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はてなキーワード:交換法則とは
https://megalodon.jp/2025-0911-1421-23/https://note.com:443/clever_oriole745/n/nf6a05f3f542d
先週こんなnoteが出たよ。
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｜ └─教科書もそう書いてあるんだからそうなんだよ (教科書固執派)
｜ └─学習指導要領にもそう書いてあるよ (実は書いてない派)
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├―理解を深める、理解力を測るために必要なんだよ (教育論派)
｜ ｜ └─日本の数学の教育水準は高いよ (相関因果混同派)
｜ └─根拠は無いよ (論外派)
｜ └─ 逆に順序がないという証拠を見せろよ (悪魔の証明派)
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｜ └─不正解を貰うことで子供は考えるよ (正解を不正解にする派)
｜ └─ この程度で萎縮するようじゃどの道挫折するよ (マッチョ派)
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├― 逆が正解だよ (変則肯定派)
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├― 順序に反対したところで教育現場は変わらないよ (消極的肯定派)
｜ ｜ └― いまさら教材つくりなおしたくないよ (惰性派)
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├―ベクトルとか行列とか四元数とか知らないのかよ (非可換数学派)
｜ └─ 交換可能だと不確定性原理なりたたなくなるよ (ハイゼンベルク派)
｜ └― 不確定性は破れるよ (小澤の不等式派)
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└― 受けと攻めははっきりしておく必要があるよ (カップリング派)
└─ 受けと攻めは交換できないよ (固定カプ派)
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｜ ├─交換法則は学習指導要領にも書いてあるよ (書いてあるよ派)
｜ ├─交換法則は定理だから、書いてなくても成り立つよ (ペアノ算術派)
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｜ ├─ 数え方で順序は入れ替わるよ (トランプ配り派)
｜ └─ 面積を教えるときどうするんだよ (縦横派)
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｜ ├― 順序にこだわってるの、日本の教師だけだよ (国際派)
｜ ｜ ├─不正解にすることで子供が萎縮するよ (萎縮危惧派)
｜ ｜ ├─ 順序を重視するなら問題文に記せよ (無記述否定派)
｜ ｜ └─ "×"を使わず独自の記号を使えよ (算術記号原理派)
｜ ├─算術記号の"×"と言語の"掛ける"は別物だよ (算数国語分離派)
｜ ｜ └─ ×は「掛けるまたは掛けられる」という算術記号だよ (新定義派)
｜ ├─ 順序は教えるための道具でその場限りのローカルルールだよ (順序道具派)
｜ └─ 順序があるとする根拠が何も無いよ (根拠見せろ派)
｜ └─戦後日本に生えてきた突然変異体だよ (ゴジラ見ろ派)
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└― 受けと攻めは交換可能だよ (リバ派)
├─ どっちも美味しくいただけるよ (日替わりリバ派)
問題に不備があるのが原因なので特別扱いではなく正しいものを正しいとするだけ。
教科書の順序通りの立式にするようになってないから交換法則の理解があるか判断できない悪問であるのが悪い。
文章で書かれるとわからなくなる子がいる子の対策に必要なのが順番だって言ってたのに
交換法則を理解してるレベルの子に同じルールを適用しなきゃダメなんだって意味わからんのだけど。
君の言い訳って「交換法則を理解してる」か「文章の抽象化に失敗してる」か分からんから
減算の引く数・引かれる数、除算の割る数・割られる数は重要。
除算を教える際に混乱しないように乗算でも掛ける数・掛けられる数を教えるんだという話を読んだことあるけど、それ意味あるのかな。
という問いに対して「３✕２＝６」と立式したら「イチゴと２個が紐づけられていない」もしくは「皿と３枚が紐づけられていない」と認定し、不正解にするっていうことかな。
ちゃんと抽象化がおこなえているかを判断するのに掛け算の順序を用いるのが、そんなに機能してると思えないけど、そんなことないの？
あともう一つ。
この段階では「２✕３は２＋２＋２を意味し、３＋３を意味しない」と定義してるんだよね。
これは、ずっとそうなの？
https://b.hatena.ne.jp/entry/s/note.com/clever_oriole745/n/nf6a05f3f542d
ブコメを見てて「ここ知りたい！」と思ったのが、
この２つに関連するところ。
ということなんだと思う。この辺、知りたい。
いま分かんないのは
あたり。
知ってる人おしえて。
これだけの話じゃね？
教科書の内容、授業ではどうなってるかは知らない。
Taro-８号先生たちも悩んでいる - ttm08_teacher'snayami_03.12.pdf
https://nakaguntta.main.jp/ttm08_teacher%27snayami_03.12.pdf
長方形の面積＝横×縦を誤りとする教え方の存在を上野健爾氏(数学者)が平成 13 年の中央教
育審議会の教育課程部会で指摘した。その後、学習指導要領解説では縦×横と横×縦が併記され
【算数編】小学校学習指導要領（平成29年告示）解説 - 1387017_004.pdf
P.210
（長方形の面積）＝（縦）×（横）（又は（横）×（縦））
掛け算の順序の固定は無理があるのではないか。
掛け算の問題だし掛けたらええやろみたいな
https://x.com/segawashin/status/1793456208566980852
この手の「小中学校レベル」を馬鹿にする言説はFラン不要論でよく見るのだが、例えば負の数と負の数を掛けると正になる理由、分数の除算は分子分母ひっくり返す理由、加算乗算で交換法則が成り立つのに減算除算では成り立たない理由など、きちんと説明できるだろうか？
小中学校でやるのは「負の数同士の掛け算はプラスになる」「分数の割り算は割る数をひっくり返す」「足し算掛け算は順番替えていいけど、引き算割り算は替えちゃ駄目」という手段で終わり
理由を考えるのは大学の教養科目だとか、数学科とかでやるもんでしょ
小学校で習う漢字の漢検1級レベルのものすごいマニアックな読み方を提示して、「ほら、この読み方を知らないだろう。お前は小学生の漢字がわからない！」と言われている感覚
義務教育でやったら、数学をあと週1コマ増やさないといけないだろうね
数学だけ優先するわけにもいかないから、5教科やるとなると週5コマ追加か
小中で週7の授業やるのはしんどいぞ
1.5時間×15コマ=22.5時間、約1日で小1～中3までの総復習をしなくちゃいけないのに、理由なんてやってられないでしょ
掛算の順序と学習指導要領の話おもしろかったです。
「りんごが5つ載った皿が4枚ある場合にりんごがいくつになるか」という問題を立式するときは、
という話だと思いました。
4✕5は4[個/枚] * 5[枚]に変換されるので、正解にならない。
✕は乗算の演算子と思ってしがいがちだけど、被乗数と乗数の順序を考慮するときは、その順序を含めた乗算のシンタックスシュガーになっている。
なんか、このシンタックスシュガーいけてないなと思うのは、計算するときは交換法則適用していいよと言われているところと、乗法を習うこの単元以外では立式の際もシンタックスシュガーではなく乗算の演算子として取り扱われているところ。
でも、いけてないシンタックスシュガーは世に溢れているので、まあいいや。
被乗数と乗数の関係を考えていて思い出したのが、消費税が導入されたとき、大学生協の書籍代はどうなるのかという話。
乗算は交換法則が成り立つから1000*0.9*1.03でも1000*1.03*0.9でも良いです。
✕も計算のときは交換法則を適用して良いから1000✕0.9✕1.03でも1000✕1.03✕0.9でも良いです。
でも✕で立式するときはどうなるのか。
1000[円/冊]✕1[冊]✕0.9✕1.03と1000[円/冊]✕1[冊]✕1.03✕0.9のどちらが正しいのか。
0.9と1.03は単位がないから乗数、被乗数の順序を考慮しなくて良いのかな。
僕が小学生の頃は乗数、被乗数は「かける数」「かけられる数」と言われてました。
「この式の４は『かける数』でしょうか『かけられる数』でしょうか」みたいなテストの問題があったけど、「この話は、ここでしか出てこないので、気にしなくて良いです」と先生が言って、採点対象外になってました。
道具の使い方とは何かという話である。
ChatGPTは想像とは異なる仮説を作って最初にぶん投げるとよい。増田なら帰無仮説は得意のはず（偏見）
掛け算の交換法則について教えてください
掛け算の交換法則とは、数の掛け算において、数の順序を変えても掛け算の結果が変わらないという法則です。具体的には、任意の実数ａとｂに対して、以下の式が成り立ちます。
ａ×ｂ =ｂ×ａ
...
掛け算の交換法則は、算数や数学の基本的な計算において非常に役立ちます。これを知っていることで、計算がシンプルになったり、計算の手順を変更できることがあります。
では、かけ算の順序には意味がありますか？
掛け算自体の結果には順序が影響を与えないため（交換法則により）、数値のみを単純に掛け合わせる場合、順序に意味はありません。
しかし、数学や実世界の問題の文脈においては、順序が意味を持つことがあります。
ベクトルにおいては、外積（またはクロス積）の順序は重要です。ベクトルａ とｂ に対して、ａ ×ｂ とｂ×ａ は方向が逆のベクトルになります。
2.行列の掛け算：
行列の乗算では、掛ける順序が非常に重要です。2つの行列Ａ とＢ に対して、ＡＢ とＢＡ は一般的に異なる結果をもたらします。
3.実世界の状況：
例えば、ある商品の元の価格に対して10%の割引を受けた後に8%の消費税がかかる場合と、消費税をかけた後に10%の割引を受ける場合では、最終的な価格が異なります。このような状況では、計算の順序が結果に影響を与えます。
これらの例を考慮すると、数値だけの単純な掛け算では順序は意味を持たないものの、特定の文脈や状況においては掛け算の順序が重要となることがあります。
まあ、「かけ算」としか表現しないほうも悪い。「小学校で習う整数のかけ算で」とかきちんと条件を付けるべきである
小学校の算数の教科書では、かけられる数とかける数の順序を定めて書かれています。
例えば、「3 × 4」は「3に4をかける」という意味で、「4 × 3」は「4に3をかける」という意味です。
3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3
4 × 3 = 4 + 4 + 4
このように、かけ算は複数回のたし算を省略したものです。かける数とかけられる数の順序を変えると、答えが変わってしまう場合があります。
ただし、数学では、かけ算には交換法則が成り立つため、どちらの数を先に書いても答えは同じになります。
このように、かけ算の順序には意味があるため、小学校の算数の教科書では、順序を定めて書かれています。
「かけ算の順序には意味がない」という主張をする人たちは、かけ算における交換法則を引用しています。
交換法則とは、かけ算において、かけられる数とかける数の順序を入れ替えても、答えが変わらないことを示す法則です。
つまり、「3 × 4」と「4 × 3」は同じ値であるため、順序に意味がないと主張するのです。
しかし、小学校の算数の教科書では、かけられる数とかける数の順序を定めて書かれています。
そのあたりの気持ちはまぁまぁ分かる
初等的な教育段階での暫定的な措置と数学的な正しさはまた別なのにね
ある程度画一的にやったほうが全体として習熟につながる場合もあるだろうに、すでに習熟に至ってる人が論理的正しさで机上の空論を投げかけるとこではないんだよな
小学生教えるのと大学生教えるのを同列に考えてる時点でおかしい
掛け算問題は一部の(本業で相手にされない一部の大学教員など)ヤバそうな人が燃やしまくった上に、途中からは意味さえきちんと理解できてない人たちが急に交換法則がどうとか言い出して(そして例の如くそういう人たちは単位の付け方も間違っている)、トンチンカンなこと言ってさらに炎上してる混沌が極まってるなって思いながら見てるわ
習熟が早い子は変な誤解して混乱することもあるだろうしどっちに振っても難しくて、いい感じに折衷案があればいいんだが
ご苦労様です
皆さんはじめまして。私は、「レンタル数学教える人」というTwitterアカウントで、数学にまつわる情報を発信しています。つい今年始めに、算数のかけ算順について述べた所多数の意見をいただきました。一人ひとり返信してもラチがあかないため、論旨を整理してTwitterに投稿することにしました。
どうしてかけ算において順番が大切なのか。それは、
「かけ算(乗法)の意味を理解する」→「乗法の場面を式に表す」→「乗法の交換法則」
という順にかけ算を学んでいくカリキュラムにあります。よく、かけ算の項の順番が逆で答えが合っているのにバツになることがありますが、これは、「乗法の意味を理解する」と「乗法の場面を式に表す」が出来ていないとみなされるからです。
答えが合っているのにこの段階をねちっこく行うのは、かけ算の後に割り算が控えているからです。かけ算は「かけ算(乗法)の意味を理解する」「乗法の場面を式に表す」の二つが曖昧でも正しい答えを出せますが、割り算ではそうはいきません。「□×○＝△」の場合、□と◯にいい加減に数を当てはめても正しい答えを導けますが、「□÷○＝△」の場合、□と◯にどんな数が入るのかを理解していなければ、正しい解答ができないのです。さらに、割り算の先には割合が控えています。「場面を式に表す」技能が不十分だと、ここでつまづいて地獄を見ることになります。
つまり、後に控えた難しい単元を学習するにあたり、「場面を式に表す」部分の理解が非常に重要で、その取っ掛かりがかけ算の順番なのです。「面積の問題で縦×横と横×縦は違うんですか？」みたいな指摘をもらうことがありますが、それは交換法則を用いれば同じになるという話。交換法則をやる前に、まずは「場面を式に表す」を丁寧にやっていくことが重要なのです。
で、ここからは余談というか愚痴なんですが、かけ算順序問題にまつわる批判は攻撃的な文体のものがまあ多い。Twitter内をずーっと警備してかけ算順に対し攻撃的な批判や誹謗中傷を繰り返す「超算数警察」みないた輩がいるんですが、何のために戦っているんでしょうね？
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大体こんな感じかな？
俺も暇なもんだなぁ(本当はやらなきゃいけない課題がある)
掛け算は「掛け算(乗法)の意味を理解する」「乗法の場面を式に表す」の二つが曖昧でも正しい答えを出せますが、(×掛け算→◯割り算)ではそうはいきません。
