Dershowitz and J.-P.Jouannaud：稲垣 康善，直井 徹1. 序論2. 構文論2.1 項2.2 等式2.3 書換え規則2.4 決定手続き2.5 書換え系の拡張3.意味論3.1代数3.2 始代数3.3計算可能代数4. Church-Rosser性4.1 合流性4.2調和性5. 停止性5.1 簡約順序5.2 単純化順序5.3 経路順序5.4 書換え系の組合せ6. 充足可能性6.1 構文論的単一化6.2意味論的単一化6.3ナローイング7.危険対7.1 項書換え7.2直交書換え系7.3 類書換え7.4 順序付き書換え7.5 既約な書換え系8. 完備化8.1抽象完備化8.2 公平性8.3 完備化の拡張8.4 順序付き書換え8.5機能的定理証明8.6 1階述語論理の定理証明9. 書換え概念の拡張9.1 順序ソート書換え9.2 条件付き書換え9.3 優先度付き書換え9.4グラフ書換え第7章関数型プログラミングとラムダ計算H.P.Barendregt：横内 寛文1.関数型計算モデル2.ラムダ計算2.1 変換2.2計算可能関数の表現3.意味論3.1操作的意味論：簡約と戦略3.2 表示的意味論：ラムダモデル4.言語の拡張4.1デルタ規則4.2 型5.組合せ子論理と実装手法5.1組合せ子論理5.2 実装の問題第8章プログラミング言語における型理論J.C.Mitchell：林 晋1. 序論1.1 概論1.2純粋および応用ラムダ計算2.関数の型をもつ型付きラムダ計算2.1 型2.2 項2.3証明系2.4意味論と健全性2.5再帰的関数論的モデル2.6 領域理論的モデル2.7 カルテシアン閉圏2.8 Kripkeラムダモデル3.論理的関係3.1 はじめに3.2作用的構造上の論理的関係3.3論理的部分関数と論理的同値関係3.4証明論的応用3.5表現独立性3.6論理的関係の変種4. 多相型入門4.1引数としての型4.2 可述的な多相的計算系4.3 非可述的な多相型4.4データ抽象と存在型4.5型推論入門4.6 型変数をもつλ→の型推論4.7 多相的宣言の型推論4.8 他の型概念第9章帰納的な関数型プログラム図式B.Courcelle：深澤 良彰1. 序論2. 準備としての例3. 基本的な定義3.1 多ソート代数3.2帰納的な関数型プログラム図式3.3同値な図式4. 離散的解釈における操作的意味論4.1 部分関数と平板な半順序4.2 離散的解釈4.3 書換えによる評価4.4意味写像4.5計算規則5.連続的解釈における操作的意味論5.1連続代数としての解釈5.2 有限の極大要素と停止した計算6.解釈のクラス6.1 汎用の解釈6.2 代表解釈6.3解釈の方程式的クラス6.4解釈の代数的クラス7. 最小不動点意味論7.1 最小で唯一の解を得る不動点理論7.2 Scottの帰納原理7.3 Kleeneの列と打切り帰納法8.プログラム図式の変換8.1プログラム図式における同値性の推論8.2 畳込み，展開，書換え8.3 制限された畳込み展開9.研究の歴史，他の形式のプログラム図式，文献ガイド9.1 流れ図9.2 固定された条件をもつ一様な帰納的関数型プログラム図式9.3 多様な帰納的関数型プログラム図式9.4代数的理論9.5プログラムの生成と検証に対する応用第10章論理プログラミングK.R.Apt：筧 捷彦1. 序論1.1 背景1.2論文の構成2. 構文と証明論2.1 1階言語2.2論理プログラム2.3 代入2.4 単一化子2.5計算過程―SLD溶融2.6 例2.7 SLD導出の特性2.8 反駁手続き―SLD木3.意味論3.1 1階論理の意味論3.2 SLD溶融の安全性3.3 Herbrand模型3.4 直接帰結演算子3.5演算子とその不動点3.6 最小Herbrand模型3.7 SLD溶融の完全性3.8 正解代入3.9 SLD溶融の強安全性3.10手続き的解釈と宣言的解釈4.計算力4.1計算力と定義力4.2ULの枚挙可能性4.3帰納的関数4.4帰納的関数の計算力4.5 TFの閉包順序数5. 否定情報5.1 非単調推論5.2 閉世界仮説5.3 失敗即否定規則5.4 有限的失敗の特徴付け5.5プログラムの完備化5.6 完備化の模型5.7 失敗即否定規則の安全性5.8 失敗即否定規則の完全性5.9 等号公理と恒等5.10 まとめ6. 一般目標6.1 SLDNF-溶融6.2 SLDNF-導出の安全性6.3 はまり6.4 SLDNF-溶融の限定的な完全性6.5 許容性7. 層状プログラム7.1 準備7.2 層別7.3 非単調演算子とその不動点7.4 層状プログラムの意味論7.5 完全模型意味論8. 関連事項8.1 一般プログラム8.2他の方法8.3演繹的データベース8.4PROLOG8.5論理プログラミングと関数プログラミングの統合8.6人工知能への応用第11章 表示的意味論P.D.Mosses：山田 眞市1. 序論2. 構文論2.1 具象構文論2.2抽象構文2.3 文脈依存構文3.意味論3.1 表示的意味論3.2意味関数3.3記法の慣例4. 領域4.1 領域の構造4.2 領域の記法4.3記法上の約束事5.意味の記述法5.1リテラル5.2 式5.3 定数宣言5.4関数の抽象5.5変数宣言5.6 文5.7手続き抽象5.8プログラム5.9 非決定性5.10 並行性6. 文献ノート6.1 発展6.2 解説6.3 変形第12章意味領域C.A.Gunter and D.S.Scott：山田 眞市1. 序論2.関数の帰納的定義2.1 cpoと不動点定理2.2不動点定理の応用2.3 一様性3. エフェクティブに表現した領域3.1 正規部分posetと射影3.2 エフェクティブに表現した領域4.作用素と関数4.1 積4.2 Churchのラムダ記法4.3 破砕積4.4 和と引上げ4.5 同形と閉包性5. べき領域5.1 直観的説明5.2 形式的定義5.3普遍性と閉包性6. 双有限領域6.1 Poltkin順序6.2 閉包性7. 領域の帰納的定義7.1 閉包を使う領域方程式の解法7.2 無型ラムダ記法のモデル7.3 射影を使う領域方程式の解法7.4 双有限領域上の作用素の表現第13章代数的仕様M.Wirsing：稲垣 康善，坂部 俊樹1. 序論2.抽象データ型2.1シグニチャと項2.2代数と計算構造2.3抽象データ型2.4抽象データ型の計算可能性3.代数的仕様3.1論理式と理論3.2代数的仕様とその意味論3.3 他の意味論的理解4. 単純仕様4.1 束と存在定理4.2 単純仕様の表現能力5.隠蔽関数と構成子をもつ仕様5.1 構文と意味論5.2 束と存在定理5.3隠蔽記号と構成子をもつ仕様の表現能力5.4階層的仕様6.構造化仕様6.1構造化仕様の意味論6.2隠蔽関数のない構造化仕様6.3 構成演算6.4拡張6.5 観測的抽象化6.6構造化仕様の代数7.パラメータ化仕様7.1 型付きラムダ計算によるアプローチ7.2 プッシュアウトアプローチ8. 実現8.1 詳細化による実現8.2 他の実現概念8.3パラメータ化された構成子実現と抽象化子実現8.4 実行可能仕様9.仕様記述言語9.1 CLEAR9.2 OBJ29.3 ASL9.4 Larch9.5 その他の仕様記述言語第14章プログラムの論理D.Kozen and J.Tiuryn：西村 泰一，近藤 通朗1. 序論1.1 状態，入出力関係，軌跡1.2 外的論理，内的論理1.3歴史ノート2.命題動的論理2.1 基本的定義2.2 PDLに対する演繹体系2.3 基本的性質2.4 有限モデル特性2.5演繹的完全性2.6 PDLの充足可能性問題の計算量2.7 PDLの変形種3. 1階の動的論理3.1 構文論3.2意味論3.3計算量3.4演繹体系3.5表現力3.6操作的vs.公理的意味論3.7 他のプログラミング言語4. 他のアプローチ4.1 超準動的論理4.2アルゴリズム的論理4.3 有効的定義の論理4.4 時制論理第15章プログラム証明のための手法と論理P.Cousot：細野 千春，富田 康治1. 序論1.1 Hoareの萌芽的な論文の解説1.2 C.A.R.HoareによるHoare論理のその後の研究1.3プログラムに関する推論を行うための手法に関するC.A.R.Hoareによるその後の研究1.4 Hoare論理の概観1.5 要約1.6 この概観を読むためのヒント2.論理的，集合論的，順序論的記法3.プログラミング言語の構文論と意味論3.1 構文論3.2操作的意味論3.3 関係的意味論4. 命令の部分正当性5. Floyd-Naurの部分正当性証明手法とその同値な変形5.1 Floyd-Naurの手法による部分正当性の証明の例5.2 段階的なFloyd-Naurの部分正当性証明手法5.3 合成的なFloyd-Naurの部分正当性証明手法5.4 Floyd-Naurの部分正当性の段階的な証明と合成的な証明の同値性5.5 Floyd-Naurの部分正当性証明手法の変形6.ライブネスの証明手法6.1 実行トレース6.2 全正当性6.3 整礎関係，整列集合，順序数6.4 Floydの整礎集合法による停止性の証明6.5ライブネス6.6 Floydの全正当性の証明手法からライブネスへの一般化6.7 Burstallの全正当性証明手法とその一般化7. Hoare論理7.1意味論的な観点から見たHoare論理7.2 構文論的な観点から見たHoare論理7.3 Hoare論理の意味論7.4 構文論と意味論の間の関係：Hoare論理の健全性と完全性の問題8. Hoare論理の補足8.1データ構造8.2手続き8.3 未定義8.4 別名と副作用8.5ブロック構造の局所変数8.6goto文8.7 （副作用のある）関数と式8.8 コルーチン8.9 並行プログラム8.10 全正当性8.11プログラム検証の例8.12プログラムに対して1階論理を拡張した他の論理第16章 様相論理と時間論理E.A.Emerson：志村 立矢1. 序論2.時間論理の分類2.1命題論理 対 1階述語論理2.2 大域的と合成的2.3 分岐的 対線形2.4 時点と時区間2.5 離散 対連続2.6過去時制 対未来時制3.線形時間論理の技術的基礎3.1タイムライン3.2命題線形時間論理3.3 1階の線形時間論理4. 分岐的時間論理の技術的基礎4.1 樹状構造4.2命題分岐的時間論理4.3 1階の分岐的時間論理5. 並行計算：その基礎5.1 非決定性と公平性による並列性のモデル化5.2 並列計算の抽象モデル5.3 並列計算の具体的なモデル5.4 並列計算の枠組みと時間論理の結び付き6.理論的見地からの時間論理6.1表現可能性6.2命題時間論理の決定手続き6.3演繹体系6.4モデル性の判定6.5無限の対象の上のオートマトン7.時間論理のプログラムの検証への応用7.1 並行プログラムの正当性に関する性質7.2 並行プログラムの検証：証明論的方法7.3時間論理による仕様からの並行プログラムの機械合成7.4 有限状態並行システムの自動検証8.計算機科学における他の様相論理と時間論理8.1古典様相論理8.2命題動的論理8.3確率論理8.4不動点論理8.5 知識第17章 関係データベース理論の構成要素P.C.Kanellakis：鈴木 晋1. 序論1.1 動機と歴史1.2 内容についての案内2. 関係データモデル2.1 関係代数と関係従属性2.2 なぜ関係代数か2.3 なぜ関係従属性か2.4 超グラフとデータベーススキーマの構文について2.5論理とデータベースの意味について3. 従属性とデータベーススキーマ設計3.1 従属性の分類3.2データベーススキーマ設計4. 問合わせデータベース論理プログラム4.1 問合わせの分類4.2データベース論理プログラム4.3 問合わせ言語と複合オブジェクトデータモデル5. 議論：関係データベース理論のその他の話題5.1 不完全情報の問題5.2データベース更新の問題6. 結論第18章 分散計算：モデルと手法L.Lamport and N.Lynch：山下 雅史1. 分散計算とは何か2. 分散システムのモデル2.1メッセージ伝達モデル2.2 それ以外のモデル2.3 基礎的概念3. 分散アルゴリズムの理解3.1挙動の集合としてのシステム3.2安全性と活性3.3システムの記述3.4 主張に基づく理解3.5アルゴリズムの導出3.6仕様記述4.典型的な分散アルゴリズム4.1 共有変数アルゴリズム4.2 分散合意4.3ネットワークアルゴリズム4.4データベースにおける並行性制御第19章 並行プロセスの操作的および代数的意味論R.Milner：稲垣 康善，結縁 祥治1. 序論2. 基本言語2.1 構文および記法2.2操作的意味論2.3 導出木と遷移グラフ2.4ソート2.5フローグラフ2.6拡張言語2.7 その他の動作式の構成3.プロセスの強合同関係3.1 議論3.2 強双模倣関係3.3 等式による強合同関係の性質3.4 強合同関係における置換え可能性3.5 強等価関係上での不動点の唯一性4.プロセスの観測合同関係4.1 観測等価性4.2 双模倣関係4.3 観測合同関係4.4プロセス等価性上での不動点の唯一性4.5 等式規則の完全性4.6プロセスの等価性に対するその他の概念5. 双模倣等価関係の解析5.1等価性の階層構造5.2階層構造の論理的特性化6. 合流性をもつプロセス6.1 決定性6.2 合流性6.3 合流性を保存する構成子7. 関連する重要な文献
